羅素悖論是否有解

吳婷婷

摘 要：19世紀(jì)下半葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出了著名的集合理論。這一理論在數(shù)學(xué)界有著深刻的影響，其嚴(yán)密性得到廣泛的認(rèn)可。然而，1901年前后，英國(guó)哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素提出了著名的羅素悖論，深深的動(dòng)搖了康托爾的集合理論。為解決這一悖論，數(shù)學(xué)界、語(yǔ)言學(xué)界和哲學(xué)界紛紛展開(kāi)了激烈的討論，然而，迄今為止，仍然沒(méi)有令人滿意的完美解決方案。本文就以羅素悖論的解決問(wèn)題為重點(diǎn)展開(kāi)討論，就不同時(shí)期關(guān)于羅素悖論解答的著名理論進(jìn)行論述與分析，探討隱藏在語(yǔ)言悖論后的哲學(xué)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：語(yǔ)言哲學(xué)；羅素悖論；類型論；新解

中圖分類號(hào)：H0-09 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-2596（2013）09-0032-03

一、引言

悖論（paradox）又稱逆論或反論，由希臘文“para”和“doxs”兩詞而合成，“para”意味著超越，“doxs”意為相信。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的大思想家墨子也曾在著作中提到悖論，他說(shuō)：“以言為盡悖，悖，說(shuō)在其言?！保ā赌?jīng)下》）。關(guān)于“悖論”一詞的起源迄今還未有定論，不過(guò)早在古希臘時(shí)期就有了關(guān)于悖論的記載。一個(gè)命題，用公認(rèn)的推論方法去論證，命題的兩面居然可以同時(shí)推導(dǎo)出來(lái)。也就是它即像是正確的可卻又被證明出是錯(cuò)誤的，著實(shí)令人難以判斷，這就是悖論。陳嘉映教授在《語(yǔ)言哲學(xué)》一書(shū)中指出悖論總是包含兩個(gè)要素，一個(gè)是自指，一個(gè)是否定。因此，在“我說(shuō)的這句話是謊話”、“所有話語(yǔ)都是謊話”、“有些話語(yǔ)是謊話”、“所有話語(yǔ)都是真話”、“我這句話以外的所有話語(yǔ)都是謊話”這四句話中，前兩句話暗含了悖論而后兩句話則沒(méi)有，因?yàn)椤八性捳Z(yǔ)”這種論斷中的“所有”包括了這句話本身，也就是說(shuō)這句話是帶有自指性。而“所有話語(yǔ)都是真話”之所以不包含悖論，是因?yàn)樗话穸?。古今中外有許多著名的悖論，其中最經(jīng)典的悖論包括羅素悖論、說(shuō)謊者悖論、康托悖論等等。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，悖論被認(rèn)為是詭辯或是游戲，它對(duì)人類認(rèn)知的價(jià)值并沒(méi)有得到充分的認(rèn)可。事實(shí)上，悖論的成因極其復(fù)雜和深刻，它不僅涉及數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)知識(shí)，更是對(duì)人類思維精密性和深刻性的考驗(yàn)，悖論的解決時(shí)建立在對(duì)邏輯和哲學(xué)深入研究的基礎(chǔ)之上的，解悖的過(guò)程往往可以給人們帶來(lái)全新的思路和觀念。

二、羅素悖論及其邏輯分析

19世紀(jì)下半葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾提出了著名的集合理論。這一理論在數(shù)學(xué)界有著深刻的影響，其嚴(yán)密性得到廣泛的認(rèn)可。1900年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱集合論概念使得數(shù)學(xué)界達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)格性。然而，不久之后，這個(gè)所謂的完美集合理論就被發(fā)現(xiàn)是有漏洞的。1901年前后，英國(guó)哲學(xué)家、邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素針對(duì)康托爾的集合論提出了質(zhì)疑，震驚整個(gè)數(shù)學(xué)界，這就是著名的羅素悖論。

