商品期貨跨品種套利研究文獻綜述

顧 全，雷星暉

(同濟大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，上海 200092)

期貨套利交易的概念最初來源于Working(1949)[1]的關(guān)于期貨倉儲理論的經(jīng)典論述，期貨交易者可以從同種期貨不同交割期限的合約之間價格異常關(guān)系中獲利，套利行為正是期貨價格的復(fù)雜表現(xiàn)。Meland(1981)[2]認為期貨套利交易獲利不僅取決于價格關(guān)系異常波動，而且與交易成本密切相關(guān)，套利交易的本質(zhì)是一種風(fēng)險較小的投機行為，但對整個市場而言卻增加了整體流動性。Kanamura，Rachev 和 Fabozzi(2010)[3]認為，期貨套利交易本質(zhì)上是一種PairsTrade(配對交易)，在買入一種期貨合約的同時賣出另一種期貨合約，從兩者價格相對波動中獲利，而不是絕對價格波動中獲利。Carmona 和 Durrleman(2003)[4]的定義比較全面，期貨套利是買賣頭寸相反的不同期貨合約而獲取收益的交易行為。在金融期貨市場，可能是買賣不同匯率、債券或者股票指數(shù)等期貨套利;在商品期貨市場，可能是買賣不同商品期貨跨品種套利(Inter-CommoditySpread)，也有可能是買賣同種交易品種不同交易所期貨跨市套利(LocationSpread或Inter-MarketSpread)，還有可能買賣同種交易品種不同日期合約跨期套利(CalendarSpread)①。

通過梳理現(xiàn)有文獻，總體印象是相對于大量套期保值行為的研究，期貨套利研究文獻數(shù)量有限;相對于處于熱點的金融期貨研究，商品期貨的研究也顯得遠遠不夠;在商品期貨套利研究領(lǐng)域內(nèi)部，對于跨期套利的關(guān)注也遠遠高于跨品種套利。因此，有必要對商品期貨跨品種期貨套利文獻進行系統(tǒng)的梳理，以更加全面理解跨品種期貨套利，并提出相應(yīng)思考，為理論發(fā)展和實務(wù)應(yīng)用提供借鑒思路。

商品期貨跨品種套利按照交易標的之間關(guān)系分為兩類:一類是基于產(chǎn)業(yè)鏈上下游關(guān)系，例如大豆與豆粕、豆油，生豬與豆粕、玉米等，原油與取暖油、汽油，天然氣與電力等，都稱之為過程套利(ProcessingSpread)。另一類是具有替代關(guān)系，例如小麥、玉米和大豆，北海布倫特原油(BrentOil)和西德克薩斯輕質(zhì)原油(WTIOil)，黃金與白銀等，都稱之為替代套利(SubstitutionSpread)。

一、過程套利

(一)大豆及其衍生品之間的套利。

大豆及其衍生品之間的套利，也稱為大豆壓榨套利(SoybeanCrushSpread或者SoybeanComplexSpread)，是大豆與其產(chǎn)業(yè)鏈下游衍生產(chǎn)品豆粕和豆油期貨之間的套利行為，買入大豆期貨，賣出豆粕和豆油期貨構(gòu)成正向壓榨套利(Normal CrushSpread)，反之則為反向壓榨套利(Reverse CrushSpread)。正是基于壓榨過程的投入品大豆和豆粕、豆油其商品期貨具有與生俱來的必然聯(lián)系，Tzang 和 Leuthold(1990)[5]認為，大豆壓榨商等交易者可以通過對大豆、豆粕或者豆油同時套期保值達到降低風(fēng)險的目標，也能有效降低套保成本。也就是將大豆壓榨套利結(jié)合現(xiàn)貨因素的交易過程，理解為大豆、豆粕和豆油分別套保的交易過程。而Plato(2001)[6]從期權(quán)角度，將大豆正向(或反向)壓榨套利看做看漲(看跌)期權(quán)行權(quán)獲利的過程。

