FP－small內(nèi)射性與J－內(nèi)射性

向躍明，王樹桂

（懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，湖南懷化418000）

文中，R是有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模都是酉模．Jacobson根記為J＝J（R），基座記為soc（RR）和soc（RR），奇異理想記為Z（RR）．用MR（RM）表示右（左）R－模，Mn和Mn分別表示行矩陣與列矩陣．X是R的子集，則X的左右零化子分別為rR（X）和lR（X）．若M，N是R－模．Extn（M，N）表示（M，N）．如果N是M的子模，分別用N≤essM和N?M表示N是M的本質(zhì)子模以及多余子模．常用的記號請參考文獻(xiàn)［1－4］．

內(nèi)射性的推廣在很多文獻(xiàn)中被廣泛的研究［4－15］．模M的子模K稱為small，如果對M的任意真子模L，K＋L≠M(fèi)．環(huán)R稱為右small內(nèi)射［11］（f－內(nèi)射［4］），如果任意R－同態(tài)I→R，其中I為small（有限生成）右理想，可以擴(kuò)充到R→R．環(huán)R稱為右FP－內(nèi)射［5］，如果對自由右R－模F的任意有限生成子模K，任意R－同態(tài)K→R可以擴(kuò)充到F→R．在文中的第二節(jié)，稱R－模N為small有限表示，如果存在正合列0→K→Rn→N→0，其中n≥1，K是Rn的有限生成small子模．右R－模M稱為FP－small內(nèi)射模，如果對任意small有限表示右R－模N，Ext1（N，M）＝0．R稱為右FP－small內(nèi)射環(huán)，R作為右R－模是FP－small內(nèi)射的．在此引入FP－small內(nèi)射環(huán)的概念作為FP－內(nèi)射環(huán)的推廣，給出FP－small內(nèi)射環(huán)的例子．證明了R是右FP－small內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對任意n≥1，Mn（R）是右PS－內(nèi)射環(huán)．如果R是半正則環(huán)，則R是右FP－內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是FP－small內(nèi)射環(huán)．還證明了FP－small內(nèi)射環(huán)是Morita不變量．R稱為FP－環(huán)［11］，如果其是半完全，右FP－內(nèi)射環(huán)并且soc（RR）≤essRR，或等價(jià)于，其是半完全，左FP－內(nèi)射環(huán)并且．R稱為QF環(huán)，如果其是左（右）Noether，左（右）內(nèi)射環(huán)．在此利用FP－small內(nèi)射性給出了FP－環(huán)和QF－環(huán)的新刻畫．

文獻(xiàn)［6］中，作者引入了J－內(nèi)射模用于研究J－凝聚環(huán)．右R－模M稱為J－內(nèi)射模，如果Ext1（R／I，M）＝0，其中I是有限生成右small理想，或等價(jià)于，任意有限生成右small理想到M的同態(tài)都能擴(kuò)充到R→M．環(huán)R稱為右J－內(nèi)射，如果R是J－內(nèi)射右R－模．第三節(jié)，得到了J－內(nèi)射性和其他內(nèi)射性的一些關(guān)系．作為應(yīng)用，刻畫了半本原環(huán)．

1 FP－small內(nèi)射性

首先有如下定義．

定義1 設(shè)R是環(huán)．右R－模N稱為small有限表示模，如果有右R－模正合列

0→K→Rn→N→0，

其中n≥1，K是Rn的有限生成small子模．右R－模M稱為FP－small內(nèi)射模，如果對任意small有限表示右R－模N，Ext1（N，M）＝0．

定義2 環(huán)R稱為右FP－small內(nèi)射環(huán)，如果R作為右R－模是FP－small內(nèi)射模．對偶地，有左FP－small內(nèi)射環(huán)的定義．

注1 （1）易證M是FP－small內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)對Jn的有限生成子模I，任意R－同態(tài)f：I→M可以擴(kuò)充到Rn→M（n≥1）．因此FP－small內(nèi)射性與文獻(xiàn)［15］的（J，R）－FP－內(nèi)射性是一致的．

（2）由定義1易證FP－small內(nèi)射模關(guān)于擴(kuò)張，直和，直積和直和項(xiàng)是封閉的．

（3）半本原環(huán)是左右FP－small內(nèi)射環(huán)．

（4）small有限表示模顯然是有限表示的．因此右FP－內(nèi)射R－模是右FP－small內(nèi)射模．反之不然．例如，設(shè)R＝?是整數(shù)環(huán)．則R是FP－small內(nèi)射環(huán)但不是FP－內(nèi)射環(huán)．

