繼承和構(gòu)造思想在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

蘇旭景

“導(dǎo)數(shù)”是高中新課程新增加的內(nèi)容之一，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，高考每年必考，而且在解答題中一定出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)在培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)素養(yǎng)、提升學(xué)生解題能力和創(chuàng)新精神中發(fā)揮著重要作用。導(dǎo)數(shù)是整套試題的制高點(diǎn)和難點(diǎn)，有些同學(xué)談導(dǎo)數(shù)色變，覺(jué)得它高不可攀，敬而遠(yuǎn)之，致使一些分?jǐn)?shù)眼睜睜的拿不到手，無(wú)可奈何。面對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題如何多得分?jǐn)?shù)，掌握靈活、實(shí)用的解題方法和策略是學(xué)好導(dǎo)數(shù)知識(shí)的關(guān)鍵，本文談?wù)劺^承和構(gòu)造思想在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，希望能夠?qū)Υ蠹矣兴鶈⑹尽?/p>

一般來(lái)講，一道導(dǎo)數(shù)解答題中會(huì)設(shè)計(jì)2至3個(gè)小題，在解決后續(xù)問(wèn)題時(shí)，往往需要用到前一小題既得的結(jié)論才能使得問(wèn)題得以解決，這就是所謂的繼承思想。

例如：已知函數(shù)f（x）=2x2，g（x）=alnx（a>0），且不等式f（x）≥g（x）恒成立。

（1）求a的取值范圍；

（2）求證：■+■+…+■<■（其中e為無(wú)理數(shù)，約為2.71828）。

[思考流程] （條件）函數(shù)解析式→ （目標(biāo)）一個(gè)是不等式恒成立、一個(gè)是證明不等式 →（方法）構(gòu)造函數(shù)，然后使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得出參數(shù)范圍和所證不等式。

解：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=2x■-alnx，

F′（x）=4x-■，

令F′（x）=0，得x=■，所以F（x）的減區(qū)間為■，增區(qū)間為■，

F（x）■=F（x）■=F（■）=■-aln■，

只要■-aln■≥0即可，得a≤4e

又a>0，∴a的取值范圍為（0，4e]。

[思考流程] （條件）函數(shù)解析式→（目標(biāo)）一個(gè)是不等式恒成立、一個(gè)是證明不等式→（方法）構(gòu)造新函數(shù)，然后使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得出參數(shù)范圍，繼承（1）所得結(jié)論證明不等式。

（2）證明：由（1）得2x■≥4elnx，即■≤■，

所以■+■+…+■≤■（■+■+…+■）

<■（■+■+…+■）<■

本題通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究不等式，達(dá)到求參數(shù)取值范圍，證明不等式的目的，其基本思想是構(gòu)造出函數(shù)，通過(guò)對(duì)構(gòu)造函數(shù)性質(zhì)（極值，最值）的研究，得一關(guān)于參數(shù)恒成立的不等式，最后求出參數(shù)的取值范圍。

尤其第（2）問(wèn)的證明繼承了第（1）問(wèn)的結(jié)果可以輕松得證。

再如：已知函數(shù)f（x）=lnx+■

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍。

（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在■，2上的最大值和最小值；

（3）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n>1，不等ln n>■+■+■+…■式都成立。

解：（1）由已知得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）

f′（x）=■，a>0

f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)

∴當(dāng)時(shí)x∈[1+∞），f′（x）=■a≥0即a≥■恒成立。

∵當(dāng)時(shí)x∈[1+∞），■的最大值為1∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）。

（2）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)。

∴當(dāng)x∈[■，1）時(shí)，f′（x）<0即f（x）在區(qū)間[■，1）上是減函數(shù)

當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f′（x）>0即f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)

又f（■）-f（2）=1-ln2-（ln2-■）=■-2ln2=■>0

∴f（■）>f（2）

∴f（x）在[■，2]上的最小值為f（1）=0，最大值為f（■）=1-ln2。

（3）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)。

∴當(dāng)x∈[1+∞）時(shí)，f（x）>f（1）=0

即lnx+■>0即lnx>■

令■=■，n>1則x=■>1 ∴l(xiāng)n■>■

∴l(xiāng)n■+ln■+ln■+ln■>■+■+■+…+■

∴l(xiāng)n n>■+■+■+…+■

∴對(duì)任意的正整數(shù)n>1，不等式ln n>■+■+■+…+■都成立。

本題在解決第（2）小題時(shí)，注意觀察a=1時(shí)適用于（1）的結(jié)論，所以繼承第（1）的結(jié)論，f（x）在[■，2]上單調(diào)性直接可得，進(jìn)而f（x）在上的最值得解。

在解決第（3）小題時(shí)，注意觀察a=1時(shí)適用于（1）的結(jié)論，所以繼承第（1）的結(jié)論，構(gòu)造與求證式相近的形式，通過(guò)對(duì)構(gòu)造形式進(jìn)行賦值，得證恒成立的不等式。

通過(guò)以上兩例體現(xiàn)繼承和構(gòu)造思想在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，所以在解決類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，要有繼承上一問(wèn)題結(jié)論的意識(shí)，樹(shù)立構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造形式的意識(shí)，達(dá)到盡最大可能多得分?jǐn)?shù)的目的。

【責(zé)編 閆 祥】