盡 管 Hieronymous(1949)[7]和 Dueringer(1972)[8]等學(xué)者對大豆壓榨套利進行了一些探索性研究，Tzang和 Leuthold(1990)[5]也分別檢驗了大豆及其衍生品的最優(yōu)套保比例等，但是對大豆壓榨套利進行開創(chuàng)性研究，還是始于Johnson等(1991)[9]一篇實證文獻，從大豆等期貨能否通過壓榨套利獲利的角度來驗證期貨市場的有效性。套利交易過程即模擬大豆壓榨的過程，其收益情況可以用凈壓榨利潤(NetProcessingMargin)表示，即豆油和豆粕期貨合約總值與大豆期貨合約總值及壓榨成本(CrushingCost)之差，與傳統(tǒng)的期貨價差套利不同。在考慮固定比例經(jīng)紀費用的情況下，到期日為1．5月到3．5月的合約獲利統(tǒng)計不顯著;在5個半月以上的合約中獲利統(tǒng)計顯著，表明近期合約符合Fama有效市場假說，遠期合約則反之;也說明交易利潤存在均值回歸過程，并且價格不是隨機漫步而是由現(xiàn)實經(jīng)濟因素決定。

Rechner和 Poitras(1993)[10]為 Johnson 等人的研究僅僅利用NPM的正負決定壓榨套利或反向壓榨套利，并沒有給出平倉的具體臨界閾值。他們認為套利交易收益應(yīng)該忽略壓榨成本，改用壓榨利潤總值(GrossProcessingMargin)，即豆油和豆粕期貨合約總值與大豆期貨合約總值之差，更符合價差套利的定義。文中給出GPM的上下限，并且交易規(guī)則限定日內(nèi)交易平倉，解決了交易信號引起的長期持倉的風(fēng)險，但僅僅從套利交易獲利并不能證明充分市場處于無效率狀態(tài)。

Simon(1999)[11]歸納了 Johnson 和 Rechner等人的研究，認為兩者的潛在假設(shè)前提“大豆壓榨套利存在均衡狀態(tài)，而暫時偏離這個狀態(tài)可以被檢驗得到”并沒有被直接驗證。他認為可以用GRACH模型進行協(xié)整分析，證明大豆壓榨套利存在長期均衡，向5日均線靠攏，并且GPM存在季節(jié)性特征和總體上升趨勢為套利獲利提供可能。Mitchell等(2007)[12]重復(fù)了 Simon 的實證研究，得出平均套利交易獲利的次數(shù)明顯少于交易損失的次數(shù)相反的結(jié)論。他們認為，除非更高的風(fēng)險收益率得到驗證，否則，大豆、豆粕和豆油期貨市場可以看作弱式有效。此外，Dunis等(2006)[13]還嘗試應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型來分析大豆壓榨套利。

(二)生豬與玉米等飼料之間的套利。

與大豆壓榨套利相似，根據(jù)飼料玉米、豆粕和生豬之間投入產(chǎn)出關(guān)系，在期貨市場買入(賣出)玉米和豆粕期貨，賣出(買入)生豬期貨的行為，也是一種過程套利。Kenyon和 Clay(1987)[14]在早期利用期貨市場進行生豬及飼料套期保值的基礎(chǔ)上進行了探索性研究，將單獨進行生豬套期保值，與生豬和玉米套利，生豬、玉米和豆粕套利進行比較研究，交易模擬實證表明后兩者無論是交易平均收益還是方差都優(yōu)于前者。Liu(2005)[15]進一步驗證生豬與玉米、豆粕價格之間的協(xié)整關(guān)系，并且交易模擬也證實獲利的可能性，可以運用套利交易管理敞口風(fēng)險、減少利潤波動和增加盈利性。

(三)原油及其衍生品之間的套利。

原油及其衍生品之間的套利，也稱為原油裂解套利(OilCrackSpread)，是原油與其產(chǎn)業(yè)鏈下游衍生產(chǎn)品汽油、取暖油等期貨之間的套利行為。Girma 和 Paulson(1999)[16]認為三者之間不合理的價格關(guān)系給期貨套利交易提供了可能性，運用移動平均法模擬交易統(tǒng)計獲利效果顯著。Haigh和Holt(2002)[17]則認為進行原油期貨裂解套利應(yīng)當考慮現(xiàn)貨市場價格因素，因此建立了一個涵蓋期貨價格、現(xiàn)貨價格和交易成本的模型，依次運用了M-GARCH、B-GARCH、普通最小二乘法和移動平均法進行比較分析，結(jié)果表明，M-GARCH的效果較好，盡管要進行頻繁的期貨頭寸比例調(diào)整，但是扣除交易成本因素，M-GARCH在交易獲利和管理風(fēng)險仍為最優(yōu)。

