實際應(yīng)用型問題

試題特征分析

數(shù)學應(yīng)用型問題是歷年中考命題的主要題型之一.這類問題大多是源于自然、社會與科學中的現(xiàn)象，呈現(xiàn)時通常會經(jīng)過數(shù)學的“形式化”處理，文字敘述貼近現(xiàn)實生活，題目較長，數(shù)量關(guān)系分散隱蔽.面對此類問題，同學們通常會感到茫然，不知從何下手，易產(chǎn)生恐懼、畏懼心理.

解題方法指導(dǎo)

解實際應(yīng)用型問題的一般程序：

（1） 讀：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系.應(yīng)用題文字表達是必不可少的，疏通文字、閱讀理解題意是入門的第一關(guān).

（2） 建：解應(yīng)用題的根本是“建?！?，熟悉基本數(shù)學模型，正確簡便地建立數(shù)學模型是關(guān)鍵的一環(huán).即針對題意，完成由實際應(yīng)用性問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，選擇好所要用到的數(shù)學知識，通過抽象、概括將其轉(zhuǎn)化為一個純粹的數(shù)學問題.

（3） 解：求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結(jié)論.即運用我們具備的數(shù)學知識和技能，完成對所建數(shù)學模型的解答.

（4） 答：將數(shù)學方法得到的結(jié)論，還原為實際問題的意義.由于數(shù)學模型的解答并不一定完全符合問題的實際意義，所以要針對應(yīng)用問題的實際，對模型解答進行分析、反思，得出實際問題的正確解答.

熱點問題解析

一、 方程（組）、不等式（組）型實際應(yīng)用題

例1 （根據(jù)2012貴州銅仁中考題改編）為了抓住梵凈山文化藝術(shù)節(jié)的商機，某商店決定購進A、B兩種藝術(shù)節(jié)紀念品.若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要950元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要800元.

（1） 求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？

（2） 若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀念品的資金不少于7 500元，但不超過7 650元，那么該商店共有幾種進貨方案？

【分析】（1） 此問題等量關(guān)系式為：8件A紀念品的錢數(shù)+3件B紀念品的錢數(shù)=950，5件A紀念品的錢數(shù)+6件B紀念品的錢數(shù)=800；（2） 此問題關(guān)系式為：購買100件A和B的資金不少于7 500元，但不超過7 650元.

【解析】（1） 設(shè)該商店購進一件A種紀念品需要a元，購進一件B種紀念品需要b元，根據(jù)題意得方程組8a+3b=950，5a+6b=800.解之得a=100，b=50.

∴購進一件A種紀念品需要100元，購進一件B種紀念品需要50元.

（2） 設(shè)該商店購進A種紀念品x個，則購進B種紀念品有（100-x）個，

根據(jù)題意得100x+50（100-x）≥7 500，100x+50（100-x）≤7 650.

解得50≤x≤53.

∵x為正整數(shù)，∴共有4種進貨方案.

【點評】列方程、不等式解決實際問題的關(guān)鍵是能正確分析出實際問題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系，應(yīng)注意第二問應(yīng)求得整數(shù)解.一元一次不等式組的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用相結(jié)合是每年中考的重點，同時也是難點.

變式問題

（2012·福建福州）某次知識競賽共有20道題，每一題答對得5分，答錯或不答都扣3分.

（1） 小明考了68分，那么小明答對了多少道題？

（2） 小亮獲得二等獎（70～90分），請你算算小亮答對了幾道題？

【參考答案】（1） 小明答對了16道題；（2） 小亮答對了17道題或18道題.

二、 函數(shù)型實際應(yīng)用問題

例2 甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，以各自的速度勻速向B地行駛，甲車先到達B地，停留1小時后按原路以另一速度勻速返回，直到兩車相遇，乙車的速度為每小時120千米，下圖是兩車之間的距離y（千米）與乙車行駛時間x（小時）之間的函數(shù)圖象.

（1） 請在圖中的（ ）內(nèi)填上正確的值，并直接寫出甲車從A到B的行駛速度.

（2） 求從甲車返回到與乙車相遇過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（3） 求出甲車返回時行駛速度及A、B兩地的距離.

【分析】（1） 根據(jù)圖象分析易得結(jié)果；（2） 利用待定系數(shù)法求解；（3） 略.

【解析】（1） 由圖1中可以看出，甲、乙兩車在3小時時相距240千米，然后只剩下乙車行走，乙車1小時行走120千米，所以4小時時，兩車相距120千米；∵3小時兩車相距240千米，∴1小時兩車相距80千米.

∵乙車的速度為每小時120千米，∴甲車的速度為200千米/時，故答案為120.

（2） 設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

把坐標（4.4，0）和（4，120）代入可求解，得y=-300x+1 320；

（3） ∵兩車用0.4小時共同開了120 km，乙車的速度為120千米/時，∴兩車1小時共開了300千米.

∴甲車的速度為180千米/時，甲乙兩地的距離為200×3=600千米.

【點評】理解函數(shù)圖象的橫軸和縱軸表示的意義是解決本題的突破點，其中三條線段的端點的實際意義是解決本題的關(guān)鍵點.本題主要考查一次函數(shù)的圖象和應(yīng)用，函數(shù)型實際應(yīng)用問題是中考考查的重點，重在考查認識圖象、分析圖象和利用圖象解決問題的能力.

變式問題

（2009·廣西河池）為了預(yù)防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例；藥物釋放完畢后，y與x成反比例，如圖所示.根據(jù)圖2中提供的信息，解答下列問題：

（1） 寫出從藥物釋放開始，y與x之間的兩個函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)的自變量取值范圍；

（2） 據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.45毫克以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時，學生才能進入教室？

拓展問題

有兩段長度相等的河渠挖掘任務(wù)，分別交給甲、乙兩個工程隊同時進行挖掘.圖3是反映所挖河渠長度y（米）與挖掘時間x（時）之間關(guān)系的部分圖象.請解答下列問題：

（1） 乙隊開挖到30米時，用了______小時，開挖6小時時，甲隊比乙隊多挖了______米；

（2） 請你求出：

① 甲隊在0≤x≤6的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

② 乙隊在2≤x≤6的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

③ 開挖幾小時后，甲隊所挖掘河渠的長度開始超過乙隊？

（3） 如果甲隊施工速度不變，乙隊在開挖6小時后，施工速度增加到12米/時，結(jié)果兩隊同時完成了任務(wù)，問甲隊從開挖到完工所挖河渠的長度為多少米？

【參考答案】（1） 2；10；（2） ① y=10x；② y=5x+20；③ 4小時后，甲隊挖掘河渠的長度開始超過乙隊；（3） 甲隊從開挖到完工所挖河渠的長度為110米.