一種基于Walsh矩陣的正交多相碼設(shè)計(jì)方法

李 軍 劉 娜 劉紅明 孫 穎 何子述

(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川 成都 611731)

引 言

正交信號(hào)一般應(yīng)用于多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達(dá)體系[1-3]，良好的正交波形能夠在空間上形成低增益的寬波束，提高雷達(dá)的抗截獲性能. 接收信號(hào)經(jīng)過(guò)數(shù)字多波束技術(shù)后，能夠形成多個(gè)高增益的窄波束，能夠同時(shí)檢測(cè)出多個(gè)目標(biāo).總之，正交波形的設(shè)計(jì)越來(lái)越受到人們的重視.

常見(jiàn)正交波形的信號(hào)形式有正交離散頻率編碼信號(hào)[4]、正交頻分復(fù)用-線性調(diào)頻信號(hào)[5]、正交多相編碼信號(hào)[6].由于正交多相編碼信號(hào)帶寬利用率高，本文從多相碼設(shè)計(jì)角度對(duì)正交波形進(jìn)行設(shè)計(jì).目前正交相位編碼信號(hào)設(shè)計(jì)方法多集中在智能領(lǐng)域中，如Liu等[7]利用遺傳算法進(jìn)行正交性的搜索和相關(guān)量的優(yōu)化，但是這種算法很容易陷入局部最優(yōu).針對(duì)這一現(xiàn)象，Deng[8]利用基于遺傳算法的模擬退火算法進(jìn)行了正交相位編碼信號(hào)的設(shè)計(jì)，這一設(shè)計(jì)雖然具有很強(qiáng)的局部搜索能力，但是卻對(duì)整個(gè)搜索空間不夠了解，不利于將搜索過(guò)程進(jìn)入最希望的區(qū)域，而且沒(méi)有解決在目標(biāo)零偏移點(diǎn)處，信號(hào)間嚴(yán)格正交性(后文將在目標(biāo)零點(diǎn)偏移處信號(hào)間嚴(yán)格正交性簡(jiǎn)稱嚴(yán)格正交性)的問(wèn)題，這將會(huì)直接影響到雷達(dá)的角度測(cè)量精度和雜波對(duì)消效果[9-10].為了解決相位編碼信號(hào)間嚴(yán)格正交性的問(wèn)題[11]，本文引入了Walsh函數(shù)的概念，提出了一種基于Walsh矩陣的正交多相碼信號(hào)設(shè)計(jì)方法.Walsh矩陣保證信號(hào)間具有嚴(yán)格正交性，通過(guò)對(duì)Walsh矩陣列變換，為遺傳算法提供了嚴(yán)格正交性空間域，使得遺傳算法優(yōu)化速度得到了很大的提升.同時(shí)在遺傳算法中添加了“和信號(hào)”形式的代價(jià)函數(shù)，使得設(shè)計(jì)出的信號(hào)組在目標(biāo)檢測(cè)性能上得到了提升.“和信號(hào)”的概念來(lái)源于每個(gè)接收信號(hào)是所有發(fā)射信號(hào)在空間上疊加后的綜合信號(hào)，因此對(duì)接收的“和信號(hào)”做相關(guān)處理時(shí)，要求所有發(fā)射信號(hào)都與“和信號(hào)”做匹配濾波，各匹配濾波后疊加的綜合輸出旁瓣量直接決定著雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)性能，根據(jù)這一理念才把“和信號(hào)”的相關(guān)旁瓣輸出增加為遺傳算法代價(jià)函數(shù)之一.

本設(shè)計(jì)方案是在保證信號(hào)間嚴(yán)格正交性的同時(shí)，盡可能地降低“和信號(hào)”相關(guān)峰值旁瓣量、自相關(guān)峰值旁瓣量以及互相關(guān)峰值量.嚴(yán)格正交性的保證是通過(guò)變化后的類Walsh矩陣給予的，類Walsh矩陣是通過(guò)Walsh矩陣變化重組生成的正交多相碼矩陣，Walsh矩陣則是通過(guò)Walsh函數(shù)采樣得到的.低相關(guān)旁瓣量則是通過(guò)遺傳算法對(duì)嚴(yán)格正交信號(hào)空間域進(jìn)行篩選實(shí)現(xiàn)的.嚴(yán)格正交性使得信號(hào)處理時(shí)具有更優(yōu)的角度測(cè)量精度和雜波對(duì)消效果；低自相關(guān)旁瓣量和低互相關(guān)量的設(shè)計(jì)使得發(fā)射信號(hào)組在空間上能量分布均勻，同時(shí)降低了信號(hào)間的干擾，便于隱身；低“和信號(hào)”相關(guān)峰值旁瓣量的設(shè)計(jì)使得雷達(dá)綜合輸出端有更好的目標(biāo)檢測(cè)概率；多相碼的設(shè)計(jì)使得信號(hào)更不容易被破獲且能夠獲得比較低的相關(guān)旁瓣量.

