數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

李興江

摘 要： 數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是素質(zhì)教育的重要組成部分。本文在論述了數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法及其相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，探討了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意義，提出了在知識(shí)發(fā)生過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想、在知識(shí)的總結(jié)過(guò)程中提煉數(shù)學(xué)思想、在問(wèn)題解決過(guò)程中深化數(shù)學(xué)思想的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂與精髓。沒(méi)有不包括數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)知識(shí)，也沒(méi)有游離于數(shù)學(xué)知識(shí)之外的數(shù)學(xué)思想?！稊?shù)學(xué)教學(xué)大綱》和《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)思想方法納入基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)范圍。通過(guò)近幾年的高考，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查越來(lái)越多，也越來(lái)越受到教育工作者的重視。目前，研究數(shù)學(xué)思想方法的文獻(xiàn)不少，但是在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，究竟如何強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，仍需進(jìn)一步研究。本文在論述數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法及其相互關(guān)系和數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)意義的基礎(chǔ)上，著重探討中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的策略。

1.數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法及其相互關(guān)系

數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)學(xué)符號(hào)與變?cè)枷?、集合與對(duì)應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比與歸納思想、化歸思想等。數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略。數(shù)學(xué)方法分為兩類：一類是理論形成的方法，如觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、一般化和特殊化等方法。另一類是解決實(shí)際問(wèn)題的方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待定系數(shù)、分析和綜合等方法。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的具體反映和體現(xiàn)，是處理探索解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和工具。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的理論基礎(chǔ)，是其精神的實(shí)質(zhì)，它指導(dǎo)數(shù)學(xué)方法運(yùn)用的方向?！皵?shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)方法”常常聯(lián)系在一起，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)成就，當(dāng)人們用于解決問(wèn)題時(shí)，稱之為數(shù)學(xué)方法；當(dāng)人們?cè)u(píng)價(jià)其在數(shù)學(xué)體系中的價(jià)值和意義時(shí)，稱之為數(shù)學(xué)思想。

2.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從具體的數(shù)學(xué)知識(shí)中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)的靈魂與精髓。因而，它對(duì)于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，學(xué)習(xí)能力的提高，以及未來(lái)的全面發(fā)展都有著重要的意義。

2.1加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有利于完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

知識(shí)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)內(nèi)容及其各個(gè)組成部分的搭配和排列，對(duì)于我們的認(rèn)知來(lái)說(shuō)，它是外在之物。我們通過(guò)學(xué)習(xí)將它們轉(zhuǎn)化為自己掌握的東西后，就變?yōu)閮?nèi)在之物——認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是一種邏輯結(jié)構(gòu)，主要是由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及各知識(shí)點(diǎn)之間的相互關(guān)系所構(gòu)成。學(xué)生學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅取決于原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否具有與新數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)相關(guān)聯(lián)的知識(shí)，而且取決于新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系、組織方式、結(jié)構(gòu)排列的層次性，也就是我們所說(shuō)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)思想方法是新舊知識(shí)之間聯(lián)系的橋梁，它能夠優(yōu)化新、舊知識(shí)的組織方式，促進(jìn)新、舊知識(shí)的融合，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加完善。

2.2加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理”。學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的，數(shù)學(xué)思想與方法為數(shù)學(xué)學(xué)科的一般原理的重要組成部分。懂得數(shù)學(xué)的基本原理，學(xué)生就更容易理解數(shù)學(xué)知識(shí)和內(nèi)容，也就更容易記住這些知識(shí)和內(nèi)容，從而提高學(xué)習(xí)效率，學(xué)習(xí)能力自然也就得到提高了。

2.3加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有利于促進(jìn)學(xué)生未來(lái)發(fā)展。

一位哲人說(shuō)“即使是學(xué)生把教給他的所有知識(shí)都忘記了。但是還能使他獲得受用終生的東西的那種教育，才是最高最好的教育”。無(wú)論學(xué)生將來(lái)從事什么職業(yè)，做什么樣的工作，能直接運(yùn)用學(xué)生時(shí)代所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)并不多，有些職業(yè)、有些工作很可能一點(diǎn)都用不到，但那些深深銘刻于學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)精神、思想、方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。有人做過(guò)一次統(tǒng)計(jì)：學(xué)生畢業(yè)后，研究數(shù)學(xué)和從事數(shù)學(xué)教育的人占1%，使用數(shù)學(xué)的人占29%，基本不用或很少用數(shù)學(xué)的占70%。加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，將數(shù)學(xué)知識(shí)真正建立在數(shù)學(xué)思想方法基礎(chǔ)之上，用實(shí)用數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，并且能讓學(xué)生將知識(shí)和方法用于今后的工作和生活之中，這才是成功的教學(xué)。因此，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，是學(xué)生成長(zhǎng)、發(fā)展的必然需求。

