速率理論中傳質阻力項的置換模擬與經濟學思考

游士兵，吳 比，劉 昊，包莉麗，王書穎

（武漢大學經濟管理學院，武漢430072）

0 引言

游士兵等（2011）首先對色譜分析原理在經濟領域的應用進行理論前瞻研究，并對色譜分析法置換到經濟學中的可行性進行了理論分析和需求分析。隨后，對色譜經濟分析法中的有關概念（分配比、保留時間等）做出了相應的置換（沈萍等，2011），并對色譜分析法中塔板理論進行經濟學置換和模擬分析（游士兵等，2012）。但塔板理論忽略了組分在兩相間的擴散與傳質過程，而速率理論正是在此基礎上，把色譜過程看作一個動態(tài)非平衡過程，研究過程中的動力學因素對峰展寬（即柱效）的影響，在一定的程度上彌補塔板理論的不足?；诖?，游士兵等（2013）先后對速率理論中的分子擴散項和渦流擴散項進行了經濟學思考和置換，并模擬了分子擴散項和渦流擴散項對消費群體分離的影響?；诖?，本文將對速率理論的最后一項——傳質阻力項進行進一步探究與現(xiàn)實模擬。

1 速率理論置換的理論

在速率理論之分子擴散項和渦流擴散項的置換研究中，游士兵等（2013）對速率理論的基本原理進行了詳細闡述，這里不作詳述。速率理論充分考慮了組分在兩相間的擴散與傳質過程，把色譜過程看作一個動態(tài)非平衡過程，研究過程中的動力學因素對峰展寬（即柱效）的影響，其理論模型Van Deemter方程的數學簡化式為：

其中u為流動相平均線速度，A、B、C為常數分別代表渦流擴散項系數、分子擴散項系數、傳質阻力項系數。速率理論的擴散作用體現(xiàn)在渦流擴散項和分子擴散項，而傳質作用則體現(xiàn)在傳質阻力項。鑒于分子擴散項和渦流擴散項已在之前的研究中予以討論，本文以傳質阻力項C作為置換對象進行討論。

所謂傳質阻力，即阻礙組分分子在兩相間的快速傳遞，導致有限傳質速率的分子間作用力，其作用的結果是組分分子在兩相間的平衡不可能瞬間完成。塔板理論的假設之一即組分在兩相間的平衡是瞬時完成的，故塔板理論忽略了傳質作用對色譜分離過程的作用，對傳質阻力項的研究能夠彌補這一不足。

2 傳質阻力項（C）及其置換思考

2.1 傳質阻力項（C）

在填充色譜柱中，組分分子在流動相和固定相之間進行分配并實現(xiàn)局部分配均衡，這種在兩相間互相擴散的過程，稱為質量傳遞。質量傳遞過程需要一定時間才能完成，即所謂傳質速率的有限性。阻礙組分分子在兩相間的快速傳遞，導致有限傳質速率的分子間作用力稱為傳質阻力，而傳質阻力的存在使組分分子在兩相間的平衡不可能瞬間完成。有些組分未能進入固定相，就被流動相推向前進，發(fā)生分子超前；而有些組分在固定相未能分布平衡并進入流動相，發(fā)生分子滯后。因而，傳質阻力項導致非平衡過程從而引起色譜峰的擴張。

根據色譜柱的填充狀態(tài)，可將傳質阻力項分為氣相傳質項（Cg）和液相傳質項（Cs），其公式分別為：

式（1）中，k為分配比；dp為固定相粒徑；Dg為組分在氣相中的擴散系數。式（2）中，q是由固定相顆粒形狀所決定的結構因子，當固定相呈球形時q為8 π，當固定相形狀不規(guī)則時q為2 3，即q為一常數；df為固定液液膜的厚度；Ds為組分在固定相中的擴散系數。可以看到，氣相傳質項和液相傳質項，都取決于分配比的大小、固定相的形狀以及組分在固定相中的擴散系數。