1 正交多相碼信號(hào)形式

假設(shè)MIMO雷達(dá)發(fā)射的是一組正交相位編碼信號(hào)，信號(hào)個(gè)數(shù)為L(zhǎng)，每個(gè)信號(hào)的編碼長(zhǎng)度為N，那么編碼信號(hào)集合可表示如下：

{Sl(t)=a(t)ejφl(shuí)(n),n=1,2,…,N},l=1,2,…,L，

(1)

且為了滿足信號(hào)間嚴(yán)格正交性，要求任意兩個(gè)信號(hào)間滿足關(guān)系為

(2)

式中：a(t)為每個(gè)碼元的載頻信號(hào)；tp為信號(hào)持續(xù)時(shí)間；φl(shuí)(n)為第l個(gè)信號(hào)第n個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)的初始相位，對(duì)于四相碼來(lái)說(shuō)相位取值為

φl(shuí)(n)∈{0,π/2,π,3π/2}.

(3)

根據(jù)信號(hào)的相關(guān)處理特性，可以定義自相關(guān)A(φl(shuí),k)序列、互相關(guān)C(φp,φq,k)序列，“和信號(hào)”相關(guān)S(k)序列表達(dá)式為

(4)

(5)

(6)

由于載頻信號(hào)在每個(gè)碼元中保持不變，因此在計(jì)算相關(guān)量時(shí)可以不做考慮，簡(jiǎn)化了計(jì)算復(fù)雜度.由式(4)、(5)和(6)可見(jiàn)相關(guān)輸出是一個(gè)滑動(dòng)相關(guān)的過(guò)程，旁瓣輸出是不可避免的.“和信號(hào)”相關(guān)峰值旁瓣量高將會(huì)直接引起虛假目標(biāo)的產(chǎn)生或者掩蓋了真實(shí)的弱目標(biāo)，高的自相關(guān)旁瓣量和互相關(guān)量則會(huì)使得發(fā)射信號(hào)組在空間上能量分布不均勻，不利于隱身，所以要求設(shè)計(jì)出的正交相位編碼信號(hào)具有三種類型的低旁瓣量.

2 基于Walsh矩陣的正交多相碼矩陣設(shè)計(jì)

Walsh矩陣中的每個(gè)行向量是通過(guò)一組完備的正交函數(shù)系Walsh函數(shù)等間隔采樣得到的，該Walsh函數(shù)只有兩個(gè)取值,分別是+1和-1，假設(shè)對(duì)N=2v個(gè)Walsh函數(shù)進(jìn)行1/N=2-v等間隔采樣，那么將會(huì)得到一個(gè)N×N的Walsh矩陣.Walsh函數(shù)正交性數(shù)學(xué)表述如下：

(7)

例如當(dāng)v取3時(shí)，可以得到如下Walsh矩陣

通過(guò)采樣生成的Walsh矩陣，僅包含兩個(gè)元素+1和-1，對(duì)應(yīng)到相位上是0和π，滿足正交二相碼生成邏輯，即滿足如下兩個(gè)邏輯定理：

定理1 多個(gè)長(zhǎng)度為N的二相碼序列彼此正交的必要條件是N為偶數(shù)，且取值為+1和-1的子碼數(shù)相等；

定理2 長(zhǎng)度為2m正交二相碼序列，可以找到至少包含2m-1個(gè)序列構(gòu)成的正交編碼簇，其中任意兩個(gè)編碼之間滿足嚴(yán)格正交性約束.

定理證明如下：

定理1的證明：已知二相碼編碼中每個(gè)碼元序列的取值只能是+1和-1(分別對(duì)應(yīng)于信號(hào)相位0和π)，隨機(jī)取兩個(gè)彼此正交的編碼序列M1和M2，兩個(gè)二相編碼序列的長(zhǎng)度均為N，然后逐個(gè)比較兩個(gè)編碼序列的碼元，記符號(hào)相同的碼元個(gè)數(shù)為N1，符號(hào)不同的碼元個(gè)數(shù)為N2，則有N1+N2=N.為保證兩個(gè)二相碼序列嚴(yán)格正交性，N1和N2需滿足N1=N2，所以有

N=N1+N2=2N1=2N2.

