一個(gè)收斂到Euler常數(shù)的超越數(shù)數(shù)列

【摘要】 本文給出了一個(gè)收斂到Euler常數(shù) 的超越數(shù)數(shù)列，還給出一個(gè)用調(diào)和級(jí)數(shù)片段和計(jì)算Euler常數(shù) 近似值的公式。

【關(guān)鍵詞】 收斂數(shù)列 Euler常數(shù) 超越數(shù) 調(diào)和級(jí)數(shù) 片段和

根據(jù)微積分知識(shí)，我們知道，Euler常數(shù)γ=0.5772156649…，但至今人們不知道γ是否是無(wú)理數(shù). Euler常數(shù)γ與調(diào)和級(jí)數(shù)Σ ∞ k=1 1 k 的部分和緊密聯(lián)系。作者在文獻(xiàn)[1]中證明了γ有如下的定義式（e表示自然對(duì)數(shù)的底 ，符號(hào) 表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）

γ= lim →∞ （1+ 1 2 + 1 3 +… 1 [ek]-1 -k）

=1+ 1 2 + 1 3 +… 1 [ek]-1 -k+ θk [ek] ，……………（1）

其中k∈N+，0<θk<2.

在本文中，作者給出 的另一個(gè)定義式，從這個(gè)定義式中可得到這樣的結(jié)論，即可以用一個(gè)超越數(shù)數(shù)列收斂到Euler常數(shù)γ.

考慮調(diào)和級(jí)數(shù)Σ ∞ k=1 1 k 的分段和. 當(dāng)m≤n時(shí)，我們引入記號(hào)

H（m，n）=Σ ∞ k=1 1 k ，

這樣利用微積分知識(shí)，易得

γ= H（1，n-1）-lnn+ θn n ，其中 1 2 <θn<1

又假設(shè)對(duì)于k∈N+，rk滿(mǎn)足

H（1，rk-2）

那么我們有

0

以及

k = H（1， rk-2）+ θk rk-1 ，0<θk<1

所以我們得到如下Euler常數(shù)γ的一個(gè)定義式

γ=H（1， rk-1）-lnrk+ θk rk

=k-lnrk+ θ2 rk-1 + θ1 rk ， 1 2 <θ1<1，

= k-lnrk+ θ3 rk-1 ， 1 2 <θ3<2， ………（3）

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，當(dāng)rk是大于1的整數(shù)時(shí)， lnrk是超越數(shù)，并且由上述推理過(guò)程可知， 當(dāng)rk滿(mǎn)足（2）式時(shí)， 的整數(shù)部分等于k-1，小數(shù)部分與γ的和近似等于1（當(dāng)→∞時(shí)）.也就是說(shuō)，有

γ=1-{lnrk}+ θ3 rk-1 1 2 <θ3<2，

其中{lnrk}表示lnrk的小數(shù)部分

這樣我們得到一個(gè)超越數(shù)數(shù)列{ak}，其通項(xiàng)是ak=1-{lnrk}，k=1，2，3，…，這個(gè)數(shù)列收斂到Euler常數(shù)γ.

另外，結(jié)合（1）和（3）兩式，我們還可得到用調(diào)和級(jí)數(shù)Σ ∞ k=1 1 k 的片段和計(jì)算Euler常數(shù)γ的近似值的公式，即有如下等式

γ= lim →∞ （ 1 rk + 1 rk+1 + 1 rk+2 +… 1 [ek]-1 ，

= 1 rk + 1 rk+1 + 1 rk+2 +… 1 [ek]-1 + θk rk-1 ，………（4）

其中rk滿(mǎn)足（2）式，0<θ<2 .

用初等數(shù)論知識(shí)可以得到一個(gè)結(jié)論，就是（1）和（4）兩式中的主項(xiàng)化為小數(shù)后都是混循環(huán)小數(shù)，并且當(dāng)→∞時(shí)，不循環(huán)的位數(shù)uk→∞.限于篇幅，證明從略.

猜想 Euler常數(shù)γ是一個(gè)無(wú)理數(shù)，也是一個(gè)超越數(shù).

參考文獻(xiàn)

[1] 尹必華.一個(gè)收斂于Euler常數(shù)的有理數(shù)列.現(xiàn)代教育信息.北京：世界科學(xué)教育出版社.2012（6）：139-140.

[2] 朱堯辰，徐廣善.超越數(shù)引論.北京：科學(xué)出版社.2003.