3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的策略

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂。不管是數(shù)學(xué)概念的建立，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，乃至整個(gè)“數(shù)學(xué)大廈”的構(gòu)建，核心問(wèn)題都在于數(shù)學(xué)思想方法的建立與創(chuàng)新。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要十分重視揭示在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、形成和發(fā)展過(guò)程中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。

4.1在知識(shí)的發(fā)生過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生于數(shù)學(xué)知識(shí)，而數(shù)學(xué)知識(shí)又蘊(yùn)藏?cái)?shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想方法以內(nèi)隱的方式，蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中。教師在教學(xué)中，要善于展示概念的形成過(guò)程、公式定理的探究過(guò)程、方法的思考過(guò)程，揭示蘊(yùn)涵于知識(shí)體系中的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)這些數(shù)學(xué)思想方法，并在潛移默化中達(dá)到理解和掌握。滲透應(yīng)遵循由感性到理性、由具體到抽象、由特殊到一般的原則，使認(rèn)識(shí)過(guò)程返璞歸真。讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，在自覺(jué)的狀態(tài)下，參與知識(shí)的形成和規(guī)律的揭示過(guò)程，領(lǐng)悟、運(yùn)用、內(nèi)化蘊(yùn)涵于其中的數(shù)學(xué)思想和方法。比如在學(xué)習(xí)“公式法求一元二次方程的根”這一節(jié)時(shí)，我們?cè)诠酵茖?dǎo)的過(guò)程中，從簡(jiǎn)單的方程入手，通過(guò)直接開(kāi)平方根、配方法推導(dǎo)出求根公式。我們先帶領(lǐng)學(xué)生解下面方程：

①x■-4=0，可以直接開(kāi)平方，得到x=±2。

②（x-2）■=1，直接開(kāi)平方，得到x-2=±1，從而得出：x■=1，x■=3。

此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納出：若方程的一邊是完全平方式，另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方，則可以直接開(kāi)平方，解出方程的根。

③x■-4x+3=0

此時(shí)左邊不是完全平方式，如何將左邊轉(zhuǎn)換成完全平方式，將它轉(zhuǎn)化成我們熟悉的方程直接開(kāi)平方求解呢？引出配方法，講解它的一般步驟，并進(jìn)行適當(dāng)鞏固練習(xí)。

④x■+px+2=0

⑤x■+px+q=0

⑥ax■+bx+c=0（a≠0）

在此過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用字母代替數(shù)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)思想。

在知識(shí)的形成階段，不要把數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、法則、公式、規(guī)律等結(jié)論都直接教給學(xué)生，這種灌輸式的教學(xué)會(huì)讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)很難，很枯燥，甚至失去興趣、失去信心。同時(shí)，教師在教學(xué)中不要呆板地在連接上找關(guān)聯(lián)，探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)這個(gè)過(guò)程本身就要求上下貫通、左右逢源，否則就會(huì)失去許多向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想的大好時(shí)機(jī)。

4.2在知識(shí)的概括總結(jié)過(guò)程中提煉數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)學(xué)知識(shí)貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識(shí)點(diǎn)中，有些數(shù)學(xué)思想方法在知識(shí)點(diǎn)中直接體現(xiàn)出來(lái)了，有些卻蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中。要使學(xué)生把這些數(shù)學(xué)思想方法都轉(zhuǎn)化為自己的觀點(diǎn)，并運(yùn)用它們解決問(wèn)題，就需要教師在總結(jié)概括的時(shí)候，把各種知識(shí)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法有意識(shí)地提煉出來(lái)，并有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想方法的提煉概括過(guò)程，增強(qiáng)他們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用意識(shí)，從而提高他們獨(dú)立分析、解決問(wèn)題的能力。

（1）同一章節(jié)可能蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想方法。如“直線和圓的方程”這一章就蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)換思想、歸納與類比思想等。具體分析如下：

①在求直線方程時(shí)，由多種直線方程的特殊式總結(jié)出一般式，蘊(yùn)含歸納的思想方法。

②在求直線斜率時(shí)，要將圖形與具體數(shù)值相結(jié)合，蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合的思想方法。

