有序與無序之間的幾個(gè)分拆恒等式和遞歸式

許小芳

(湖北理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北黃石435003)

“將正整數(shù)拆分成分布量為奇數(shù)的無序分拆數(shù)等于將正整數(shù)拆分成互不相同的分布量的無序分拆數(shù)”［1］是由數(shù)學(xué)家Euler 在研究數(shù)論時(shí)首先提出的.隨后，與無序分拆相關(guān)的恒等式的研究引起了很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并產(chǎn)生了許多有趣的結(jié)果［2－3］.

然而，在正整數(shù)的分拆問題的研究中，大多只考慮無序分拆或只研究有序分拆，對(duì)兩者相關(guān)的恒等式的研究并不多.Agarwal 在2003年給出了這類問題的第1 個(gè)恒等式［4］，并且利用分拆的方法給出了它的組合證明.郭育紅［5］在2007年使用Agarwal 的組合方法得到了幾個(gè)新的關(guān)于正整數(shù)的無序分拆與有序分拆之間的恒等式.畢曉芳［6］等在2008年又給出了2 個(gè)關(guān)于無序與有序之間的新的分拆恒等式，并給出了它們的組合證明.黃鳳英和柳柏濂［7］在2009年討論了將正整數(shù)分拆成分布量不小于k 和分布量不大于k 的有序分拆，分別給出了這2 類有序分拆與無序分拆相關(guān)的一些恒等式和遞歸式，同時(shí)得到了正整數(shù)分拆成分布量不大于k 的有序分拆數(shù)與廣義的高階菲波拉契數(shù)之間的關(guān)系式.邢林燕和尤利華［8］在2010年又給出了幾個(gè)和正整數(shù)的無序與有序相關(guān)的分拆恒等式.最近龐榮波和許小芳也分別在文獻(xiàn)［9］和［10］中研究了這類恒等式.本文在此基礎(chǔ)上提出了幾個(gè)新的與正整數(shù)的無序分拆和有序分拆相關(guān)的恒等式和遞推式，并給出了它們的組合證明.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［5］如果正整數(shù)n 的一個(gè)無序分拆π 的所有分部量為互不相同的奇數(shù)，則稱π是一個(gè)“奇”無序分拆.

定義2［5］如果正整數(shù)n 的一個(gè)無序分拆π 的所有分部量為互不相同的偶數(shù)，則稱π 是一個(gè)“偶”無序分拆.

定義3［6］如果正整數(shù)n 的一個(gè)無序分拆π 中分部量分別以奇數(shù)和偶數(shù)交替出現(xiàn)，且最小分部量是偶數(shù)，則稱π 是一個(gè)“奇－偶”無序分拆.

引理1［6］設(shè)m 是滿足2 ≤m＜n 的正整數(shù)，其中n 是奇數(shù).如果正整數(shù)n 可以分拆成2 部分之和，其中第1 部分是分部量為偶數(shù)的有序分拆，第2 部分是1 個(gè)奇數(shù)，用c(e，o，n)表示這種分拆數(shù);如果正整數(shù)n 可以分成2部分之和，其中第1 部分是恰含m－1 個(gè)偶數(shù)的有序分拆，第2 部分是1 個(gè)奇數(shù)，用cm(e，o，n)表示這種分拆數(shù);將恰含2 個(gè)以上分部量并且最大分部量為n 的“奇”無序分拆數(shù)記為On;將恰含m 個(gè)分部量并且最大分部量為n 的“奇”無序分拆數(shù)記為Omn，則:

引理2［6］設(shè)n，m 是正整數(shù)，且m 滿足2≤m＜n.如果正整數(shù)n 可以分拆成2 部分之和，其中第1 部分是分部量為奇數(shù)的有序分拆，第2 部分是1 個(gè)偶數(shù)，用c(o，e，n)表示這種分拆數(shù);如果正整數(shù)n 可以分成2 部分之和，其中第1 部分是恰含m－1 個(gè)奇數(shù)的有序分拆，第2 部分是1 個(gè)偶數(shù)，用cm(o，e，n)表示這種分拆數(shù);將最大分部量為n 的“奇－偶”無序分拆數(shù)記為OEn;將恰含m 個(gè)分部量且最大分部量為n 的“奇－偶”無序分拆數(shù)記為，則:

2 與“奇－偶－奇”有序分拆相關(guān)的恒等式和遞歸式

定義4如果正整數(shù)n 的一個(gè)有序分拆π包含3 個(gè)部分，其中第1 部分是一個(gè)奇數(shù)，第2 部分是分部量為偶數(shù)的有序分拆，第3 部分是一個(gè)奇數(shù)，則稱π 是n 的一個(gè)“奇－偶－奇”有序分拆.用c(o，e，o，n)表示n 的“奇－偶－奇”有序分拆數(shù).

定義5如果正整數(shù)n 的一個(gè)有序分拆π包含3 個(gè)部分，其中第1 部分是一個(gè)奇數(shù)，第2 部分是包含m－2 個(gè)分部量的“偶”有序分拆，第3 部分是一個(gè)奇數(shù)，則稱π 是n 的一個(gè)包含m 個(gè)分部量的“奇－偶－奇”有序分拆.用cm(o，e，o，n)表示n 的包含m 個(gè)分部量的“奇－偶－奇”有序分拆數(shù).

定理1設(shè)m 是滿足3≤m＜n 的正整數(shù)，其中n 是偶數(shù)，則有:

證明:首先證明式(1)成立.

設(shè)π 是一個(gè)恰含m 個(gè)分部量且最大分部量為偶數(shù)n，其余分部量為奇數(shù)的無序分拆.令π = x1+x2+…+xm，其中x1＜x2＜…＜xm=n(xi為奇數(shù)，i =1，2，…，m－1).于是n=x1+(x2－x1)+(x3－x2)+…+(xm－xm－1)就是一個(gè)將正整數(shù)n 分拆成3 部分的分拆數(shù):第1 部分是一個(gè)奇數(shù)，第2 部分是恰含m－2 個(gè)偶數(shù)的有序分拆，第3 部分是一個(gè)奇數(shù).

另一方面，設(shè)n =n1+n2+…+nm是正整數(shù)n 的一個(gè)恰有m 個(gè)部分的有序分拆，其中n1和nm為奇數(shù)，ni(i = 2，3，…，m－1)為偶數(shù).令x1= n1，x2= n1+n2，x3= n1+n2+n3，…，xm=n1+n2+…+nm= n，顯然x1，x2，…，xm－1為奇數(shù)，xm為偶數(shù)n，則π = x1+x2+…+xm是一個(gè)恰含m 個(gè)分部量且最大分部量為偶數(shù)n，其余分部量是奇數(shù)的無序分拆.

從而，正整數(shù)n 的一個(gè)恰有3 部分的有序分拆(其中第1 部分是一個(gè)奇數(shù)，第2 部分是包含m－2 個(gè)分布量的“偶”有序分拆，第3 部分是一個(gè)奇數(shù))與一個(gè)包含m 個(gè)分部量且最大分部量為偶數(shù)n，其余分部量是奇數(shù)的無序分拆一一對(duì)應(yīng)，故式(1)成立.

很明顯，式(2)可以由式(1)得到.

例如:取n =8，m =3.將8 分拆成3 部分之和的有序分拆(其中第1 部分是一個(gè)奇數(shù)，第2 部分是一個(gè)偶數(shù)，第3 部分是一個(gè)奇數(shù))有6 個(gè):1+6+1，1+4+3，1+2+5，3+4+1，3+2+3，5+2+1，即c3(o，e，o，8)=6.與之對(duì)應(yīng)的恰含3 個(gè)分部量且最大分部量為偶數(shù)8，其余分部量是奇數(shù)的無序分拆有6 個(gè):1+7+8，1+5+8，1+3+8，3+7+8，3+5+8，5+7+8，即.