問題：右small內(nèi)射模是否是右FP－small內(nèi)射模？

由如下例子可知FP－small內(nèi)射環(huán)不一定是small內(nèi)射環(huán)．

例1 設(shè)R＝F［x1，x2，…］，其中F是域，xi是可交換的未知元，其滿足關(guān)系：對任意i，＝0；對任意i≠j，xixj＝0；對任意i和j，．由［4，例5．45］，R是交換的FP－small內(nèi)射環(huán)但不是內(nèi)射環(huán)．注意到R還是semiprimary環(huán)，根據(jù)［11，定理3．16］，R不是small內(nèi)射環(huán)．

命題1 設(shè)R是右FP－small內(nèi)射環(huán)，n≥1，則：

（1）對（Rn）R的任意有限生成small子模K，L，．

（2）對任意a∈J（R），lRrR（a）＝Ra．

證明： （1）對（Rn）R的任意有限生成small子模K和L，顯然．設(shè)x∈，則同態(tài)f：K＋L→R，f（k＋l）＝xk，k∈K，l∈L是定義良好的．注意到K＋L仍是（Rn）R的有限生成small子模．由假設(shè)，有f＝c·，其中c＝（x1，…，xn）∈Rn．于是c（k＋l）＝f（k＋l）＝xk，故（c－x）k＋cl＝0，k∈K，l∈L，這推出且，故x＝（x－c）＋．證出．

（2）設(shè)a∈J（R）且x∈lRrR（a），則rR（a）?rR（x）．于是同態(tài)f：aR→R，ar→xr，r∈R是定義良好的．因?yàn)镽是右FP－small內(nèi)射環(huán)，根據(jù)注1（1），同態(tài)f可以擴(kuò)充到g：R→R．故有x＝f（a）＝g（a）＝g（1）a∈Ra，這推出．另外一包含關(guān)系是顯然的．□

環(huán)R稱為右PS－內(nèi)射［13］，如果任意主small右理想aR到R的同態(tài)可以擴(kuò)充到R→R，等價(jià)于，對任意a∈J（R），lRrR（a）＝Ra（參見［13，引理2．3］）．由上述命題，右FP－small內(nèi)射環(huán)是右PS－內(nèi)射環(huán)．但反之不然．

例2 設(shè)F是域，是F的子域．是的域同構(gòu)．令R是以｛1，t｝為基的左向量空間．對任意a∈F，定義t2＝0且，則R作為F上的代數(shù)．可知R是右PS－內(nèi)射環(huán)．但是根據(jù)［13，注2．14］，R不是右FP－small內(nèi)射環(huán)．

現(xiàn)構(gòu)造一左FP－small內(nèi)射環(huán)但不是右FP－small內(nèi)射環(huán)的例子．此例子來源于文獻(xiàn)［16］．

例3 設(shè)F是域，R是F上的代數(shù)，基為｛1｝∪｛ei｜i≥0｝∪｛xi｜i≥1｝，其中1是R的單位元，對任意i，j，eiej＝δijej，xiej＝δi，j＋1xi，eixj＝δijxj，且xixj＝0．由［4，例5．46］，R是左FP－內(nèi)射環(huán)，于是其是左FP－small內(nèi)射環(huán)．注意到xi∈J（R）且x1R→e0R，x1e0不能擴(kuò)充到R→e0R．于是R不是右PS－內(nèi)射環(huán)，因此也不是右FP－small內(nèi)射環(huán)．

如下結(jié)論類似于［10，定理1］．

定理1 設(shè)R是環(huán)且n≥1，則下述等價(jià)：

（1）R是右FP－small內(nèi)射環(huán)．

（5）如果RK?Jn是有限生成的，則，其中X?Mn（R）．

（6）Mn（R）是右PS－內(nèi)射環(huán)．

證明：（1）?（6）由［13，定理2．11］．

（3）?（4）．設(shè)A∈Mm×n（R）是以為行的矩陣．由假設(shè)，有，于是根據(jù)（3），．如果，則．

（4）?（5）．設(shè)K＝，則．故，根據(jù)（4），，則推出．再由［4，引理5．40］，K＝，其中X?Mn（R）．

（5）?（6）．任取A∈J（Mn（R）），設(shè)是A的第i行，記K＝，故K?Jn．根據(jù)（5），K＝，X?Mn（R）．而Mn（R）A＝．再由［13，引理2．3］，Mn（R）是右PS－內(nèi)射環(huán)．□

