高中數(shù)學(xué)恒成立問(wèn)題的求解策略

肖常定

摘 要： 對(duì)于恒成立問(wèn)題，一些學(xué)生經(jīng)常是束手無(wú)策，不知道從哪里下手，找不到問(wèn)題的突破口，因而感覺(jué)十分困難.如果運(yùn)用方程和函數(shù)思想，采用換元、化歸、數(shù)形結(jié)合的思想方法，其實(shí)恒成立問(wèn)題是不難解決的.恒成立問(wèn)題有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn).本文就高中數(shù)學(xué)恒成立問(wèn)題的求解策略作一些歸納和總結(jié)，以饗讀者.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 恒成立問(wèn)題 思想方法 求解策略

一、二次函數(shù)型——利用“判別式△”求解

1.不等式ax■+bx+c>0（a≠0）恒成立的充要條件是：a>0△=b■-4ac<0

2.不等式ax■+bx+c<0（a≠0）恒成立的充要條件是：a<0△=b■-4ac<0

若條件中的不等式含“=”號(hào)，則將上述條件中的△<0改為△≤0即可.

3.二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，可以利用韋達(dá)定理及根的實(shí)根分布知識(shí)求解.

例1：不等式（m■-1）x■+2（m-1）x-1≤0對(duì)任意x∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的值.

解：當(dāng)m■-1=0即m=±1時(shí)，分別代入已知不等式，知m=1符合題意；

當(dāng)m■-1≠0時(shí)，由題意可得m■-1<0△=4（m-1）■+4（m■-1）■≤0，解得0≤m<1.

綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是0≤m≤1.

例2：已知函數(shù)f（x）=x■+ax+3-a，若x∈[-2，2]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析：要使x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥0恒成立，只需f（x）的最小值g（a）≥0即可.

解：f（x）=（x+■）■-■-a+3，令f（x）在[-2，2]上的最小值為g（a）.

（1）當(dāng)-■<-2，即a>4時(shí)，g（a）=f（-2）=7-3a≥0，∴a≤■，又a>4，

∴a不存在.

（2）當(dāng)-2≤-■≤2，即-4≤a≤4時(shí)，g（a）=f（-■）=-■-a+3≥0，

∴-6≤a≤2，又∵-4≤a≤4，∴-4≤a≤2.

（3）當(dāng)-■>2，即a<-4時(shí)，g（a）=f（2）=7+a≥0，∴a≥-7，又a<-4，

∴-7≤a<-4，

綜上所述，a∈[-7，2].

說(shuō)明：此題屬于含參數(shù)的二次函數(shù)最值問(wèn)題，且屬于軸變區(qū)間定的情形，應(yīng)對(duì)軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反的，軸動(dòng)區(qū)間定的情形，方法類似.

二、利用“特殊值”求解

等式中的恒成立問(wèn)題，常常用賦值法求解，特別是對(duì)選擇題、填空題能很快求得結(jié)果.

例3：如果函數(shù)f（x）=sin2x+acos2x的圖像關(guān)于直線對(duì)稱x=-■，那么a=（？搖？搖？搖？搖）

（A）1？搖？搖？搖？搖（B）-1？搖？搖？搖？搖（C）■？搖？搖？搖？搖（D）-■

解：取x=0及x=-■，則f（0）=f（-■），即a=-1，故選B.

三、利用“主元”求解

在錯(cuò)綜復(fù)雜的各種矛盾中，抓住了主要矛盾，就猶如抓住了一根主線，從而使次要矛盾迎刃而解.同樣地，在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，由于多變?cè)母蓴_，常會(huì)使學(xué)生思維的頭緒，陷入眾多繁復(fù)的岔道中，剪不清，理還亂，而如若分清主次，抓住主元，則猶如抓住一根主線，一目了然.

例4：對(duì)于滿足|p|≤2的所有實(shí)數(shù)p，求使不等式x■+px+1>2x+p恒成立的x的取值范圍.

分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母x和p，關(guān)鍵在于把哪個(gè)字母看成變量，另一個(gè)作為常數(shù).因?yàn)閜的范圍已知，故本題可將p視為自變量，上述問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為在[-2，2]上關(guān)于的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題.

解：不等式即（x-1）p+x■-2x+1>0，設(shè)f（p）=（x-1）p+x■-2x+1，則f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有

f（-2）>0f（x）>0？圯x■-4x+3>0x■-1>0？圯x>3或x<1x>1或x<-1？圯x<-1或x>3，

即x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

說(shuō)明：此類題實(shí)質(zhì)上是利用一次函數(shù)在區(qū)間[m，n]上的圖象是一條線段，故只需保證該線段兩個(gè)端點(diǎn)均在軸上方（或下方）即可.

四、利用“分離變量”求解

若對(duì)定義域內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有f（x）>g（a）恒成立，則g（a）f（x）■，反之亦然.

例5：已知x∈R時(shí)，不等式m+cos■x<3+2sinx+■恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：原不等式等價(jià)于：m-■

令f（x）=sin■x+2sinx+2=（sinx+1）■+1

當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）■=1.

依題意：m-■<1，即m-1<■.

∴m-1≥0（m-1）■<2m+1或m-1<02m+1≥0

解得1≤m<4或-■≤m<1，即-■≤m<4.

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是-■≤m<4.

五、利用“圖形”，直觀求解

若把等式或不等式進(jìn)行合理變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過(guò)畫圖，直觀判斷得出結(jié)果.尤其對(duì)選擇題、填空題，這種方法更方便、快捷.

例6：已知a>0且a≠1，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，不等式x■-a■<■恒成立，求a的取值范圍.

解：不等式x■-a■<■可化為a■>x■-■

畫出函數(shù)y=a■與y=x■-■的圖像，如圖1所示：

圖1

由圖1可知■≤a<1或1

例7：如果對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式|x+1|≥kx恒成立，求a的取值范圍.

圖2

解：畫出函數(shù)y=|x+1|與y=kx的圖像（如圖2所示），由圖2可知0≤k≤1.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉玉文.含參不等式恒成立問(wèn)題的幾種解法.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012，（9）.

[2]聶星.高中數(shù)學(xué)中不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)的處理方法.數(shù)理化學(xué)習(xí)，2010（12）.