將8 分拆成3 部分之和的有序分拆(其中第1 部分是一個(gè)奇數(shù)，第2 部分是分部量為偶數(shù)的有序分拆，第3 部分是一個(gè)奇數(shù))有11個(gè):1+6+1，1+4+3，1+2+5，3+4+1，3+2+3，5+2+1，1+2+4+1，1+4+2+1，1+2+2+3，3+2+2+1，1+2+2+2+1，即c(o，e，8)=11.與之對(duì)應(yīng)的恰含3 個(gè)分部量且最大分部量為偶數(shù)8，其余分部量是奇數(shù)的無序分拆有11 個(gè):1+7+8，1+5+8，1+3+8，3+7+8，3+5+8，5+7+8，1+3+7+8，1+5+7+8，1+3+5+8，3+5+7+8，1+3+5+7+8，即.

定理2設(shè)n 是偶數(shù)，m 是滿足3 ≤m＜n的正整數(shù)，則.

證明:設(shè)π 是一個(gè)恰含m 個(gè)分部量且最大分部量為偶數(shù)n，其余分部量是奇數(shù)的無序分拆.令π =x1+x2+…+xm，其中x1＜x2＜…＜xm= n(xi為奇數(shù)，i = 1，2，…，m－1)，則π＇=x1+x2+…+(xm－1)是一個(gè)恰含m 個(gè)分部量且最大分部量為n－1 的“奇”無序分拆.并且這是種一一對(duì)應(yīng)，則.再由定理1 可得.

由引理1 和定理2 可得出下面的結(jié)論.

定理3設(shè)n 是偶數(shù)，m 是滿足3 ≤m＜n的正整數(shù)，則cm(o，e，o，n)=cm(e，o，n－1).

定理4設(shè)n 是偶數(shù)，m 是滿足3 ≤m＜n的正整數(shù)，cm(o，n)表示將正整數(shù)n 分拆成恰含m 個(gè)分部量且分部量為奇數(shù)的有序分拆數(shù)，則:

1)當(dāng)m =3 時(shí)，c3(o，e，o，n)= c3(o，e，o，n－2)+c2(o，n－2);

2)當(dāng)3＜m＜n 時(shí)，cm(o，e，o，n)=cm(o，e，o，n－2)+cm－1(o，e，o，n－2).

證明:1)當(dāng)m =3 時(shí)，設(shè)π = n1+n2+n3是正整數(shù)n 的一個(gè)恰有3 個(gè)部分的有序分拆，其中n1和n3為奇數(shù)，n2為偶數(shù).根據(jù)n1與1的關(guān)系把π 分解為以下2 類:

①若n1＞1，則π＇= (n1－2)+n2+n3是正整數(shù)n－2 的一個(gè)恰有3 個(gè)部分的有序分拆，其中n1－2 和n3為奇數(shù)，n2為偶數(shù).這類分拆數(shù)為c3(o，e，o，n－2).

②若n1=1，則π＇= (n1－1)+(n2－1)+n3=(n2－1)+n3是正整數(shù)n－2 的一個(gè)恰有2 個(gè)部分的有序分拆，其中n2－1 和n3為奇數(shù).這類分拆數(shù)為c2(o，n－2).

綜上可知，當(dāng)m = 3 時(shí)，c3(o，e，o，n)=c3(o，e，o，n－2)+c2(o，n－2)成立.

2)當(dāng)3＜m＜n 時(shí)，設(shè)π = n1+n2+…+nm是正整數(shù)n 的一個(gè)恰有m 個(gè)部分的有序分拆，其中n1和nm為奇數(shù)，ni(i = 2，3，…，m－1)為偶數(shù).根據(jù)n1與1 的關(guān)系把π 分解為以下2 類:

①若n1＞1，則π＇= (n1－2)+n2+…+nm是正整數(shù)n－2 的一個(gè)恰有m 個(gè)部分的有序分拆，其中n1－2 和nm為奇數(shù)，ni(i =2，3，…，m－1)為偶數(shù).這類分拆數(shù)為cm(o，e，o，n－2).

