p-冪零群的兩個充分條件*

林麗秋，錢方生

(哈爾濱師范大學(xué))

1 定義及引理

定義1.1［1］群G的一個子群H稱為在G中s-正規(guī)，如果存在G的一個次正規(guī)子群K，使得G=HK且H∩K≤HsG，其中HsG是包含在H中的G的最大次正規(guī)子群.

定義1.2［2］群G的一個子群H稱為在G中s-置換的，如果對G的所有Sylow子群P，都有PH=HP成立.

引理1.3［1］設(shè)G為有限群，下列結(jié)論成立:

(1)如果H在G中s-正規(guī)，且H≤K≤G，則H在K中s-正規(guī).

(2)設(shè)N?G，且N≤H，則H在G中s-正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)H/N在G/N中s-正規(guī).

(3)設(shè)H是G的π-子群，且N為G的正規(guī)π'-子群，如果H在G中s-正規(guī)，那么HN/N在G/N中s-正規(guī).

引理1.4［2］設(shè)G為有限群，下列結(jié)論成立:

(1)如果H在G中s-置換，且H≤K≤G，則H在K中s-置換.

(2)設(shè)N?G，則HN/N在G/N中s-置換.特別地，如果N≤H，則H/N在G/N中s-正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)H在G中s-置換.

(3)如果H在G中s-置換，則H??G.

引理1.5［3］設(shè)G為有限群，P是G的s-置換的 p-子群，p是一個素?cái)?shù)，則 Op(G)≤NG(P).

引理1.6［4］如果A??G，且A是G的p-子群，則A≤Op(G).

引理1.7［4］設(shè)G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1，如果G有循環(huán)的Sylow p-子群，則G為p-冪零群.

引理1.8［1］設(shè)G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1，如果存在 P ∈ Sylp(G)，若NG(P)為p-冪零群且P的每個極大子群在G中s-正規(guī)，則G為p-冪零群.

引理1.9［5］設(shè) G是有限群，A、B、C是G的子群，則A∩BC=(A∩B)(A∩C)與A∩BC=(A∩B)(A∩C)等價.

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè) G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1.如果存在 P ∈ Sylp(G)，使得P的每個極大子群在p-冪零群NG(P)中s-正規(guī)，且P'在G中s-置換，則G為p-冪零群.

證明 假設(shè)定理不真，設(shè)G為極小階反例.

(1)對任意P≤H ＜G，H為p-冪零群.對任意 P≤H ＜ G，顯然有(|H|，p-1)=1，P也是H的Sylow p-子群.因?yàn)镻'在G中s-置換，又P'≤P≤H ＜G，所以由引理1.4知，在P'在H中s-置換.又NH(P)≤NG(P)且P的每個極大子群在NG(P)中s-正規(guī)，由引理1.3知，P的每個極大子群在NH(P)中s-正規(guī).綜上，H滿足題設(shè)條件，故H為p-冪零群.

(2)1≠ P'≤ Op(G).設(shè) q∈ π(NG(P))，Q∈Sylq(NG(P))，顯然P?PG.設(shè)H=PQ，如果P是循環(huán)群，由引理1.7知，G為p-冪零群.如果P是非循環(huán)群，由引理1.8知，G為p-冪零群，矛盾.故H ＜G.由(1)知，H為p-冪零群.因此Q?H，H=P×Q.若P為交換群，則有NG(P)=CG(P)，故G為p-冪零群，矛盾;因此P'≠1.又P'在G中s-置換，故P'??G，由引理1.6知，P'≤OP(G)，因此OP(G)≠1.

