用好“組合拳”，攻克函數(shù)值域問(wèn)題

傅建紅

值域問(wèn)題是函數(shù)中的重要內(nèi)容，其思想和應(yīng)用滲透于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié). 然而由于基本初等函數(shù)的種類(lèi)繁多，由其所構(gòu)造的復(fù)合函數(shù)更是“千姿百態(tài)”，這就使得函數(shù)值域問(wèn)題的求法具有多樣性（比如配方法、分離常數(shù)法、判別式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)單調(diào)性法、圖象法等），而正是這種多樣性，導(dǎo)致了同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)具體問(wèn)題時(shí)，方法上難以抉擇，思想上難以理清，不知以何種方法作為思維的起點(diǎn). 這里就涉及了求函數(shù)值域時(shí)的思維路線問(wèn)題. 細(xì)心的讀者也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些方法其實(shí)可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)只是針對(duì)某些特定函數(shù)時(shí)的特殊方法（如配方法、分離常數(shù)法、判別式法），而另一類(lèi)是適合于所有函數(shù)的通法（如函數(shù)單調(diào)性法和圖象法）；至于換元法和導(dǎo)數(shù)法，筆者以為，它們只是求函數(shù)值域的必要手段和工具，其本身并不能單獨(dú)求出函數(shù)值域. 那么，如何構(gòu)建函數(shù)值域問(wèn)題的思維路線呢？

我們知道，單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，只要了解了一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，就可求出其值域. 同樣，了解了一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，即可作出函數(shù)的大致圖象，由圖象法求其值域. 因此，這兩種方法均可作為求函數(shù)值域的通法. 只是對(duì)于單調(diào)函數(shù)來(lái)說(shuō)，作圖已經(jīng)沒(méi)有必要，直接由單調(diào)性法求值域更為輕松；而對(duì)于非單調(diào)函數(shù)來(lái)說(shuō)，雖然也可由單調(diào)性法解決，但圖象法往往更為簡(jiǎn)單. 因此，筆者認(rèn)為，可將判斷函數(shù)的單調(diào)性作為思維的起點(diǎn)，將作出函數(shù)的圖象作為思維的終點(diǎn)，而將換元法和導(dǎo)數(shù)法作為溝通起點(diǎn)或終點(diǎn)之間的“使者”，以此來(lái)構(gòu)建函數(shù)值域問(wèn)題的思維路線. 具體步驟為：首先判斷函數(shù)y=f（x）（x∈D）在D（可以是函數(shù)的定義域，也可以是定義域的某個(gè)子區(qū)間）上是否單調(diào)，若是，則用函數(shù)單調(diào)性法求解；若不是，對(duì)于基本初等函數(shù)或通過(guò)換元可轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，用圖象法解決，而對(duì)于無(wú)法通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，則先用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，然后再由圖象法求解. 下面筆者先介紹有關(guān)方法，然后舉例佐證.

1. 函數(shù)單調(diào)性法求值域的依據(jù)

（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D=[a，b]（a

（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

2. 基本初等函數(shù)按單調(diào)性分類(lèi)

透徹了解基本初等函數(shù)的單調(diào)性和圖象是運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性法和圖象法求值域的前提. 筆者將基本初等函數(shù)按其連續(xù)性和單調(diào)性分為如下兩類(lèi)：