②若n1=1，則π＇= (n1－1)+(n2－1)+…+nm= (n2－1)+n3+…+nm是正整數(shù)n－2的一個(gè)恰有m－1 個(gè)部分的有序分拆，其中n2－1 和nm為奇數(shù)，ni(i =3，…，m－1)為偶數(shù).這類分拆數(shù)為cm－1(o，e，o，n－2).

綜上可知，當(dāng)3＜m＜n 時(shí)，cm(o，e，o，n)=cm(o，e，o，n－2)+cm－1(o，e，o，n－2)成立.

3 與“偶－奇－偶”有序分拆相關(guān)的恒等式和遞歸式

定義6如果正整數(shù)n 的一個(gè)有序分拆π包含3 個(gè)部分，其中第1 部分是一個(gè)偶數(shù)，第2 部分是分部量為奇數(shù)的有序分拆，第3 部分是一個(gè)偶數(shù)，則稱π 是n 的一個(gè)“偶－奇－偶”有序分拆.用c(e，o，e，n)表示n 的“偶－奇－偶”有序分拆數(shù).

定義7如果正整數(shù)n 的一個(gè)有序分拆π包含3 個(gè)部分，其中第1 部分是一個(gè)偶數(shù)，第2 部分是包含m－2 個(gè)分部量的“奇”有序分拆，第3 部分是一個(gè)偶數(shù)，則稱π 是n 的一個(gè)包含m 個(gè)分部量的“偶－奇－偶”有序分拆.用cm(e，o，e，n)表示n 的包含m 個(gè)分部量的“偶－奇－偶”有序分拆數(shù).

定理5設(shè)n，m 是正整數(shù)，且m 滿足3≤m＜n，則有:

證明:首先證明式(3).

設(shè)π 是一個(gè)包含m 個(gè)分部量的“奇－偶”無序分拆且最大分部量為n－1.令π = x1+x2+…+xm，其中x1＜x2＜…＜xm= n－1 且x1為偶數(shù).于是n = x1+(x2－x1)+(x3－x2)+…+(xm－xm－1+1)就是一個(gè)將正整數(shù)n 分拆成3 部分的有序分拆:第1 部分是一個(gè)偶數(shù)，第2 部分是恰含m－2 個(gè)奇數(shù)的有序分拆，第3 部分是一個(gè)偶數(shù).

另一方面，設(shè)n =n1+n2+…+nm是正整數(shù)n 的一個(gè)恰有m 個(gè)部分的有序分拆，其中n1和nm為偶數(shù)，ni(i = 2，3，…，m－1)為奇數(shù).令x1= n1，x2= n1+n2，x3= n1+n2+n3，…，xm=n1+n2+…+nm－1 = n－1，顯然x1，x2，…，xm為奇數(shù)和偶數(shù)交替序列，x1為偶數(shù)，則π =x1+x2+…+xm是一個(gè)恰含m 個(gè)分部量且最大分部量為n－1 的“奇－偶”無序分拆.從而，正整數(shù)n 的一個(gè)恰有3 部分的有序分拆(其中第1 部分是一個(gè)偶數(shù)，第2 部分是恰含m－2 個(gè)奇數(shù)的有序分拆，第3 部分是一個(gè)偶數(shù))與一個(gè)恰含m 個(gè)分部量且最大分部量為n－1 的“奇－偶”無序分拆一一對(duì)應(yīng)，故式(3)成立.

很顯然，式(4)可以由式(3)得到.

例如:取n =9，m =3.將9 分拆成3 部分之和的有序分拆(其中第1 部分是一個(gè)偶數(shù)，第2 部分是一個(gè)奇數(shù)，第3 部分是一個(gè)偶數(shù))有6 個(gè):2+5+2，4+1+4，2+3+4，4+3+2，2+1+6，6+1+2，即c3(e，o，e，9)=6.與之對(duì)應(yīng)的恰含3 個(gè)分部量且最大分部量為8的“奇－偶”無序分拆有6 個(gè):2+7+8，4+5+8，2+3+8，4+7+8，2+5+8，6+7+8，即.

