逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

高新宇

逆向思維是讓思維向?qū)α⒚娣较虬l(fā)展，從問題的相反面深入進(jìn)行探索的方式。人們習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法，其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結(jié)論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)出的作用是對知識、規(guī)律的深入理解，對提煉結(jié)論的應(yīng)用與檢驗和學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。

一、引導(dǎo)學(xué)生反向設(shè)計問題

基礎(chǔ)知識是課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，要求學(xué)生要深入理解，掌握扎實，它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的奠基石，各種練習(xí)題都以其為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計。為使學(xué)生更好地理解這些知識，我們可采用反向思維的方式對其進(jìn)行分析。例如：在定義域的學(xué)習(xí)中學(xué)生容易理解和掌握定義，但往往在求解上出現(xiàn)畏難情緒，不會解，或少解、或多解。為解決這個問題可在一定的正面練習(xí)的基礎(chǔ)上為定義域的結(jié)果設(shè)計一個函數(shù)解析式，使其滿足定義域，可結(jié)合知識基礎(chǔ)假設(shè)對數(shù)型、偶次根式型，等等。定義域的設(shè)計可采取由單向無窮至封閉區(qū)間或兩個區(qū)間并集各種形式，能極大程度地調(diào)動學(xué)生積極性，并幫助他們從深層次掌握各種定義域的限制條件，促使學(xué)生完成初步的由解題到出題的轉(zhuǎn)變。在此處知識的教學(xué)中還有一個難點——二次不等式的解，也在上一訓(xùn)練中得以升華。

在學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)定理以后， 指導(dǎo)學(xué)生思考并用清晰的語言來敘述它的逆出題目， 再去判斷或論證逆出題目的正確性，是逆向思維訓(xùn)練的有效方法。能力較差的學(xué)生一般只會簡單地把定理的題設(shè)以及結(jié)論對換，難免出現(xiàn)語言不準(zhǔn)確的錯誤，但由正定理反過來設(shè)計逆定理是對正定理理解的完美補充。如立體幾何中的平行、垂直等的判定與性質(zhì)定理等。

二、運用反例及補集思想分析題

在解諸如填空、判斷、選擇題時，運用事例及補集思想分析題更是一種簡單易行的方法；在解題后，對解題過程和結(jié)果的檢驗，也是一種行之有效的方法；在審題時，可幫助學(xué)生找出由于種種原因而出現(xiàn)的錯題，以避免浪費精力和時間；在求概率問題時運用補集思想分析是較好的方法，如確定對立事件反向求概率如此，等等，不能低估了反向思維的作用。數(shù)學(xué)被譽為“思維體操”，思維的多樣性、靈活性更是其顯著特點。客觀題的解答只需合理不需過程，反向檢驗更容易快速地得出結(jié)論。比如從選項看取值范圍的差異用特殊值檢驗。又如講解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，由于對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，在指導(dǎo)學(xué)生觀察對數(shù)函數(shù)的圖像特征時，指導(dǎo)學(xué)生將兩種函數(shù)的圖像以及性質(zhì)進(jìn)行對比，學(xué)生能相應(yīng)地得出對數(shù)函數(shù)的四條性質(zhì)。再列出指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的一般形式，定義域以及值域，數(shù)值變化以及單調(diào)性方面的對照表，學(xué)生就能更清楚兩者之間的對稱（互逆）關(guān)系了。

三、簡易邏輯在思維中的作用

簡易邏輯的教學(xué)不僅是知識教學(xué)，對學(xué)生影響更深的是思維上的潛移默化。比如反證法，它的理論基礎(chǔ)應(yīng)是證明非P 是假命題從而說明P命題是真命題。而并非是證明逆否命題。在條件不變的情況下通過證明非P 成立的不可能性得證。例如，學(xué)生在采用直接證法證明有些題目感到辛苦后，自然地提出一種相反的想法：與求證的結(jié)論相反的假設(shè)不能成立，從而可以確定原來求證的結(jié)論不得不成立。但初級中學(xué)階段學(xué)生對反證法的學(xué)習(xí)還是初步的，主要應(yīng)使學(xué)生掌握反證法的思緒以及步驟。到高中階段，反證法在立體幾何以及代數(shù)中獲得更廣泛的應(yīng)用，應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)一步了解反證法的實質(zhì)以及邏輯依據(jù)，明確在什么情況下運用反證法。必須充實熟悉到，反證法不僅是初等數(shù)學(xué)中一種重要的證明方法，同時也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所必需的。它的理論根據(jù)以及敘述形式都比較特殊，因此它是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個難點。另一種證明方法是逆否證法。證明原命題的逆否命題的真實而得到原命題成立。這種反證法及逆否證法是解決很多問題的思想方法，如證明不等式、判斷是否存在問題。

總之，對學(xué)生的逆向思維的訓(xùn)練應(yīng)結(jié)合實際的教學(xué)進(jìn)行，以知識教學(xué)為訓(xùn)練載體，把能力培養(yǎng)蘊涵于學(xué)生的普通學(xué)習(xí)內(nèi)容中，于潛移默化中訓(xùn)練逆向思維。