Dunis，Laws 和 Evans(2006a)[18]運用非線性協(xié)整的方法對WTI原油和無鉛汽油套利交易進行了相關(guān)研究。以公允價值的非線性協(xié)整模型做對照，分別應(yīng)用多層感知網(wǎng)絡(luò)、遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)三個模型進行數(shù)據(jù)分析及交易模擬。結(jié)果表明兩種期貨價格之間是非線性關(guān)系，高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型無論是數(shù)據(jù)擬合還是交易獲利都效果最好。繼而，Dunis，Laws 和 Evans(2008)[19]又應(yīng)用門限濾波、相關(guān)濾波和傳遞濾波等三種方法，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的應(yīng)用進行細化比較研究。

Alizadeh 和 Nomikos(2008)[20]認為 Girma 和Paulson(1999)運用移動均線法進行模擬交易獲利的實證研究存在數(shù)據(jù)過度挖掘傾向;而Poitras和Teoh(2003)[21]提出原油裂解套利模擬交易開倉和平倉的信號取決于濾波的水平，進而影響凈交易收益也有待研究。作者運用了定態(tài)拔靴法避免數(shù)據(jù)過度挖掘傾向，并通過設(shè)置不同的濾波的水平進行比較分析，證實其對交易信號和盈利水平確有影響。

Kanamura，Rachev 和 Fabozzi(2010)[3]認為跨品種套利的期貨品種首先要進行價格關(guān)系分析，套利模型也有必要考慮期貨價格季節(jié)性特征、均值回復(fù)和高波動率等特點，并且季節(jié)性效應(yīng)對取暖油和天然氣之間套利獲利情況有正相關(guān)的影響。Cummins和 Bucca(2011)[22]則認為價差是決定套利交易機會的關(guān)鍵因素，而交易成本決定套利的可行性，可靠的套利模型要能夠預(yù)測套利期貨價格之間的基差變動，并預(yù)測交易機會，根據(jù)交易成本的變化做出及時調(diào)整。

(四)天然氣及電力期貨之間的套利。

天然氣和電力期貨之間的套利，是基于燃燒發(fā)電的上下游關(guān)系，也被稱為電火花套利(Spark Spread)。Emery 和 Liu(2002)[23]對此進行全面研究?；诎l(fā)電燃燒值(GeneratorHeatRate)合約的買賣比例是5∶3，在進行穩(wěn)定性、協(xié)整等檢驗后，對模型在樣本內(nèi)外的獲利能力進行交易模擬實證。結(jié)果表明，電力期貨和天然氣期貨之間套利交易獲利效果明顯，并且獲利情況都在電力期貨變動中獲得。因而認為電火花套利既沒有增加利潤也沒有減少風(fēng)險。

二、替代套利

(一)不同原油品種之間套利。

盡管WTI原油期貨和Brent原油期貨都是一類品種，但是根據(jù) Dunis，Laws和 Evans(2006b)[24]觀察分析，基于含硫量和汽油提煉率差別形成的價格差異給兩者套利提供了機會。作者分別應(yīng)用傳統(tǒng)回歸法、移動平均法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析法、自回歸移動平均法進行比較研究。移動平均法和自回歸移動平均法模擬交易年收益達到26%以上，而傳統(tǒng)回歸法由于對價格趨勢的判斷相對靜止滯后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析法則引起交易頻次過高、成本上升，都未獲得理想效果。

(二)黃金與白銀之間套利。

黃金和白銀在現(xiàn)貨領(lǐng)域作為具有貨幣屬性的貴金屬相互替代功能不言而喻，而Ma和Soenen(1988)[25]則首次全面研究了黃金和白銀期貨的套利交易。作者認為價格關(guān)系頻繁偏離長期均衡的平價給套利交易提供了機會，但是交易成本原因限制了套利交易的可行性。運用移動平均法，考察28日、30日和44日等均線，均可以模擬交易獲利。Wahab，Cohn 和 Lashgari(1994)[26]在對黃金和白銀每日結(jié)算價格進行協(xié)整檢驗后，通過誤差修正模型、自回歸移動平均法和ARCH模型進一步分析兩者價格關(guān)系，在此基礎(chǔ)上運用移動平均法進行模擬交易獲利。Liu和Chou(2003)[27]通過誤差修正模型研究發(fā)現(xiàn)黃金和白銀的價格具有慢速調(diào)節(jié)和長記憶效應(yīng)，套利交易獲利正是由于存在隨時間變化的風(fēng)險溢價。