③在求直線和直線的交點(diǎn)時(shí)，要將兩方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化成二元一次方程組，蘊(yùn)含代入、轉(zhuǎn)換的思想方法。

（2）同一數(shù)學(xué)思想方法也可能隱藏在不同的章節(jié)之中。例如“數(shù)形結(jié)合的思想”在“直線和圓的方程”、“不等式的解法”、“函數(shù)最值”、“集合”、“三角函數(shù)”等章節(jié)中都有所體現(xiàn)。

不管是同一章節(jié)蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想方法，還是同一數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含在不同的章節(jié)之中。教師在總結(jié)概括的時(shí)候，都要把這些思想方法提煉出來(lái)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解這些數(shù)學(xué)思想方法。

4.3在問(wèn)題解決過(guò)程中，深化數(shù)學(xué)思想方法。

受應(yīng)試教育的影響，不少教師在教學(xué)中只注重一些具體技能和方法的訓(xùn)練，教給學(xué)生的僵死的知識(shí)和解題模式，結(jié)果導(dǎo)致許多學(xué)生只能停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍作改變就不知所措，所以教師不僅要教給學(xué)生解題的技巧，還要暴露思考問(wèn)題的過(guò)程，揭示蘊(yùn)涵于其中的數(shù)學(xué)思想方法，并使學(xué)生掌握這些數(shù)學(xué)思想方法，這就是授之以“漁”比授之以“魚(yú)”更重要的道理。只有這樣，學(xué)生將來(lái)再遇到類似問(wèn)題時(shí)，才可以將所掌握的一般原理運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題的解決中。

另外，解題不是我們的最終目的。解題后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步回顧解題的過(guò)程，概括蘊(yùn)含于解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和認(rèn)識(shí)，達(dá)到深化數(shù)學(xué)思想方法的目的。

例：設(shè)n是大于2的正整數(shù)，求證所有小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的立方和能被n整除。（第51屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）

分析：①最容易想到的方法是先求出所有小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的立方和，再證明這個(gè)立方和能被n整除。但求這個(gè)立方和絕非易事。②把題目變得容易一點(diǎn)，“設(shè)n是大于2的正整數(shù)，求證：所有小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的和能被n整除?！比绻€有困難，則變得再容易一點(diǎn)，將n指定為質(zhì)數(shù)101，這時(shí)一定不會(huì)有困難了。因?yàn)樾∮?01且與101互質(zhì)的正整數(shù)有1，2，…，100，它們的和高斯早已解決了，是5050，恰好是101的整數(shù)倍。高斯解法的精髓是“配對(duì)”思想。他將這100個(gè)數(shù)配成了50對(duì)，即1和100、2和99，…，50和51，每一對(duì)的和都是101，都是101的整數(shù)倍。小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)能夠如此配對(duì)嗎？設(shè)a是小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)，即（n，a）=1，由簡(jiǎn)單的數(shù)論知識(shí)即可知道，（n，n-a）=1，于是n-a也是小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)?？梢?jiàn)，小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，而a+（n-a）=n，能被n整除。會(huì)出現(xiàn)無(wú)法配對(duì)的“中間數(shù)”嗎？不會(huì)，否則a=n-a，即n=2a，與（n，a）=1矛盾。所以，小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的和能被n整除。至此，學(xué)生已容易發(fā)現(xiàn)a■+（n-a）■=n■-3an■+3a■n=n（n■-3an+3a■），也是n的整數(shù)倍，所以小于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的立方和能被n整除。

上述過(guò)程，從失敗到成功，每一步都非常自然，學(xué)生從中不僅可以獲得解題的方法，而且可以體會(huì)到數(shù)學(xué)思想在解題過(guò)程中的重要作用。上述過(guò)程中包含了豐富的化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊化思想，以及不知名的“配對(duì)”思想，這些數(shù)學(xué)思想在問(wèn)題解決過(guò)程中得到了活化，對(duì)學(xué)生日后的解題活動(dòng)具有重要的指導(dǎo)作用。最后，在實(shí)際操作中任何一種數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和掌握，絕非一朝一夕的事，也不是靠講幾節(jié)專題課所能奏效的。它需要師生要共同努力，長(zhǎng)時(shí)間滲透，逐級(jí)遞進(jìn)，不斷深化，有意識(shí)、有目的地培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想一旦在頭腦中形成了理念，數(shù)學(xué)能力及素養(yǎng)必將得到升華。