2.2 傳質阻力項的置換思考

2.2.1 傳質阻力項

本文為旨在探究傳質阻力項在色譜經濟學領域的定義及置換問題。在塔板理論中，分配平衡被認為是瞬時完成的，而速率理論考慮了組分分子在兩相間的平衡不是瞬間完成的，這種假設更加符合現(xiàn)實狀況。化學領域中色譜柱存在不同的填充狀態(tài)，因而有氣相傳質項和液相傳質項之分，但經濟領域中色譜柱是一定環(huán)境約束下的經濟行為發(fā)生的空間概念，對經濟主體而言空間和時間不存在具體的狀態(tài)差別。在此基礎上，經濟領域的傳質阻力項（C）將綜合考慮氣相傳質項（Cg）和液相傳質項（Cs）的基本性質和作用機制。

設d為固定相的平均粒徑，則其在氣相色譜系統(tǒng)中表現(xiàn)為固定相粒徑dp，在液相色譜系統(tǒng)中表現(xiàn)為在固定液液膜的厚度df；設D為組分在色譜柱中的擴散系數，則其在氣相色譜系統(tǒng)中表現(xiàn)為Dg，在液相色譜系統(tǒng)中表現(xiàn)為Ds。設C=Cg?Cs，則經濟領域的傳質阻力項C取決于固定相的平均粒徑d和組分在色譜柱中的擴散系數D，表現(xiàn)為：

傳質阻力體現(xiàn)在兩個具體過程，一是從流動相進入到固定相時受到的傳質阻力，二是從固定相進入到流動相受到的傳質阻力。其結果是進入固定相且在其中停留一定時間的某組分分子，在返回到流動相時，必然會落后于原來在載氣中向柱尾前進的組分，從而引起流出曲線的展寬。以消費行為為例，消費傾向的放棄意味著儲蓄傾向的形成，反之亦成立。消費者會出現(xiàn)兩種相反的傳質過程，一是從放棄消費傾向（即形成儲蓄傾向）到實現(xiàn)儲蓄行為時受到的傳質阻力，二是從放棄儲蓄傾向（即形成消費傾向）到實現(xiàn)消費行為時受到的傳質阻力。換言之，從放棄消費傾向到實現(xiàn)儲蓄行為并不是瞬時完成的，同樣從放棄儲蓄傾向到形成消費行為也不是瞬時完成的?，F(xiàn)實中，由于經濟環(huán)境因素發(fā)生變化或經濟行為本身需要實現(xiàn)時間，經濟主體從行為傾向到實現(xiàn)行為是需要一定時間，故而也受到傳質阻力的作用。

2.2.2 傳質阻力項的影響因素及其置換

在化學領域中，傳質阻力會引起組分流出曲線的擴張，用公式表現(xiàn)為傳質阻力項取決于固定相粒徑d和擴散系數D有關。

⑴固定相粒徑d

在速率理論中，d是影響渦流擴散項A=2λdp的重要因素，被置換為消費者對外界環(huán)境的敏感性。同樣，d對傳質阻力項C的作用也體現(xiàn)在消費者對外界環(huán)境的敏感性。這里的外界環(huán)境主要是指可能會影響消費行為的實現(xiàn)的經濟環(huán)境因素，包括消費渠道的創(chuàng)新、支付方式的選擇等。當消費者對上述經濟環(huán)境因素足夠敏感時，消費者能選擇高效的消費途徑和方式，從而迅速地實現(xiàn)消費行為；當消費者對上述經濟環(huán)境因素極不敏感時，可能會花費較長的時間才能實現(xiàn)消費行為，從而出現(xiàn)行為滯后。

d對渦流擴散項和傳質阻力項作用的不同，主要體現(xiàn)在具體經濟環(huán)境因素的不同。d影響渦流擴散項，是通過優(yōu)惠券的到期、商品促銷活動、新開張的商業(yè)街、以及銀行利率的變化等因素造成消費滯后或消費提前；而d影響傳質阻力項，是通過消費渠道的創(chuàng)新、支付方式的選擇等因素造成行為實現(xiàn)的滯后。前者的經濟環(huán)境因素是偶然的不確定的，當經濟中存在這些因素時渦流擴散作用才會存在；后者的經濟環(huán)境因素是必然的不可避免的，消費者必然會選擇一種或幾種特定的消費渠道和支付方式。