注2 由上述定理和［13，命題2．9］，右FP－small內(nèi)射環(huán)是Morita不變量．

眾所周知，環(huán)R是右FP－內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)有限表示左R－模是無擾模［7］．而有如下結(jié)論．

命題2 環(huán)R是右FP－small內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)small有限表示左R－模是無擾模．

證明：設(shè)R是右FP－small內(nèi)射環(huán)．如果RK是Rn的有限生成small子模，不妨記，則∈Jn．只需證明存在單同態(tài)f：Rn／K→（RR）I，或證明如果，則存在同態(tài)g：Rn→R使得g（K）＝0，g（b）≠0．若沒有這樣的同態(tài)g存在，則g（K）＝0推出＝0．由［4，引理5．38］，，再根據(jù)定理1，＝K，證出矛盾．

文獻(xiàn)［17］證明了環(huán)R是半正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)有限表示右R－模有投射蓋．因此，若R是半正則環(huán)，則有限表示右R－模是small有限表示模．于是有如下結(jié)論．

命題3 設(shè)R是半正則環(huán)，則R是右FP－內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是右FP－small內(nèi)射環(huán)．

推論1 設(shè)R是半完全環(huán)，則R是右FP－內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是右FP－small內(nèi)射環(huán)．

現(xiàn)在利用FP－small內(nèi)射性給出FP－環(huán)的刻畫．

定理2 設(shè)R是環(huán)，則下述等價(jià)：

（1）R是FP－環(huán)．

（2）R是半完全，右FP－small內(nèi)射環(huán)且soc（RR）≤eRR．

（3）R是半完全，左FP－small內(nèi)射環(huán)且soc（RR）．

（4）R是半完全，右FP－small內(nèi)射和右Kasch環(huán)．

（5）R是半完全，左FP－small內(nèi)射和左Kasch環(huán)．

（6）R是半完全，右FP－small內(nèi)射環(huán)且J（R）＝rR｛k1，…，kn｝，其中｛k1，…，kn｝∈R．

（7）R是半完全，左FP－small內(nèi)射環(huán)且J（R）＝lR｛m1，…，mn｝，其中｛m1，…，mn｝∈R．

（8）R是右Kasch，右FP－small內(nèi)射和左min－CS環(huán)．

（9）R是左Kasch，左FP－small內(nèi)射和右min－CS環(huán)．

證明：（1）?（2）?（3）由［4，定理5．57］和推論1可證．

（1）?（4）?（5）?（6）?（7）由［10，定理5］和推論1．

（1）?（8）和（9）根據(jù)［4，定理5．61］．

（8）?（2）．由于右FP－small內(nèi)射環(huán)是右PS－內(nèi)射環(huán)，而且還是右極小內(nèi)射環(huán)．由［4，定理2．31］，單右R－模的對偶模是單的．根據(jù)［4，定理4．8］，R是半完全環(huán)且soc（RR）≤eRR．

（9）?（3）類似于（8）?（2）的證明．□

推論2 如果R是右FP－small內(nèi)射環(huán)，soc（RR）≤eRR且升鏈rR（a1）?rR（a2a1）?…?rR（anan－1…a1）?…是穩(wěn)定的（a1，a2，…∈R），則R是FP－環(huán)．

證明：注意到R還是右極小對稱環(huán)．于是，根據(jù)［12，引理2．2］，R是右完全環(huán)．再由定理2，R是FP－環(huán)．□

注3 上述推論中的條件“soc（RR）≤eRR”不能省略．設(shè)R＝Z是整數(shù)環(huán)，則R是FP－small內(nèi)射環(huán)和Noether環(huán)．由于R不是FP－內(nèi)射環(huán)，所以R不是FP－環(huán)．

設(shè)M是模．socle序列：soc1（M）?soc2（M）?…是M的子模鏈．定義為soc1（M）＝soc（M），當(dāng)n＞1時(shí)，socn＋1（M）由socn＋1（M）／socn（M）＝soc［M／socn（M）］定義．

根據(jù)推論1和［4，定理5．66］，有：

推論3 設(shè)R是左完全，右FP－small內(nèi)射環(huán)．則下列結(jié)論成立．

（1）R是QF－環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)soc2（R）是有限生成右R－模．

（2）R是QF－環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R／soc（R）是有限上生成左R－模．

（3）如果R還是右完全環(huán)，則R是QF－環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)soc2（R）是有限生成左R－模．