(8)

由此可見(jiàn)，N必須是偶數(shù)才能夠保證嚴(yán)格正交性，而且為控制編碼序列的自相關(guān)旁瓣，二相碼序列取+1和-1的數(shù)量必須相等，證明完畢.

定理2的證明：利用歸納法，當(dāng)m=2時(shí)定理顯然成立，且根據(jù)定理1，任意一個(gè)二相碼序列中+1和-1的個(gè)數(shù)相等.

假定當(dāng)m=k0≥2時(shí)定理2成立，即存在一個(gè)編碼長(zhǎng)度為N=2k0，含N-1個(gè)正交二相碼的編碼簇，記編碼序列為mi，i=1,2,…,N-1.

先構(gòu)造出三個(gè)長(zhǎng)度都為2N的二相碼簇，第一個(gè)記為D，編碼總數(shù)為N-1，表示為

D={d|di=mi‖mi,i=1,2,…,N-1};

(9)

第二個(gè)記為E，編碼總數(shù)為N-1，表示為

(10)

第三個(gè)記為F，它只含一個(gè)編碼序列

(11)

w為長(zhǎng)度為N的全+1二相碼串，則并接在一起的為全-1的二相碼串.

從簇D和E中各取一個(gè)元素di和ej，考察兩串二相碼之間的正交性，顯然有：

如果i=j，則兩串二相碼之間符號(hào)相同和相反的子碼數(shù)量各為N，則推出di與ej正交；于是有D與E正交.

記G為F、D和E三者間的交集，綜合前面的推理可知G中所有元素取+1和-1的子碼個(gè)數(shù)相同，并且所有元素兩兩滿足正交的條件，而G中元素的個(gè)數(shù)為

2(N-1)+1=2(2k0-1)+1=2k0+1-1,

(12)

這說(shuō)明m=k0+1時(shí)定理成立.綜合上述過(guò)程可知，定理2成立.

通過(guò)生成邏輯，Walsh矩陣僅僅滿足二相碼信號(hào)間的嚴(yán)格正交性，并且沒(méi)有考慮到信號(hào)的相關(guān)旁瓣輸出，需要利用遺傳算法對(duì)相關(guān)旁瓣量進(jìn)行優(yōu)化選擇以滿足實(shí)際需求.由于設(shè)計(jì)出的正交二相碼信號(hào)相位個(gè)數(shù)較少，因此需要拓展相位個(gè)數(shù)，以四相碼為例構(gòu)造出的類Walsh矩陣形式為

(13)

式中矩陣A為一個(gè)N×N的Walsh矩陣，通過(guò)A矩陣構(gòu)造出2N×2N的矩陣C就滿足相位個(gè)數(shù)為四相的正交矩陣，證明如下：

定義ci,cj分別表示為矩陣C的第i,j行，ai,aj分別表示矩陣A的第i,j行.當(dāng)i,j>N時(shí)，則ai=ai-N,aj=aj-N，并且矩陣A中任意兩個(gè)行向量具有嚴(yán)格正交性，這是由正交Walsh陣的性質(zhì)決定的，那么C中行向量的取值存在如下兩種情況(i,j顯然不能取相同的值)：

第一種情況，i,j同時(shí)取在前N行或者后N行，那么

ci·cj=ai·aj±j(ai·aj)

=0±j0

=0;

(14)

第二種情況，i,j一個(gè)取前N行，一個(gè)取在后N行，那么當(dāng)j=i+N時(shí),

ci·cj

=ai·(-j)aj+jai·aj

=ai·(-j)ai+jai·ai

=-jN+jN

=0,

(15)

當(dāng)j≠i+N時(shí),

ci·cj

=ai·(-j)aj+jai·aj

=ai·(-j)aj-N+jai·aj-N

=-j0+j0

=0.