三、總結(jié)與展望

(一)研究范式的幾點總結(jié)。

根據(jù)現(xiàn)有的文獻研究，筆者認為商品期貨跨品種套利可以歸納為統(tǒng)計套利(StatisticalArbitrage)在商品期貨領(lǐng)域的運用，這一點與Kanamura等(2011)所認同的配對交易觀點本質(zhì)相同，因為配對交易本身就是最初始的和最常用的統(tǒng)計套利策略。商品期貨跨品種套利就是基于統(tǒng)計方法挖掘套利機會，通過建立期貨合約價格時間序列模型，擬合價格變化規(guī)律，識別套利組合內(nèi)部統(tǒng)計錯誤定價關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩個或者兩個以上資產(chǎn)之間存在的套利機會，設(shè)定交易閾值，發(fā)出交易信號并執(zhí)行的投資過程。因此，選擇套利對象、確定套利信號機制、建立交易組合構(gòu)成套利交易的基本過程。

1．套利對象的選擇。

無論是過程套利還是替代套利，對交易對象必然存在相關(guān)性、平穩(wěn)性和流動性三個方面的要求。上下游關(guān)系和某種替代關(guān)系僅僅表現(xiàn)為在經(jīng)濟意義上的趨同性，因而有必要對研究的期貨合約價格歷史數(shù)據(jù)進行相關(guān)性分析，通過相關(guān)系數(shù)反映了價格變量之間變化的程度。Kanamura等(2010)[3]也認為，相對于跨期套利是天然的配對交易(NaturalPairTrade)，跨品種套利更有必要在進行交易模擬前設(shè)定形成期(FormationPeriod)進行價格關(guān)系分析。

平穩(wěn)性則要求期貨合約的價格差值成為平穩(wěn)性檢驗的考察對象。如果價格差值序列是平穩(wěn)時間序列，那么，說明合約之間的統(tǒng)計趨勢關(guān)系將是穩(wěn)定的，不會隨著時間測度的變化而變化，因而多數(shù)文獻采用ADF檢驗等單位根檢驗方法驗證價格數(shù)據(jù)序列同階差分后的序列是平穩(wěn)的。

流動性要求盡量降低交易的流動性成本，使得套利交易能夠在最優(yōu)價格上進行。多數(shù)研究文獻選擇近交割期1至2個月的期貨合約作為研究對象，也避免了到期日效應(yīng);并且采取進入約定特定時間諸如進入交割月首日或者近交割月前15日等方式，替換合約向前展期(RollOver)的方式，保持期貨合約價格數(shù)據(jù)的連續(xù)性。

2．確定套利信號機制。

當期貨合約的價格差價背離了長期的均衡，而這種背離在未來將會得到糾正，因而可以產(chǎn)生套利的機會。隱含的前提就是均值回復(fù)，即存在均值區(qū)間，表現(xiàn)為價格時間序列是平穩(wěn)的，并且在一定的范圍之內(nèi)波動，價格的背離是短期的，隨著時間的推移，將會回復(fù)到它的均值區(qū)間。因此，協(xié)整分析正是揭示滿足價格時間序列之間存在這種穩(wěn)定的相互制約的均衡關(guān)系，數(shù)據(jù)之間在多數(shù)情形下保持均衡的關(guān)系，短期出現(xiàn)的非均衡會在較短的時間內(nèi)向均衡回歸。絕大多數(shù)文獻采用的方法是 Engle和 Granger(1987)[28]提出的 EG 兩步法，首先對需要檢驗的變量進行普通的線性回歸，得到一階殘差，再對殘差序列進行單位根檢驗，如果不存在單位根，則序列是平穩(wěn)的。根據(jù)協(xié)整分析的結(jié)果，得到價格差值往往圍繞著某一固定值進行波動，選擇不同倍數(shù)標準差構(gòu)成閾值的不同取值，即為套利交易的信號，也因此構(gòu)建了交易區(qū)間和止損區(qū)間。

3．建立交易組合。

構(gòu)建不同的期貨合約組合的核心問題是多空期貨合約的頭寸比例。大部分期貨套利合約按照現(xiàn)實的投入產(chǎn)出比，以大豆和豆粕、豆油為例，按照美國農(nóng)業(yè)部(USDA)研究歸納的60∶48∶11(以重量計)，結(jié)合合約的規(guī)格進行折算;生豬與玉米期貨套利是按照行業(yè)飼養(yǎng)經(jīng)驗歸納得出的合約比例;天然氣及電力期貨也是基于發(fā)電燃燒值確定的合約買賣比例;而原油裂解套利則按照3∶2∶1，1∶0∶1或 1∶1∶0 簡單的等量合約比買賣頭寸交易組合。

