操作探究型問題

試題特征分析

此類問題通常是以幾何圖形題的方式呈現(xiàn)，結(jié)合了圖形的變換、全等與相似等初中數(shù)學(xué)的重要知識點，需要仔細(xì)閱讀題目中提供的信息以便作出合理的推斷.（1） 需要進(jìn)行畫圖或?qū)嶒灢僮?，了解問題的大致范圍或內(nèi)容.（2） 目標(biāo)常常是有指向性的，但結(jié)論需要經(jīng)過探索確定.（3） 整題的解答常常表現(xiàn)出不同層次的結(jié)果.

各地中考中常將此類題目作為壓軸題呈現(xiàn).題目大多是在課本原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行動態(tài)性的變化拓展，或從某些結(jié)論是否保持不變的角度進(jìn)行研究.

解題方法指導(dǎo)

（1） 充滿信心又耐心細(xì)致：此類問題的題量大，初看時難免有點畏懼，但只要你結(jié)合已有的經(jīng)驗方法，根據(jù)題目呈現(xiàn)的順序和要求進(jìn)行操作嘗試，解答時就一定會有所收獲.

（2） 注意思維的遷移特點：證明特殊情況下的結(jié)論時所采用的方法往往可以給一般情況下的證明提供有益的啟示.

（3） 操作中敢于大膽猜想：嚴(yán)密細(xì)致的推理是必要的，但由于此類問題的結(jié)論在“暗”處，有時需要經(jīng)歷一定的嘗試性探索，如畫出不同情況下的圖形進(jìn)行度量觀察發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的結(jié)論.

熱點問題解析

一、 圖形割補(bǔ)問題

例1 （2011·常州）已知：如圖1，圖形① 滿足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°.圖形②與圖形①恰好拼成一個菱形（如圖2）.記AB的長度為a，BM的長度為b.

（1） 圖形①中∠B=_______°，圖形②中∠E=_______°；

（2） 小明有兩種紙片各若干張，其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同，這種紙片稱為“風(fēng)箏一號”；另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同，這種紙片稱為“飛鏢一號”.

① 小明僅用“風(fēng)箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，需要這種紙片_______張；

② 小明若用若干張“風(fēng)箏一號”紙片和“飛鏢一號”紙片拼成一個“大風(fēng)箏”（如圖3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ.請你在圖3中畫出拼接線并保留畫圖痕跡.（本題中均為無重疊、無縫隙拼接）

【分析】可用剪紙進(jìn)行嘗試，注意題中的線段、角度關(guān)系以及無重疊、無縫隙所表示的數(shù)學(xué)意義.

【解析】（1） 連接AM，易得△ADM≌△ABM，利用三角形內(nèi)角和可得∠B=72°，同理可得∠E=36°；

（2） ① 分析可知，拼接點只能是點A，利用360°除以72°即可得到需要“風(fēng)箏一號”紙片5張；

② 如圖4，以P為圓心，以a長為半徑畫弧，與PI和PJ分別交于兩點，然后以兩交點為圓心，以b長為半徑在∠IPJ的內(nèi)部畫弧，兩弧交于一點，連接這點與點Q，畫出滿足題意的拼接線.

【點評】此題以“風(fēng)箏”、“飛鏢”為背景，以圖形的剪和拼為形式，考查掌握菱形的性質(zhì)、正多邊形、圓、密鋪等重要知識，需要同學(xué)們靈活運(yùn)用兩三角形的全等得到對應(yīng)的角相等，掌握密鋪的規(guī)律.

變式問題

如圖5是一塊四邊形的薄鋼板，∠A=60°，∠C=120°，AB=AD.

（1） 能否先沿一條對角線將鋼板切割成兩塊，再焊接成一塊與原鋼板面積相同的三角形鋼板？若能，請說明切割、焊接的方法，用虛線畫出示意圖，并說明焊接的鋼板是什么三角形；若不能，請說明理由.

（2） 若BC=1 m，CD=3 m，求這塊鋼板的面積.

二、 相似應(yīng)用問題

例2 （2011·江蘇鹽城）情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖6所示.將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖7所示.

觀察圖7可知：與BC相等的線段是 _______，∠CAC′=_______°.

問題探究：如圖8，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸：如圖9，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H. 若AB= kAE，AC= kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【分析】可通過度量的方法發(fā)現(xiàn)二線段間的關(guān)系，從“問題探究”中的相等關(guān)系到“拓展延伸”中的不等關(guān)系（可嘗試將k的值設(shè)置成2、3），聯(lián)想到證明線段相等（倍數(shù)）關(guān)系的常用手段是三角形的全等（相似）.

【解析】（1） 根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得：BC=AD.∵△AC′D≌△CAB，∴∠AC′D=∠CAB.∵∠AC′D+∠C′AD=90°，∴∠CAB+∠C′AD=90°.即可得∠CAC′=90°.

（2） 證明Rt△ABG≌Rt△EAP，得AG=EP，同理AG=FQ， ∴EP=FQ.

【點評】本題以幾何中最常見的旋轉(zhuǎn)變換形式呈現(xiàn)，考查了初中幾何學(xué)習(xí)中最重要的全等三角形和相似三角形的判定.

變式問題

在圖10至圖12中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1=∠2=45°.

（1） 如圖10，若AO=OB，請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（2） 將圖10中的MN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到圖11，其中AO=OB. 求證：AC=BD，AC⊥BD；

【參考答案】（1） AO=BD，AO⊥BD；（2） 過點B作BP∥AC交MN于點P，由全等可得；（3） 過點B作BP∥AC交MN于點P，由相似可得.