(16)

證明完畢.以此類推可以設(shè)計(jì)出滿足8相、16相等類Walsh矩陣，由于Walsh矩陣可以無(wú)限制的擴(kuò)展，因此本文設(shè)計(jì)出的多相編碼信號(hào)的編碼長(zhǎng)度可以無(wú)限擴(kuò)展，但是擴(kuò)展的編碼長(zhǎng)度必須為2的正次方倍，原因從二相生成邏輯看，Walsh矩陣可以按照2的次方倍無(wú)限擴(kuò)展，類Walsh矩陣大小與Walsh矩陣存大小存在2倍的關(guān)系，因此設(shè)計(jì)出的正交信號(hào)組能夠按照2的次方倍無(wú)限擴(kuò)展.

但是，設(shè)計(jì)出來(lái)的類Walsh矩陣從整個(gè)生成邏輯上看僅僅是保證了信號(hào)間的嚴(yán)格正交性，對(duì)于相關(guān)旁瓣量依然沒(méi)有考慮，因此要獲得低相關(guān)旁瓣量的信號(hào)組，需要在類Walsh矩陣形成的嚴(yán)格正交性空間域上，利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化選擇.類Walsh矩陣形成的嚴(yán)格正交性空間域是指對(duì)類Walsh矩陣進(jìn)行初等列變換后可能形成的各種正交矩陣的集合，由于列變換打亂了原有相位編碼的排列順序，所以通過(guò)不同的列變換可以形成不同旁瓣量的正交信號(hào)組，根據(jù)矩陣?yán)碚撓嚓P(guān)知識(shí)了解，列變換不會(huì)影響正交矩陣行向量間的嚴(yán)格正交性.

3 遺傳算法優(yōu)化選擇

通過(guò)重新編排Walsh陣生成類Walsh矩陣，如果直接從其中任意選取某幾個(gè)行向量作為雷達(dá)發(fā)射的相位編碼信號(hào)組，那么信號(hào)間具有嚴(yán)格正交性，但是相關(guān)旁瓣輸出是否比較低卻不能保證.并且由于Walsh矩陣生成邏輯的限制，直接抽取其中某幾個(gè)行向量作為雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的編碼序列則很容易被破譯，從而增大了雷達(dá)基站被發(fā)現(xiàn)的概率，因此需要通過(guò)遺傳算法對(duì)類Walsh矩陣生成的嚴(yán)格正交性空間域進(jìn)行優(yōu)化選擇，打亂原有的編碼排列邏輯，得到低自相關(guān)峰值旁瓣量、低互相關(guān)峰值量以及低“和信號(hào)”相關(guān)峰值旁瓣量的發(fā)射信號(hào)組.以四相碼為例介紹總體設(shè)計(jì)步驟，流程框圖如圖1所示.

根據(jù)流程框圖具體設(shè)計(jì)步驟如下：

第一步，生成Walsh矩陣A，并按公式(13)編排后生成類Walsh矩陣C作為初始嚴(yán)格正交性空間域的一組值.

第二步，產(chǎn)生初始種群即對(duì)設(shè)置好大小種群的每個(gè)個(gè)體的染色體進(jìn)行編碼，每個(gè)染色體由兩部分組成：一部分編碼將譯碼成正交四相碼陣的隨機(jī)列重排，另一部分編碼將譯碼為對(duì)隨機(jī)列重排后四相碼矩陣的隨機(jī)行抽取.例如需求編碼長(zhǎng)度為N=4，信號(hào)個(gè)數(shù)L=2的信號(hào)組，染色體編碼形式如下：

譯碼表述為：原正交四相碼矩陣的第3列、第4列、第1列和第2列重排成為新正交四相碼矩陣的第1列、第2列、第3列和第4列，抽取的信號(hào)組為新正交四相碼矩陣的第2行和第4行.

第三步，適應(yīng)度值的計(jì)算與分配，適應(yīng)度值的代價(jià)函數(shù)由自相關(guān)峰值旁瓣量、互相關(guān)峰值量、“和信號(hào)”相關(guān)峰值旁瓣量三部分組成，目的在于能夠使得發(fā)射信號(hào)在空間上能量分布均勻，以及提升綜合信號(hào)對(duì)目標(biāo)的檢測(cè)性能.

第四步，利用遺傳算法中的遺傳算子(選擇、交叉、變異)對(duì)種群進(jìn)行優(yōu)化更新.

第五步，重復(fù)第三步和第四步直到滿足結(jié)束條件即遺傳代數(shù)達(dá)到設(shè)定的最大值.

圖1 流程框圖

4 仿真結(jié)果

仿真參數(shù)設(shè)置為編碼長(zhǎng)度N=1 024，信號(hào)個(gè)數(shù)選擇L=4，相位個(gè)數(shù)選擇為四相，最大遺傳代數(shù)為100.遺傳算法優(yōu)化結(jié)束后得到的信號(hào)組的歸一化相關(guān)峰值如表1所示.