⑵擴散系數D

擴散系數D反映了組分在色譜柱中的運動情況，當擴散系數D越大，組分在色譜柱中擴散越快，受到的傳質阻力越不明顯。以消費行為為例，較大的D意味著消費者在固定相（即儲蓄傾向）的作用下會較快實現(xiàn)儲蓄行為，或者離開固定相時會較快實現(xiàn)消費行為。因此，消費者在儲蓄和消費的選擇上會更快地實現(xiàn)平衡分配。當D無限大時，傳質阻力接近于0，則消費者選擇消費和儲蓄行為可以認為是瞬時完成的，這就是塔板理論下的假設情況。

擴散系數D被置換為經濟行為的實現(xiàn)時間，因具體經濟行為的不同而不同。例如，經濟主體對某種行為的傾向會引導其進行相應的決策行為，但這種經濟行為本身需要相應的實現(xiàn)時間，例如消費行為需要選擇時間或備款時間，投資行為需要咨詢時間或操作時間等。擴散系數D與經濟行為實現(xiàn)的難易程度密切相關，消費行為需要瀏覽商品和準備貨款，比較容易實現(xiàn)，所以擴散系數D較大、傳質阻力較?。欢顿Y行為需要獲取信息和操作軟件，相對來說不是那么容易實現(xiàn)，所以擴散系數D較小，傳質阻力較大。

3 對消費者行為的速率理論置換實例及模擬

3.1 分離過程假設

本文沿用游士兵等（2012）塔板理論中的研究，以特定消費群體的消費行為為研究對象，對速率理論中的傳質阻力項進行置換。有如下假設：

⑴假設待分類組分為兩類消費群體，這些消費人群對于可支配收入只有兩種選擇——消費和儲蓄。其中，流動相為消費傾向，固定相為儲蓄傾向，且A類消費群體的分配比k=1：1，B類消費群體的分配比為1：4。

⑵若考慮傳質阻力，則消費者會出現(xiàn)兩種相反的傳質過程，一是從形成儲蓄傾向到實現(xiàn)儲蓄行為時受到的傳質阻力，二是從形成消費傾向到實現(xiàn)消費行為時受到的傳質阻力。傳質阻力項的結果是進入固定相再返回到流動相中的組分會落后于原來在載氣中向柱尾前進的組分，表現(xiàn)為選擇儲蓄的消費者會延遲進入到下一塔板。

⑶為了更簡單明了地體現(xiàn)傳質阻力作用，本文假設消費者從形成儲蓄傾向到實現(xiàn)儲蓄行為的平均時間間隔為T=1，且形成消費傾向到實現(xiàn)消費行為的平均時間間隔也為T=1。在色譜柱中，表現(xiàn)為原本瞬時完成的分配平衡需要t=1才能完成。

3.2 速率理論模擬

3.2.1 待分離組分為單一組分的流出曲線

以下模擬過程以上述分離過程假設為基礎，當可支配收入每增加一次時，消費者會進行一次消費和儲蓄的選擇。在塔板理論中，消費群體每一期對在消費和儲蓄的選擇是瞬時完成的。在不存在傳質阻力的情況下，經過多次的分配平衡后，A類消費群體會形成如表1中的分配情況?？梢钥吹?，t=1時A類消費群體中有50位選擇消費，50位選擇儲蓄（即留在塔板0中）。

