開放探索型問題

試題特征分析

開放探索型問題指條件不完善、結(jié)論不明確、解法無限制的一類試題.其特點(diǎn)是：① 條件的不確定性；② 結(jié)構(gòu)的多樣性；③ 思維的多樣性；④ 解答的層次性；⑤ 過程的探究性；⑥ 知識(shí)的綜合性.

解題方法指導(dǎo)

由于開放探究型試題的知識(shí)覆蓋面較大，綜合性較強(qiáng)，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個(gè)角度考慮：

（1） 利用特殊值（特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進(jìn)行切入.

（2） 反演推理法（反證法）：假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理.

（3） 分類討論法：當(dāng)命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一確定，則需要按可能出現(xiàn)的情況加以討論.

（4） 類比猜想法：由一個(gè)問題的結(jié)論或方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或方法.

熱點(diǎn)問題解析

一、 結(jié)論的開放與探索

例1 （2011·江西）已知拋物線y=-（x-m）2+1與x軸的交點(diǎn)為A，B（B在A的右邊），與y軸的交點(diǎn)為C.

（1） 寫出m=1時(shí)與拋物線有關(guān)的3個(gè)正確結(jié)論；

（2） 當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí)，是否存在△BOC為等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3） 請(qǐng)你提出一個(gè)對(duì)任意的m值都能成立的正確命題（說明：根據(jù)提出問題的水平層次，得分略有差異）.

【分析】（1） 將m=1代入y=-（x-m）2+1化簡(jiǎn)；（2） 令y=0時(shí)得出（x-m）2=1得A，B的坐標(biāo).令x=0時(shí)得出OC=m2-1，求出m的實(shí)際值；（3） 根據(jù)m值的不同分情況解答.

【解析】解：（1） 當(dāng)m=1時(shí)，拋物線的解析式為y=-x2+2x.正確的結(jié)論有：① 拋物線的解析式為y=-x2+2x；② 開口向下；③ 頂點(diǎn)為（1，1）；④ 拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；⑤ 與x軸另一個(gè)交點(diǎn)是（2，0）；⑥ 對(duì)稱軸為x=1；

（2） 存在.當(dāng)y=0時(shí)，-（x-m）2+1=0，即有（x-m）2=1. ∴ x1=m-1，x2=m+1.∵點(diǎn)B在點(diǎn)的右邊，∴A（m-1，0），B（m+1，0）.∵點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊，∴OB=m+1.

∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-m2+1，點(diǎn)C在原點(diǎn)下方，∴OC=m2-1.當(dāng)m2-1=m+1時(shí)，m=2或m=-1（因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸的右側(cè)，m>0，所以不合要求，舍去），∴存在△BOC為等腰三角形的情形，此時(shí)m=2.

（3） 如：①對(duì)任意的m，拋物線y=-（x-m）2+1的頂點(diǎn)都在直線y=1上；② 對(duì)任意的m，拋物線y=-（x-m）2+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是一個(gè)定值；③ 對(duì)任意的m，拋物線y=-（x-m）2+1與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為2.

【點(diǎn)評(píng)】這類題目是在給定條件下，探索相應(yīng)對(duì)象是否存在.本題綜合考查二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn).此類函數(shù)開放題，具有發(fā)散性，其基本解題方法：假設(shè)存在，演繹推理，得出結(jié)論.

拓展問題 已知二次函數(shù)y=a（x2-6x+8），（a>0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).

（1） 如圖2，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′，恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；

（2） 如圖3，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的右側(cè).小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)正確的命題：若點(diǎn)P是邊EH或邊HG上的任意一點(diǎn)，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等（即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）.若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，剛才的結(jié)論是否也成立？請(qǐng)你積極探索，并寫出探索過程；

（3） 如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)l是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個(gè)正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等 （即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請(qǐng)說明理由.

二、 解題方法的開放與探索

例2 （2008·江蘇南京）如圖4，已知⊙O的半徑為6 cm，射線PM經(jīng)過點(diǎn)O，OP=10 cm，射線PN與⊙O相切于點(diǎn)Q.A，B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，點(diǎn)A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s.

（1） 求PQ的長；

（2） 當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與⊙O相切？

【分析】第（2） 小題是一道條件探索性問題.其解法是“執(zhí)果索因”，要得到直線AB與⊙O相切，即要分類討論，但就其解題策略來說也屬于解題方法的開放與探究問題.

∴四邊形OCBQ為矩形.∴BQ=OC=6.

① 當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖5所示的位置時(shí)，

BQ=PQ-PB=8-4t=6.解得t=0.5（s）.

② 當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖6所示的位置時(shí)，

BQ=PB-PQ=4t-8=6.解得t=3.5（s）.

所以，當(dāng)t為0.5 s或3.5 s時(shí)直線AB與⊙O相切.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形相似、矩形的判定以及直線和圓的位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，注意分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.這類題目常以幾何圖形為背景，設(shè)置探索幾何量間的關(guān)系或點(diǎn)、線位置關(guān)系，考查同學(xué)們的綜合解題能力.

拓展問題 如圖7，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（5，0），動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位，設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x s.

（1） Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（_______，_______）（用含x的代數(shù)式表示）.

（2） 當(dāng)x為何值時(shí)，△APQ是一個(gè)以AP為腰的等腰三角形？

（3） 記PQ的中點(diǎn)為G.請(qǐng)你探求點(diǎn)G隨點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)所形成的圖形及理由.

【參考答案】

（3） 點(diǎn)G隨點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是線段MN.