將9 分拆成3 部分之和的有序分拆(其中第1 部分是一個(gè)偶數(shù)，第2 部分是分部量為奇數(shù)的有序分拆，第3 部分是一個(gè)偶數(shù))有11個(gè):2+5+2，4+1+4，2+3+4，4+3+2，2+1+6，6+1+2，2+1+1+3+2，2+1+3+1+2，2+3+1+1+2，2+1+1+1+4，4+1+1+1+2，即c(e，o，e，9)=11.與之對(duì)應(yīng)的恰含3 個(gè)分部量且最大分部量為偶數(shù)8 的“奇－偶”無序分拆有11 個(gè):2+7+8，4+5+8，2+3+8，4+7+8，2+5+8，6+7+8，2+3+4+7+8，2+3+6+7+8，2+5+6+7+8，2+3+4+5+8，4+5+6+7+8，即.

由引理2 和定理5 可得出下面的結(jié)論.

定理6設(shè)n，m 是正整數(shù)，且m 滿足3≤m＜n的正整數(shù)，則:

cm(e，o，e，n)=cm(o，e，n－1).

定理7設(shè)n，m 是正整數(shù)，且m 滿足3≤m＜n，cm(e，n)表示將正整數(shù)n 分拆成包含m 個(gè)分部量的“偶”有序分拆數(shù)，則:

1)當(dāng)m =3 時(shí)，c3(e，o，e，n)= c3(e，o，e，n－2)+c2(e，n－1);

2)當(dāng)3＜m＜n 時(shí)，cm(e，o，e，n)= cm(e，o，e，n－2)+cm－1(e，o，e，n－1).

證明:1)當(dāng)m = 3 時(shí)，設(shè)π = n1+n2+n3是正整數(shù)n 的一個(gè)恰有3 個(gè)部分的有序分拆，其中n1和n3為偶數(shù)，n2為奇數(shù).根據(jù)n1和2的關(guān)系把π 分解為以下2 類:

①若n1＞2，則π＇= (n1－2)+n2+n3是正整數(shù)n－2 的一個(gè)恰有3 個(gè)部分的有序分拆，其中n1－2 和n3為偶數(shù)，n2為奇數(shù).這類分拆數(shù)為c3(e，o，e，n－2);

②若n1=2，則π＇=(n1－2)+(n2+1)+n3=(n2+1)+n3是正整數(shù)n－1 的一個(gè)恰有2 個(gè)部分的有序分拆，其中n2+1 和n3為偶數(shù)，這類分拆數(shù)為c2(e，n－1).

綜上可知，當(dāng) m = 3 時(shí)，c3(e，o，e，n)=c3(e，o，e，n－2)+c2(e，n－1)成立.

2)當(dāng)3＜m＜n 時(shí)，設(shè)π = n1+n2+…+nm是正整數(shù)n 的一個(gè)恰有m 個(gè)部分的有序分拆，其中n1和nm為偶數(shù)，ni(i = 2，3，…，m－1)為奇數(shù).根據(jù)n1與2 的關(guān)系把π 分解為以下2 類:

①若n1＞2，則π＇= (n1－2)+n2+…+nm是正整數(shù)n－2 的一個(gè)恰有m 個(gè)部分的有序分拆，其中n1－2 和nm為偶數(shù)，ni(i =2，3，…，m－1)為奇數(shù)，這類分拆數(shù)為cm(e，o，e，n－2);

②若n1=2，則π＇= (n1－2)+(n2+1)+…+nm= (n2+1)+n3+…+nm是正整數(shù)n－1的一個(gè)恰有m－1 個(gè)部分的有序分拆，其中n2+1 和nm為偶數(shù)，ni(i =3，…，m－1)為奇數(shù)，這類分拆數(shù)為cm－1(e，o，e，n－1).

綜上可知，當(dāng)3＜m＜n 時(shí)，cm(e，o，e，n)=cm(e，o，e，n－2)+cm－1(e，o，e，n－1)成立.

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