羅素悖論定義：把所有集合分為兩類，第一類集合指所有包含集合自身的集合；第二類集合為所有不以自身為元素的集合，假設(shè)第一類集合所組成的集合為M，第二類所組成的集合為N，于是有：M={A|A∈A}，N={A|A∈A}那么，M∈N的同時(shí)豈不是又得出N∈N么？但是如果M∈N，那么根據(jù)第一類集合的定義，必有N∈N，但是N中任何元素都滿足A？埸A的，于是得出結(jié)論：因?yàn)镹∈N，所以N￠N，就出現(xiàn)了矛盾。反之，如果N∈N，那么根據(jù)對(duì)于第一類集合的定義，得出N∈M，但是顯然M∩N=？覬，所以N？埸N，依然會(huì)有矛盾。羅素悖論的定義其實(shí)就是圍繞著“某些事物的類是不是這些事物中的成員”這個(gè)問(wèn)題展開(kāi)的，因?yàn)闊o(wú)論回答是或否都是不合邏輯，陷入矛盾之中。

為了更好的說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，羅素后來(lái)又提出了一個(gè)通俗版本，也就是理發(fā)師悖論。在某個(gè)小城鎮(zhèn)上有一位理發(fā)師，他在城中打出了一個(gè)廣告，廣告上寫(xiě)著：“本理發(fā)師技藝高超，但是，本人只為城中所有不給自己刮臉的人服務(wù)，歡迎大家前來(lái)！”自然，小城鎮(zhèn)中來(lái)找著位理發(fā)師刮臉的人都是那些不給自己刮臉的人，最起碼在他們接受理發(fā)師服務(wù)的時(shí)候他們是沒(méi)有給自己刮臉的。但是，沒(méi)過(guò)多久，問(wèn)題就出現(xiàn)了，理發(fā)師胡子長(zhǎng)長(zhǎng)了，那么此時(shí)他到低是否應(yīng)該給自己刮臉呢？如果理發(fā)師不給自己刮臉，那他就是那些不給自己刮臉的人中的一員，是符合要理發(fā)師也就是他自給服務(wù)的對(duì)象了?？僧?dāng)他拿起刮胡刀為自己刮臉的時(shí)候，他就又不符合“不給自己刮臉”的條件了。試問(wèn)理發(fā)師應(yīng)不應(yīng)該為自己刮胡子呢？表現(xiàn)看來(lái)，羅素悖論在很大程度涉及到數(shù)學(xué)上的基礎(chǔ)問(wèn)題，但它與語(yǔ)言哲學(xué)卻也密不可分，息息相關(guān)。

三、羅素悖論的消解方案

悖論的出現(xiàn)似乎對(duì)邏輯的可靠性提出了很大的質(zhì)疑，同時(shí)也動(dòng)搖著人們的理性基礎(chǔ)，因此，引起了數(shù)學(xué)界，邏輯學(xué)界，乃至哲學(xué)界學(xué)者們的探討和爭(zhēng)議。1901年羅素悖論的發(fā)現(xiàn)更是引起了數(shù)學(xué)界的第三次危機(jī)，此后，包括羅素本人在內(nèi)的眾多學(xué)界精英都投入到了解決悖論的研究之中，產(chǎn)生了眾多解決方案，但卻始終難以達(dá)成普遍的認(rèn)可。既是在21世紀(jì)的今天，關(guān)于解除羅素悖論的研究仍然是各個(gè)學(xué)界一個(gè)日久彌新的問(wèn)題。

（一）羅素的類型論

類型論是羅素本人為了解決悖論而提出的，這個(gè)理論也是羅素的著作《數(shù)學(xué)原理》的主要思想。羅素認(rèn)為康托爾的集合論出現(xiàn)的問(wèn)題不僅僅是數(shù)學(xué)問(wèn)題，這其中也包含了邏輯問(wèn)題，本質(zhì)上就和說(shuō)謊者悖論相似。想要解決悖論問(wèn)題就必須從邏輯上入手，加以改造，消除悖論的同時(shí)保持?jǐn)?shù)學(xué)的原樣。