表1 不存在傳質阻力的分配情況（分配比k=1：1）

考慮傳質阻力作用，消費者會出現(xiàn)兩種相反的傳質過程，一是從形成儲蓄傾向到實現(xiàn)儲蓄行為時受到的傳質阻力，二是從放棄儲蓄傾向到實現(xiàn)消費行為時受到的傳質阻力。為了反映具體的傳質過程，將每個塔板進行分割，細化為“傾向”和“行為”，若消費者與固定相發(fā)生作用，則首先會形成儲蓄傾向，經過一定時間才能實現(xiàn)儲蓄行為；若消費者離開固定相，則首先會形成消費傾向，經過一定時間才能實現(xiàn)消費行為。由于消費決策到行為發(fā)生的平均時間間隔為T=1，則留在原塔板的消費者要到下一期才能實現(xiàn)儲蓄行為，其結果表現(xiàn)為兩相間的組分數量不能瞬時達到平衡，同期固定相中的組分數量要滯后于流動相。

如表2所示，右方為“形成消費傾向”（逆向即“形成儲蓄傾向”），虛線左邊為“實現(xiàn)儲蓄行為”。在t=1期，塔板0中的100位消費者中有50位選擇消費，另外50位首先會形成儲蓄傾向，即塔板0中呈0/50分布。由于儲蓄決策到行為發(fā)生的平均時間間隔為T=1，則在t=2時已形成儲蓄傾向的50位會實現(xiàn)其儲蓄行為，即塔板0呈50/0分布。這50名消費者在t=2時會重新進行分配，選擇消費的25位會首先形成消費傾向（即原塔板呈25/25分布），t=4時這25位消費者才會實現(xiàn)其消費行為（即進入下一塔板）。

表2 存在傳質阻力的分配情況（分配比k=1：1）

圖1 A類消費群體的流出曲線

以上分配過程對應的流出曲線如圖1所示，當存在傳質阻力時，流出曲線會向右擴展?？梢钥吹?，在t=4之前，兩種情況下的流出曲線重合；在t=5至t=6之間，傳質阻力的存在使得組分在固定相中停留更長的時間，以至于在這段時間內并沒有組分的流出；在t=6之后，存在傳質阻力的分配情況依舊呈現(xiàn)峰形分布，整體表現(xiàn)出流出曲線的相對右移。

3.2.2 待分離組分為混合物的流出曲線

對于B類消費者，其分配比為1：4，在塔板理論下，其分配情況如表3。

存在傳質阻力時，表4給出B類消費群體的分配情況。在t=1期，塔板0中的100位消費者中有80位選擇消費，另外20位首先會形成儲蓄傾向，即塔板0中呈0/20分布。在t=2時，已形成儲蓄傾向的20位會實現(xiàn)其儲蓄行為，于是塔板0呈20/0分布。這20名消費者在t=2時會重新進行分配，選擇消費的16位會首先形成消費傾向，最終在t=4時這16位消費者才會實現(xiàn)其消費行為（即進入塔板1）。

表3 不存在傳質阻力的分配情況（分配比k=1：4）

表4 存在傳質阻力的分配情況（分配比k=1：4）

根據以上分配結果，可得到A、B兩類消費群體的流出曲線，其中圖2為不存在傳質阻力的流出曲線，圖3為存在傳質阻力的流出曲線。

圖2 不存在傳質的流出曲線

圖3 存在傳質阻力的流出曲線

3.3 結果與分析

圖2中，A、B兩類消費群體的流出曲線的保留時間(即從組分從出樣到出現(xiàn)峰最大值所需要的時間)分別為t=3/4和t=1，且峰高和峰寬差異明顯，故能較好地分離兩類消費群體。圖3中，兩類消費群體在t=5至t=6之間流出的組分都接近0，這是因為傳質阻力的存在使得組分在固定相中停留更長的時間，以至于即使最早離開固定相的組分也要滯后一定時間流出，這部分“突兀的”流出曲線對消費群體的分類并沒有實質的參考意義，可以暫不考慮。在t=6之后，兩條流出曲線均呈峰形分布，保留時間分別為t=9和t=7，但峰高和峰寬差異不明顯，流出曲線會有較大的重合?？傊?，當待分離物質為混合組分時，由于各組分的分配系數有差異，不同組分的色譜峰會相應展寬，從而分離效果降低，整個色譜柱的柱效下降。