表1 優(yōu)化后四相碼相關(guān)峰值表

圖2 優(yōu)化后四相碼自相關(guān)圖

圖3 優(yōu)化后四相碼互相關(guān)圖

圖4 優(yōu)化后四相碼“和信號(hào)”相關(guān)圖

圖5 優(yōu)化后四相碼互相關(guān)局部圖

根據(jù)表1得到平均自相關(guān)峰值旁瓣量(平均ASP)為0.069 1，平均互相關(guān)峰值量(平均CP)為0.070 5即-23.160 3 dB和-23.031 0 dB，“和信號(hào)”相關(guān)峰值旁瓣為0.061 5(-24.082 4 dB)，所有相關(guān)旁瓣量比較低.

設(shè)計(jì)出的四相碼信號(hào)的歸一化自相關(guān)整體圖如圖2所示；歸一化互相關(guān)整體圖如圖3所示；歸一化“和信號(hào)”相關(guān)輸出如圖4所示.

由圖2～4可見(jiàn)“和信號(hào)”相關(guān)輸出旁瓣電平、自相關(guān)旁瓣電平和互相關(guān)旁瓣電平都是比較低的，使得信號(hào)組的抗截獲性能更高，同時(shí)更容易檢測(cè)到弱目標(biāo)并使虛假目標(biāo)的出現(xiàn)概率降低.

本文的又一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于設(shè)計(jì)出的信號(hào)組滿足嚴(yán)格正交性，通過(guò)圖5(互相關(guān)局部放大圖)可以看出信號(hào)間在目標(biāo)零點(diǎn)偏移處互相關(guān)量輸出為0，說(shuō)明該方法是可行的.嚴(yán)格正交性的滿足，使得信號(hào)在角度測(cè)量精度和雜波對(duì)消效果上得到了很大的提升.

下面針對(duì)設(shè)計(jì)出的正交多相編碼信號(hào)做多普勒容忍性能分析，設(shè)置脈沖重復(fù)周期為tr，占空比為η=20%，那么一個(gè)脈沖周期內(nèi)信號(hào)持續(xù)時(shí)間tp=0.2tr.多普勒頻率為fd，歸一化后的多普勒分辨率(歸一化多普勒為fd*tr=fd*5tp)如圖6所示.

圖6 歸一化多普勒分辨率

通過(guò)圖6發(fā)現(xiàn)該信號(hào)組多普勒分辨率僅與脈沖持續(xù)時(shí)間有關(guān)，與相位編碼序列的排列順序無(wú)關(guān)，具有一般相位編碼信號(hào)多普勒容忍性較差的特性，因此相位編碼信號(hào)一般用于檢測(cè)靜止目標(biāo)，如果用于探測(cè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，則需要在信號(hào)處理端進(jìn)行多普勒預(yù)補(bǔ)償.

5 結(jié) 論

正交相位編碼是正交信號(hào)的一種重要形式，被廣泛的應(yīng)用于MIMO雷達(dá)上.多相碼的設(shè)計(jì)使得雷達(dá)信號(hào)隱蔽性更強(qiáng)，實(shí)際雷達(dá)發(fā)射相位編碼信號(hào)需求低綜合旁瓣量，從而便于對(duì)目標(biāo)的檢測(cè).本文提出了一種正交多相碼的設(shè)計(jì)方法.Walsh函數(shù)正交性能的利用使得設(shè)計(jì)出的多相碼序列具有嚴(yán)格正交性，便于提升角度測(cè)量精度和雜波對(duì)消效果；遺傳算法在正交性空間域上優(yōu)化選擇使得信號(hào)組具有低旁瓣量，降低了傳統(tǒng)遺傳算法的優(yōu)化運(yùn)算量；增加“和信號(hào)”形式的代價(jià)函數(shù)，使得遺傳算法優(yōu)化出的信號(hào)組提升了目標(biāo)檢測(cè)性能.

但是，本文設(shè)計(jì)出來(lái)的信號(hào)組仍然是相位編碼信號(hào)，它具有相位編碼信號(hào)的特有屬性，例如對(duì)多普勒比較敏感等，這就需要在接收信號(hào)處理時(shí)，進(jìn)行多普勒預(yù)補(bǔ)償來(lái)解決該問(wèn)題.

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