邏輯悖論涉及到數(shù)學(xué)上的幾個(gè)基本概念，比如說(shuō)：命題、類、基數(shù)……羅素把它們歸結(jié)為命題和命題函項(xiàng)，命題函項(xiàng)或者說(shuō)函數(shù)是數(shù)學(xué)中的概念。在數(shù)學(xué)概念中，命題是指一個(gè)有真假值的表達(dá)式或是語(yǔ)句，而命題函項(xiàng)則是指那些含有變量的表達(dá)式，當(dāng)變量確指某個(gè)確定的數(shù)或者值的時(shí)候，這個(gè)函數(shù)表達(dá)式就成為一個(gè)具體的命題，函項(xiàng)本身用F（a）、F（b）等表示。類型論中的“類型”指的就是某個(gè)函項(xiàng)的意義域。意義域是指一些元素組成的集合，當(dāng)該函項(xiàng)的變?cè)∵@個(gè)意義域中的任意一個(gè)元素作為值時(shí)，所得到的命題都有意義（即可判斷真假）。根據(jù)這個(gè)定義，函項(xiàng)中的變量或者變?cè)贾荒苋∫饬x域中的某個(gè)值（也就是類型中的某個(gè)值），但是變?cè)闹挡⒉豢梢愿鶕?jù)自己的意愿隨意選取，變?cè)旧聿荒芊催^(guò)來(lái)先預(yù)設(shè)函項(xiàng)的值。函項(xiàng)的變?cè)娜≈凳艿较拗撇⑶曳譃椴煌念愋?，因此便產(chǎn)生了類型論的分層問(wèn)題。用日常生活中的語(yǔ)言來(lái)理解，就是把函數(shù)中的變?cè)獙?duì)應(yīng)到實(shí)在的簡(jiǎn)單對(duì)象上，比如說(shuō)a、b用來(lái)替代滿足某個(gè)句子的詞語(yǔ)，例如滿足句子“___是紅色的”中的“紅旗”、“鮮血”，羅素自己也把類型對(duì)應(yīng)到實(shí)際的語(yǔ)言中去，比如：“如果我們?nèi)∪俗鳛轭愋?的實(shí)體，那么聰明就是類型1的實(shí)體，因?yàn)槲覀兛梢杂幸饬x地?cái)喽ǎm然也許不是真的）蘇格拉底是聰明的，基本道德就是類型2的實(shí)體，因?yàn)槲覀兛梢杂幸饬x地?cái)喽斆魇腔镜赖?，一般說(shuō)來(lái)，每一個(gè)屬性具有比它能對(duì)之加以肯定或否定的實(shí)體更高的類型?！边@也說(shuō)明，羅素認(rèn)為類型本身分為不同的層次。

另外，根據(jù)羅素的理論，若兩個(gè)實(shí)體都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)函項(xiàng)變?cè)闹?，它們屬于同一類型。比如，句子“X是著名的作家”可以看做是一個(gè)函項(xiàng)，該函項(xiàng)的變量X在實(shí)際交際的語(yǔ)言中可以對(duì)應(yīng)不同的實(shí)體，我們可以說(shuō)“莫言是著名的作家”也可以說(shuō)“沈從文是著名的作家”，因此“莫言”和“沈從文”具有同樣的類型。不難看出，對(duì)于某個(gè)函項(xiàng)，其變?cè)闹当慌c之同類型的值的對(duì)象相互替換時(shí)，該函項(xiàng)或者命題本身依然是有意義的，但是如果與不用類型的對(duì)象進(jìn)行替換，得出來(lái)的命題便失去了意義。比如，如果我們把“莫言”和“作家”一次進(jìn)行替換原命題就變?yōu)椤白骷沂侵淖骷摇?，毫無(wú)意義的循環(huán)語(yǔ)句。羅素指出，“這是一個(gè)淺顯的事實(shí)，但不幸的是，幾乎所有的哲學(xué)都企圖忘掉它”。