2 J－內(nèi)射性

以下將研究環(huán)與模的J－內(nèi)射性．

定義3 右R－模M稱為J－內(nèi)射模［6］，如果對任意有限生成small右理想I，Ext1（R／I，M）＝0．環(huán)R稱為右J－內(nèi)射環(huán)，如果R是J－內(nèi)射右R－模．對偶地，有左J－內(nèi)射環(huán)的定義．

由定義易證J－內(nèi)射模關(guān)于擴(kuò)張，直和，直積以及直和項(xiàng)封閉．

注4 現(xiàn)給出J－內(nèi)射模的例子．

（1）右f－內(nèi)射模是右J－內(nèi)射模．反之不然．例如：R＝?是J－內(nèi)射環(huán)但不是f－內(nèi)射環(huán)．

（2）右FP－small內(nèi)射模是右J－內(nèi)射模．

（3）右small內(nèi)射模是右J－內(nèi)射模．正如下列命題，反之不然．

命題4 設(shè)R是環(huán)，則下列條款等價(jià)：

（1）J（R）是Noether右R－模．

（2）右J－內(nèi)射R－模是small內(nèi)射模．

證明：（1）?（2）．由假設(shè)，任意small右理想I是有限生成的．因此對任意J－內(nèi)射R－模M和R－模同態(tài)f：I→M，存在R－模同態(tài)g：R→M使得gi＝f，這里i：I→R是嵌入映射．證出M是右small內(nèi)射模．

（2）?（1）．設(shè)E＝⊕i∈IEi，其中Ei是右small內(nèi)射模，故E是右J－內(nèi)射模．由（2），E是右small內(nèi)射模．再根據(jù)［12，定理2．17］，J（R）是Noether右R－模．□

注5 設(shè)R是例1中的環(huán)．記．則J（R）＝span｛m，x1，x2，…｝不是Noether模．由命題4，存在R－模是J－內(nèi)射模但不是small內(nèi)射模．

下列命題類似于命題3．

命題5 設(shè)R是半正則環(huán)，則R是右f－內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是右J－內(nèi)射環(huán)．

注6 右J－內(nèi)射環(huán)顯然是右PS－內(nèi)射環(huán)．由例2可知右PS－內(nèi)射環(huán)不一定是右J－內(nèi)射環(huán)．事實(shí)上，如果設(shè)例2中的環(huán)R是右J－內(nèi)射環(huán)，根據(jù)命題5，R是右f－內(nèi)射環(huán)，故其還是右2－內(nèi)射環(huán)．由［4，推論5．32］，R是左GPF環(huán)，與［4，例5．34］的結(jié)論矛盾．

環(huán)R稱為右IN－環(huán)［17］，如果對R的任意右理想T，T′，lR（T∩T′）＝lR（T）＋lR（T′）．如果對R的small右理想T，T′，有l(wèi)R（T∩T′）＝lR（T）＋lR（T′），就稱R為右WIN－環(huán)．右IN－環(huán)顯然是右WIN－環(huán)．由［13，引理2．3］和［6，命題2．3］，有如下結(jié)論．

命題6 右PS－內(nèi)射，右WIN－環(huán)是右J－內(nèi)射環(huán)．

命題7 設(shè)R是環(huán)，則下述等價(jià)：

（1）R是半本原環(huán)．

（2）任意左（右）R－模是small內(nèi)射模．

（3）任意左（右）R－模是FP－small內(nèi)射模．

（4）任意左（右）R－模是J－內(nèi)射模．

（5）任意左（右）R－模是PS－內(nèi)射模．

（6）任意左（右）單R－模是small內(nèi)射模．

（7）任意左（右）單R－模是FP－small內(nèi)射模．

（8）任意左（右）單R－模是J－內(nèi)射模．

（9）任意左（右）單R－模是PS－內(nèi)射模．

證明：（1）?（2）?（6）由［12，定理2．8］可證．

（1）?（5）?（9）由［13，命題2．18］．

（1）?（3）?（7）和（1）?（4）?（8）顯然．□

推論4 設(shè)R是環(huán)，則下述等價(jià)：

（1）R是半本原環(huán)．

（2）R是右small內(nèi)射環(huán)并且單奇異右R－模是small內(nèi)射模．

（3）R是右FP－small內(nèi)射環(huán)并且單奇異右R－模是FP－small內(nèi)射模．

（4）R是右J－內(nèi)射環(huán)并且單奇異右R－模是J－內(nèi)射模．

（5）R是右PS－內(nèi)射環(huán)并且單奇異右R－模是PS－內(nèi)射模．

證明：（1）?（2）?（4）?（5）和（1）?（3）?（4）顯然．

（5）?（1）根據(jù)［14，定理2．3］．□

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