在本模擬過程中，為了在分配表中體現(xiàn)具體的傳質過程，故假設消費者從形成儲蓄/消費傾向到實現(xiàn)相應行為的平均時間間隔為T=1，認為原本在當期應該完成的行為滯后到下一期才完成?，F(xiàn)實中，這種經濟行為的實現(xiàn)時間會明顯小于時間單位T。速率理論假設可支配收入以脈沖式增加，每隔時間T增加M元，這種收入形式常常以工資的形式出現(xiàn)，譬如月工資或周工資。而消費者從形成消費傾向到實現(xiàn)消費行為所需的時間通常在一天以內或數天，從形成儲蓄傾向到實現(xiàn)儲蓄行為可能需要更短的時間。因此，本文假設行為滯后的時間間隔明顯偏大，造成圖3中流出曲線過分地向右延展，從而放大了分離度的下降效果?，F(xiàn)實中，由于消費者從形成儲蓄/消費傾向到實現(xiàn)相應行為的時間間隔明顯小于T，因而流出曲線只會發(fā)生較小的展寬，不會出現(xiàn)圖3中被放大的情況。

色譜分析法的實際應用離不開定量分析，經濟研究領域的定量分析常常依賴于數據收集，但針對經濟行為的數據收集不可能精確到很小的時間范圍，通常以天、月、季、年為單位。

在現(xiàn)實經濟中，消費者從形成儲蓄（消費）傾向到實現(xiàn)儲蓄（消費）行為所需的時間通常在一天以內或數天，所以一天以內的消費時滯是可以忽略的，而數天的消費時滯也不占大多數，所以傳質阻力項在經濟領域的作用并不如圖3中那樣顯著，在高效率的經濟中甚至不存在。當然，傳質阻力項對投資者分類的干擾作用比對消費者分類的更大，因而其作用應視具體情況而定，應更加貼近經濟現(xiàn)實。

4 結語

本文以消費者的消費行為為研究對象，對速率理論中的傳質阻力項進行初步探究與現(xiàn)實模擬。傳質阻力的存在使組分分子在兩相間的平衡不可能瞬間完成，表現(xiàn)為經濟主體的行為傾向到行為實現(xiàn)需要一定時間。傳質阻力存在的原因是外界經濟環(huán)境的作用和經濟行為的必要實現(xiàn)時間。以消費行為為例，固定相粒徑d被置換為消費者對外界環(huán)境的敏感性，比如對消費渠道和支付方式的選擇。擴散系數D被置換為經濟行為的實現(xiàn)時間，因具體經濟行為的不同而不同。模擬的結果表明，當消費者從形成儲蓄（消費）傾向到實現(xiàn)儲蓄（消費）行為需要顯著的時間時，流出曲線會相對向右展寬，從而分離度下降。至此，速率理論的三個基本要素已完成初步置換和探究，后續(xù)將對速率理論進行全面深入的綜合研究。

[1]游士兵，吳比，沈萍，梅敏，蘇正華.復雜經濟現(xiàn)象分類方法創(chuàng)新的理論前瞻——基于化學“色譜分析法”的借鑒與思考[J].統(tǒng)計與決策，2011，（7）.

[2]游士兵，梅敏，吳比.色譜分析法在經濟領域中的應用展望[J].統(tǒng)計與決策，2011，（11）.

[3]沈萍，張佩，毛鍇苑，李跟強，游士兵.色譜經濟分析法置換系列研究：分配比[J].統(tǒng)計與決策，2011，（7）.

[4]沈萍，游士兵，毛鍇苑，張佩，李跟強.色譜經濟分析法置換系列研究：保留時間[J].統(tǒng)計與決策，2012，（13）.

[5]游士兵，蘇正華，崔婭雯，等.速率理論中分子擴散項的置換模擬與經濟學思考[J].統(tǒng)計與決策，2013，（1）.

[6]游士兵，吳比，張佩，等.速率理論中渦流擴散項的置換模擬與經濟學思考[J].統(tǒng)計與決策，2013，（4）.

[7]蘇立強，鄭永杰.色譜分析法第1版[M].北京：清華大學出版社,2009.