(3)G可解且OP'(G)=1.設(shè)T?G且T≤P，則P/T∈Sylp(G/T).設(shè)P1/T是P/T的極大子群，則|P:P1|=p，故P1是P的極大子群.因P1在NG(P)中s-正規(guī)，由引理1.3知P1/T在NG(P)/T=NG/T(P/T)中s-正規(guī).又因(P/T)'=P'T/T，P'在G中s-置換，由引理1.4知P'T/T在G/T中s-置換.綜上G/T滿足題設(shè)條件，從而G/Op(G)為 p-冪零群.設(shè) M/Op(G)為G/Op(G)的正規(guī)p-補(bǔ).若p=2，M/Op(G)為奇階群，故M可解;又G/M為2-群可解.若p≠2，由(|G|，p-1)=1知G為奇階群可解.另外，基于題設(shè)條件是子群遺傳的，則G為內(nèi)冪零群，設(shè) |G|=paqb(a，b是自然數(shù))，則 G=PQ，其中P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G).設(shè)Oq(G)≠1，下證G/Oq(G)滿足題設(shè)條件.

記L=Oq(G)，則PL/L∈Sylp(G/L).任取PL/L的極大子群M/L，則|PL:M|=p，從而M=PL∩M=L(P∩M)，設(shè) P1=P∩M，M=LP1，P∩L=P∩M∩L=P1∩L，|P:P1|=|PL:(P ∩ M)L|=|PL:M|=p，故P1是P的極大子群.又P1在NG(P)中s-正規(guī)，即存在K??NG(P)，使得NG(P)=P1K且P1∩K≤(P1)sNG(P)，則可得到(P1L/L)(KL/L)=NG(P)L/L=NG/L(PL/L)，KL/L??NG(P)L/L.又L∩K?L∩NG(P);另外L∩NG(P)中的元素是 NG(P)中 q-元素，而 K??NG(P)，則|NG(P):K|=pa(a∈N)，NG(P)中的q-元素都在K中，L∩NG(P)中的元素都在L∩K中，則L∩NG(P)=L∩K;因此，L∩P1K=Oq(G)∩NG(P)=(L∩P1)(L∩K)，由引理1.9知，P1L∩KL=(P1∩K)L;從而有(P1L/L)∩(KL/L)=(P1L∩KL)/L = (P1∩K)L/L≤(P1)sNG(P)L/L≤ (P1L/L)sGG/L(PL/L)，由引理 1.3知PL/L的每個極大子群在NG(P)L/L中s-正規(guī)，又NG(P)L/L=NG/L(PL/L)，則PL/L的每個極大子群在NG/L(PL/L)中s-正規(guī).又P'在G中s-置換，由引理1.4可知(PL/L)'=P'L/L在G/L中s-置換.綜上所述，G/L滿足題設(shè)條件，則G/L為p-冪零群.即G/Oq(G)為p-冪零群.故G為p-冪零群，矛盾.即Oq(G)=Op'(G)=1.

(4)CG(Op(G))≤ Op(G)，且 Op(G)是 G唯一極小正規(guī)子群，從而是初等交換p-群.由(3)知G為可解群.再由Op'(G)=1可得到Op(G)=F(G)，因此CG(Op(G))≤Op(G).設(shè)N是G的含于Op(G)的極小正規(guī)子群，則N是初等交換p-群.若N≤Φ(G)，G/N為p-冪零群，因此G/Φ(G)≌(G/N)(Φ(G)/N)為p-冪零群，故G為p-冪零群，矛盾.因此，N不含于Φ(G)并可假設(shè)Φ(G)=1.設(shè)D為G的異于N的極小正規(guī)子群，則D≤F(G)，D也是初等交換p-群，D≤P，故G/D滿足題設(shè)條件，于是G≌G/D∩N為p-冪零群，矛盾.從而，N是G的唯一極小正規(guī)子群，于是N=F(G)=Op(G)是G的唯一極小正規(guī)子群，且為初等交換p-群.

(5)導(dǎo)出矛盾.因?yàn)镻'在G中s-置換，由引理1.5知，Op(G)≤NG(P')，則 G=POp(G)=PNG(P').因?yàn)镻正規(guī)化P'，所以 P'?G.由Op(G)的唯一知，P'=Op(G)=N，又由(3)的證明知G/Op(G)為p-冪零群，故Op(G)Q?G，且有QOp(G)∩P=Op(G)≤P'≤Φ(G);最后由J.Tate定理知，Op(G)Q為p-冪零群;因此，Op(G)Q=Op(G)×Q與CG(Op(G))≤Op(G)矛盾.