（二）類型論面臨的困難

類型論雖然在一定程度上規(guī)避了悖論的產(chǎn)生，但是在實(shí)際應(yīng)用中也面臨著諸多困難。羅素本人也承認(rèn)，類型論“在很大程度上還是初創(chuàng)的，混亂的，模糊的”。其中一個(gè)很大的問(wèn)題就在于類型論的核心思想是避免惡性循環(huán)，但是類型論的表述本身卻會(huì)破壞“避免惡性循環(huán)”的規(guī)定，因?yàn)閷?duì)于類型論中的“函項(xiàng)”、“類型”的類型是沒(méi)有限制的。因?yàn)椋粋€(gè)關(guān)于函項(xiàng)本身的命題也就是一個(gè)函項(xiàng)，毫無(wú)疑問(wèn)根據(jù)羅素的理論，這變成“惡性循環(huán)。如此，類型論連本身的表述問(wèn)題都難以解決。

當(dāng)然，有人認(rèn)為上述問(wèn)題是是可以通過(guò)規(guī)定避開(kāi)的，但事實(shí)上，“類型”本身的問(wèn)題也更加棘手。由上文得知，函項(xiàng)中的變?cè)闹等绻痪哂型愋偷闹档膶?duì)象替換的時(shí)候這個(gè)命題或者函項(xiàng)依然有意義，反之則會(huì)得到無(wú)意義的命題。這條結(jié)論在被用于與“類型”本身相關(guān)的函項(xiàng)時(shí)就會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題，比如，命題“鉛筆和橡皮具有同一類型”，如果把橡皮換成“便宜”那么命題“鉛筆和便宜具有同一類型”就會(huì)被判斷為沒(méi)有意義的假命題?，F(xiàn)在若把橡皮用變?cè)猉替代。原函項(xiàng)就變成“鉛筆和X具有同一類型”，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言之中，這個(gè)推導(dǎo)出的函項(xiàng)本身是成立的，因?yàn)榭梢詫?duì)“橡皮”加以肯定，而對(duì)“便宜”加以否定。在日常生活中，影響我們判斷的往往還有一個(gè)重要因素——語(yǔ)境。限于篇幅這里就不加詳述。

針對(duì)康托爾的集合問(wèn)題，德國(guó)數(shù)理邏輯學(xué)家策梅洛也曾提出著名的公理集合論公理系統(tǒng)，使得集合在公理的限制下不會(huì)太大，從而避免了羅素悖論。后期這個(gè)系統(tǒng)發(fā)展成為了現(xiàn)在的ZF系統(tǒng)的公理集合論體系。這里也不再贅述。

（三）從語(yǔ)言本質(zhì)屬性對(duì)解悖的探索

悖論消解的研究大多是關(guān)于數(shù)學(xué)邏輯公式的改進(jìn)，常借助于人工語(yǔ)言。然而人工語(yǔ)言很難解決元語(yǔ)言問(wèn)題。自然語(yǔ)言則是最根本的語(yǔ)言，如果從自然語(yǔ)言入手，通過(guò)研究語(yǔ)言的本質(zhì)屬性而對(duì)悖論加以解釋，也許也能為解悖打開(kāi)一扇門(mén)。