(二)未來研究的展望。

關(guān)于商品期貨跨品種套利的研究，未來應(yīng)當更加立足于服務(wù)實體經(jīng)濟的產(chǎn)業(yè)發(fā)展，發(fā)揮利用期貨套利管理風(fēng)險的作用;在研究方法方面可以嘗試諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、門限協(xié)整等非線性模型完善套利機會偵察，同時利用日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)更加準確把握套利機會，減少套利交易引起的不必要長期持倉風(fēng)險。

1．研究角度的更新。

從現(xiàn)有研究文獻來看，研究角度的選擇往往站在對沖基金等機構(gòu)投資者等角度，立足于研究利用價差交易純粹獲利;然而從商業(yè)持倉的交易者(即與期貨品種相關(guān)的各原料生產(chǎn)商、加工商和經(jīng)銷商等)角度研究套利交易，結(jié)合現(xiàn)貨持有頭寸，利用套利交易管理敞口風(fēng)險的研究還在少數(shù)。結(jié)合現(xiàn)貨因素的期貨跨品種套利，是對現(xiàn)有產(chǎn)業(yè)鏈各品種期貨分別期現(xiàn)套期保值行為的期貨另一角度闡釋，其研究核心必然涉及到交易頭寸問題，因此借鑒套期保值領(lǐng)域最優(yōu)頭寸的研究，如何計算推導(dǎo)出套利的最優(yōu)頭寸值得研究探索。

2．研究方法的改進。

對于跨品種期貨套利的研究，我們目前主要依賴線性協(xié)整方法理論，但是協(xié)整模型估計參數(shù)是不變的，這與金融序列模型參數(shù)的時變性是不相符的，許多不斷出現(xiàn)的套利機會因為模型參數(shù)的設(shè)定誤差而被忽略。諸如Dunis，Laws和Evans(2006a，2008)等學(xué)者應(yīng)用多種非線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來發(fā)掘套利交易機會，但模型判定套利機會增多，多數(shù)由于微小價差而頻繁發(fā)出交易信號，帶來交易成本消耗掉大部分利潤，甚至造成虧損等問題。而門限協(xié)整解決了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法過頻發(fā)出交易信號的問題，通過門限劃定可行交易區(qū)間，區(qū)間之外由于套利收益被交易成本等因素抵消，因此不存在套利交易基礎(chǔ)，價格傾向于服從隨機游走;區(qū)間之內(nèi)，價格迅速收斂于均衡，具有協(xié)整特征，套利交易信號時常出現(xiàn)。問題在于如何確定套利交易模型的門限恰恰是研究中的難點。

3．數(shù)據(jù)質(zhì)量的提高。

本文歸納的研究文獻所選取的價格數(shù)據(jù)均為每日結(jié)算價，由此帶來兩類問題，一方面由于是每日價格的特征，必然不能準確詳細反映價格波動的完整過程，由于研究價格數(shù)據(jù)的不充分和不精確，模型無法發(fā)現(xiàn)許多套利機會。另一方面，基于每日結(jié)算價分析得出的套利機會必然造成套利交易開倉和平倉至少1天以上，因而必然面臨長期單方持倉的敞口風(fēng)險。有必要引入日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)進行分析研究，既能更加準確地偵察套利機會，又能有效減少長期持倉風(fēng)險。

注釋:

①本文未特別注明，所提及的大豆、豆粕、豆油、玉米、小麥、生豬期貨均為芝加哥期貨交易所(ChicagoBoardofTrade)上市品種;WTI原油、Brent原油、取暖油、無鉛汽油、電力、天然氣、黃金、白銀均為紐約商品交易所(NewYorkCommodity Exchange)上市品種，兩者均屬于芝加哥商品交易所集團(CMEGroupInc．)。

[1]WorkingH．TheTheoryofPriceofStorage[J]．TheA-mericanEconomicReview，1949，39(6):1254-1262．

[2]MelandL．Futuresmarketliquidityandthetechniqueof spreading[J]．JournalofFuturesMarkets，1981，1:405 – 411．

[3]KanamuraT，RachevST，F(xiàn)abozziFJ．Aprofitmodel forspreadtradingwithanapplicationtoenergyfutures[J]．The JournalofTrading，2010，5(1):48-62．

[4]CarmonaR，DurrlemanV．PricingandHedgingSpread Options[J]．SIAMReview，2006，45(4):627 – 685．

[5]TzangDN，LeutholdRM．Hedgeratiosunderinherent riskreductioninacommoditycomplex[J]．JournalofFutures Markets，1990，10:497 – 504．