綜上所述，極小階反例不存在，定理得證.定理2.2 設(shè)G為有限群，p∈π(G)且(|G|，p-1)=1，N?G，使得 G/N 是p- 冪零群.如果存在P∈Sylp(N)，使得P的每個極大子群在p-冪零群NG(P)中s-正規(guī)，且P'在G中s-置換，則G為p-冪零群.

證明 (用歸納法)P∈Sylp(N)，P的每個極大子群在NG(P)中s-正規(guī).由引理1.3知，P的每個極大子群在NN(P)=NG(P)∩N中s-正規(guī).又P'在G中s-置換，由引理1.4知，P'在N中s-置換.再由定理2.1知，N是p-冪零群.設(shè)Np'是N的正規(guī)p-補(bǔ)，其中Np'為N的p'-Hall子群，則 Np'char N，又 N?G，故 Np'?G.

若Np'≠1，下考慮商群 G/Np'，設(shè) M/Np'是PNp'/Np'的任意的極大子群，則M=M∩PNp'=(M∩P)Np'，令P1=M ∩ P，則有 P1∩ NP'=P∩M∩Np'=P∩ Np'，從而可以得到 p=|PNp'/Np':M/NP'|=|PNp':(M∩P)Np'|=|P:M∩P|=|P:P1|，即P1是P的極大子群.因?yàn)镻的每個極大子群在NG(P)中s-正規(guī)，則P1在NG(P)中s-正規(guī)，即存在K??NG(P)，使得NG(P)=P1K且P1∩K≤(P1)sNG(P)，顯然有KNp'/Np'??NG(P)Np'/Np'， 且 下 式 成 立:(P1Np'/Np')(KNp'/Np') = NG(P)Np'/Np'=NG/Np'(PNp'/Np')，類似定理2.1中證明可得，Np'∩NG(P)=Np'∩ K，于是 Np'∩P1K=(Np'∩P1)(Np'∩K).由引理1.9可以得到，P1Np'∩KNp'=(P1∩ K)Np'，從而有下式成立:(P1Np'/Np')∩(KNp'/Np')=(P1∩K)Np'/Np'≤(P1)sNG(P)Np'/Np'≤(P1Np'/Np')sNG/Np'(PNp'/Np').從而由引理1.3知PNp'/Np'的每個極大子群在NG(P)Np'/Np'=NG/Np'(PNp'/Np')中s-正規(guī)，又因(P/Np')'=P'Np'/Np'，P'在G中s- 置換，由引理1.4知 P'Np'/Np'在 G/Np'中 s-置換，即(P/Np')'在 G/Np'中 s-置換.又因?yàn)?G/Np')(N/Np')≌G/N為p-冪零群.綜上所述，G/Np'滿足題設(shè)條件，于是G/Np'為p-冪零群.從而G為p-冪零群.

若Np'=1，則N=P為p-群.由G/P=G/N為p-冪零群知G/P有正規(guī)p-補(bǔ).設(shè)T/P為G/P的正規(guī)p-補(bǔ)，則|G:T|=pa(a是自然數(shù)).因?yàn)镻'在G中s-置換，所以由引理1.4知，P'在T中s-置換.又NT(P)≤NG(P)且P的每個極大子群在NG(P)中s-正規(guī)，由引理1.3知，P的每個極大子群在NT(P)中s-正規(guī).綜上T滿足題設(shè)條件，故T為p-冪零群.設(shè)Tp'是T的正規(guī)p-補(bǔ)，其中Tp'為T的p'-Hall子群，因此Tpchar T.又T?G故有Tp'?G.又因?yàn)閨G:T|=pa(a是自然數(shù))，所以Tp'=Gp'，即G有正規(guī)p-補(bǔ)Gp'，從而G為p-冪零群.

綜上，定理得證.

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