學(xué)界往往把悖論分為兩種，邏輯悖論和語(yǔ)義悖論，著名的說(shuō)謊者悖論是語(yǔ)義悖論的代表，而羅素悖論是邏輯悖論的代表。但事實(shí)上，這種劃分也只是約定俗成而并沒(méi)有嚴(yán)格的分類標(biāo)準(zhǔn)。國(guó)內(nèi)現(xiàn)也有學(xué)者對(duì)這兩種悖論展開(kāi)了深入研究，有些結(jié)論值得參考。2009年，北京大學(xué)學(xué)報(bào)《悖論的語(yǔ)言結(jié)構(gòu)：遞歸否定》一文對(duì)悖論的自然語(yǔ)言展開(kāi)了探討。該篇文章談到，通過(guò)對(duì)悖論語(yǔ)言的分析，所有的悖論無(wú)論是邏輯悖論還是語(yǔ)義悖論，其產(chǎn)生往往有三個(gè)條件：第一：層階條件（存在不同的語(yǔ)言階層，如對(duì)象元和元語(yǔ)言）；第二：重指條件（存在指稱不同層階語(yǔ)句的重指詞或詞組如“這句話”）；第三：遞歸否定條件重指的兩個(gè)句子形成循環(huán)否定或遞歸否定。羅素的解決方案區(qū)分了層階的高低并且通過(guò)規(guī)避限制重指。而沒(méi)有涉及第三個(gè)條件，也就是遞歸的否定。遞歸和層階是語(yǔ)言的基本屬性，以上三個(gè)條件只要否定一點(diǎn)即可消除悖論，因而對(duì)悖論消解的研究也可以試著可以從消除遞歸否定入手。比如說(shuō)“理發(fā)師悖論”是可以分析為：

村子里的人如果給自己理發(fā)→理發(fā)師就不給他理發(fā)

由于理發(fā)師屬于村子里的人，于是就有：

如果理發(fā)師給自己理發(fā)→理發(fā)師就不給自己理發(fā)

即：理發(fā)師給自己理發(fā)→（理發(fā)師給自己理發(fā)）假

于是就形成上面的遞歸否定式“X→X假”。

同樣的羅素本身提出的集合論悖論也同樣可以用遞歸否定解釋。限于篇幅這里不展開(kāi)。該篇文章還指出雖然內(nèi)部循環(huán)是產(chǎn)生悖論的一個(gè)必要條件，而區(qū)分層階的目的是為了避免內(nèi)部循環(huán)，但是由于在語(yǔ)言中很難避免內(nèi)部循環(huán)，因此，指從層階的區(qū)分來(lái)避免悖論是不可行的。那么，如何排除遞歸否定，可能是消除悖論的關(guān)鍵。

四、總結(jié)

1901年前后，羅素悖論的提出深深地動(dòng)搖了康托爾的集合理論，震驚整個(gè)數(shù)學(xué)界，悖論的產(chǎn)生涉及到邏輯、數(shù)學(xué)、語(yǔ)言、以及哲學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，解決悖論要認(rèn)識(shí)到其中的困難性和復(fù)雜性，也是對(duì)人們思維的新的挑戰(zhàn)。類型論、公式化集合理論、以及語(yǔ)言遞歸的否認(rèn)都在一定程度上解決了羅素悖論，但是迄今為止還未得到完美方案。解悖之路是人們認(rèn)知探索之路，人們要克服自己的片面性和思維的局限性，在不斷求索中進(jìn)步。

參考文獻(xiàn)：

〔1〕N.WHITEHEAD and B.RUSSELL. Principia mathematica [M].Cambridge： Cambridge University Press， 1957.

〔2〕陳保亞，陳樾.悖論的語(yǔ)言結(jié)構(gòu)：遞歸否定[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版）2009（5）.

〔3〕陳波.邏輯哲學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2005.

〔4〕陳嘉映.語(yǔ)言哲學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

〔5〕[英]羅素.邏輯與知識(shí)[M].北京：商務(wù)印書(shū)館，1996.

〔6〕[英]羅素.我的哲學(xué)的發(fā)展[M].北京：商務(wù)印書(shū)館，1982.

〔7〕[英]羅素.哲學(xué)問(wèn)題[M].北京：商務(wù)印書(shū)館，1999.

〔8〕[英]威廉·涅爾，瑪莎·涅爾.邏輯學(xué)的發(fā)展[M].北京：商務(wù)印書(shū)館，1985.

〔9〕趙春曦.語(yǔ)言悖論的哲學(xué)問(wèn)題[J].學(xué)術(shù)交流2009（3）.

（責(zé)任編輯 徐陽(yáng)）