[6]PlatoGE．Thesoybeanprocessingdecision:Exercising arealoptiononprocessingmargins[R]．UnitedStatesDepartmentofAgriculture，EconomicResearchService，2001．

[7]HieronymusTA．TheEconomicsofRiskintheMarketingofSoybeansandSoybeanProducts[D]．UniversityofIllinois，Dept．ofAgriculturalEconomics，1949．

[8]DueringerHH．VariationsintheSoybeanCrushingMargin[D]．UniversityofIllinoisatUrbana-Champaign，1972．

[9]JohnsonRL，ZulaufCR，IrwinSH，etal．Thesoybeancomplexspread:Anexaminationofmarketefficiencyfrom theviewpointofaproductionprocess[J]．JournalofFutures Markets，1991，11(1):25-37．

[10]RechnerD，PoitrasG．Puttingonthecrush:Day tradingthesoybeancomplexspread[J]．JournalofFuturesMarkets，1993，13(1):61-75．

[11]SimonDP．Thesoybeancrushspread:Empiricalevidenceandtradingstrategies[J]．JournalofFuturesMarkets，1999，19(3):271-289．

[12]MitchellJ．SoybeanCrushSpreadArbitrage:Trading StrategiesandMarketEfficiency[J]．AvailableatSSRN987507，2007．

[13]DunisCL，LawsJ，EvansB．Modellingandtrading thesoybean-oilcrushspreadwithrecurrentandhigherorder networks:Acomparativeanalysis[J]．NeuralNetworkWorld，2006，16(3):193-213．

[14]KenyonD，ClayJ．Analysisofprofitmarginhedging strategiesforhogproducers[J]．JournalofFuturesMarkets，1987，7(2):183-202．

[15]LiuQ．Pricerelationsamonghog，corn，andsoybean mealfutures[J]．JournalofFuturesMarkets，2005，25(5):491-514．

[16]GirmaPB，PaulsonAS．Riskarbitrageopportunities inpetroleumfuturesspreads[J]．JournalofFuturesMarkets，1999，19(8):931-955．

[17]HaighMS，HoltMT．Crackspreadhedging:accountingfortime‐varyingvolatilityspilloversintheenergyfuturesmarkets[J]．JournalofAppliedEconometrics，2002，17(3):269-289．

[18]DunisCL，LawsJ，EvansB．Modellingandtrading thegasolinecrackspread:Anon-linearstory[J]．Derivatives Use，TradingRegulation，2006a，12(1):126-145．

[19]DunisCL，LawsJ，EvansB．Tradingfuturesspread portfolios:applicationsofhigherorderandrecurrentnetworks[J]．TheEuropeanJournalofFinance，2008，14(6):503-521．

[20]AlizadehAH，NomikosNK．Performanceofstatisticalarbitrageinpetroleumfuturesmarkets[J]．JournalofEnergy Markets，2008，1(2):3-33．

[21]PoitrasG，TeohA．Thecrackspread:Daytradingthe oilfuturescomplex[J]．DerivativesUse，Trading ＆ Regulation，2003，9(2):102-110．

[22]CumminsM，BuccaA．Quantitativespreadtradingon crudeoilandrefinedproductsmarkets[J]．QuantitativeFinance，2012，12(12):1857-1875．

[23]EmeryGW，LiuQW．Ananalysisoftherelationship betweenelectricityandnatural‐ gasfuturesprices[J]．Journal ofFuturesMarkets，2002，22(2):95-122．

[24]DunisCL，LawsJ，EvansB．Tradingfutures spreads:anapplicationofcorrelationandthresholdfilters[J]．AppliedFinancialEconomics，2006b，16(12):903-914．

[25]MaCK，SoenenLA．Arbitrageopportunitiesinmetal futuresmarkets[J]．JournalofFuturesMarkets，1988，8(2):199-209．

[26]WahabM，CohnR，LashgariM．Thegold‐ silver spread:Integration，cointegration，predictability，andex‐ante arbitrage[J]．JournalofFuturesMarkets，1994，14(6):709-756．

[27]LiuSM，ChouCH．Paritiesandspreadtradingin goldandsilvermarkets:afractionalcointegrationanalysis[J]．AppliedFinancialEconomics，2003，13(12):899-911．

[28]EngleRF，GrangerCWJ．Co-integrationanderror correction:representation，estimation，andtesting[J]．Econometrica:journaloftheEconometricSociety，1987:251-276．