基于股本權(quán)證定價效果的最優(yōu)波動率模型選擇

張建鋒，扈文秀，刁伍鈞

（西安理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，西安710054）

0 引言

研究最優(yōu)波動率模型選擇對準(zhǔn)確預(yù)測金融資產(chǎn)波動率、提高股本權(quán)證定價效果具有重要意義，這也是近20年來金融市場一直重點研究的一項任務(wù)。波動率預(yù)測模型主要分為三類：第一類是隱含波動率模型（根據(jù)期權(quán)價格運用BS模型反推得出未來波動率的預(yù)測值；第二類是歷史波動率模型，利用金融資產(chǎn)中包含的歷史信息預(yù)測未來波動率，通常用到的有GARCH族模型或SV模型；第三類是已實現(xiàn)波動率模型，通過將某一頻率下的日內(nèi)分時交易數(shù)據(jù)的收益率平方加總作為波動率的預(yù)測值。

本文將利用我國股本權(quán)證及其標(biāo)的市場交易數(shù)據(jù)，通過樣本內(nèi)估計模型參數(shù)，以權(quán)證定價效果為基準(zhǔn)，將權(quán)證的市場價格與模型價格進(jìn)行比較，對三類波動率模型的預(yù)測效果進(jìn)行樣本外檢驗，選擇出符合為我國股本權(quán)證定價的最優(yōu)波動率模型。這一研究結(jié)果也適用于可轉(zhuǎn)換債券、經(jīng)理人股票期權(quán)等其他期權(quán)類金融衍生品定價。

1 波動率預(yù)測模型

1.1 隱含波動率模型

根據(jù)Black-Scholes期權(quán)定價公式（后文簡稱為BS公式），t時刻的歐式期權(quán)價格是標(biāo)的資產(chǎn)價格St，行權(quán)價格X，無風(fēng)險利率r，期權(quán)到期時間T以及標(biāo)的資產(chǎn)從t到T期間的波動率σ等五個參數(shù)的函數(shù)。其中，St，X，r，T均為可觀測變量，如果能夠從市場上觀測到歐式期權(quán)市場價格，則可利用BS公式反推出標(biāo)的資產(chǎn)波動率σ，按此方法估計所得波動率被稱為隱含波動率。

這種計算期權(quán)隱含波動率的思想同樣可以用于估算股本權(quán)證定價所需波動率。Galai和Schneller[1]首先考慮了“稀釋效應(yīng)”對股本權(quán)證價格的影響，隨后，Schultz和Trautmann[2]基于他們1989年的working paper與Crouhy和Galai 1991年的學(xué)術(shù)論文研究成果，將股本的稀釋作用引入BS公式，構(gòu)建了如下稀釋因子調(diào)整的BS公式：

W為權(quán)證價格，N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)，S是標(biāo)的股票在t時刻的價格，N為標(biāo)的股票在t時刻的數(shù)量，n為發(fā)行權(quán)證的數(shù)量，r為無風(fēng)險利率，K為權(quán)證行權(quán)價格，T為權(quán)證到期日，σ為標(biāo)的股票收益率的波動率。

股本權(quán)證定價中的隱含波動率就是給定公式（1）中的W值對應(yīng)的σ值。由于無法通過反解公式（1）來將σ表示成股本權(quán)證價格與其他變量的函數(shù)，John C.Hull提出了采用迭代的方式來求解隱含波動率的思路，并開發(fā)出了計算股本權(quán)證隱含波動率的DerivaGem軟件，本文在后面的實證分析中將運用該軟件預(yù)測隱含波動率。

1.2 歷史波動率模型

股本權(quán)證價格作為一種金融時間序列，其實際分布存在著“尖峰厚尾”特征，且波動性具有明顯的聚集性和爆發(fā)性。為了消除金融時間序列這種條件異方差性，Engle提出了自回歸條件異方差（ARCH(q)）模型，這也是最早運用歷史數(shù)據(jù)估計波動率的模型。Bollerslev和Taylor對該模型做了進(jìn)一步推廣，構(gòu)建了廣義自回歸條件異方差（GARCH(p，q)）模型。由于其中的GARCH(1，1)模型隨時間變化，模型中的方差率會被拉回到其長期平均水平，即均值回歸，使得該模型成為ARCH族模型的代表。

在GARCH(1，1)模型中，定義σn為第n-1天所估計的股本權(quán)證標(biāo)的資產(chǎn)在第n天的波動率，則模型表達(dá)式如下：

如果γ，α，β能夠被很好估算，就可以用公式（2）進(jìn)行波動率預(yù)測。由于極大似然估計法具有良好的相合性與漸進(jìn)正態(tài)性，在估計GARCH(1，1)模型參數(shù)時被廣泛應(yīng)用，Press、Flannery、Teukolsky和Vetterling，Engle和Mezrich均對此進(jìn)行了證明，論文在實證部分運用Eviews 5.0軟件時，也將選用這一估計方法。

1.3 已實現(xiàn)波動率模型

Andersen和Bollerslev[3]首次指出利用日內(nèi)收益率平方估算的波動率較其它模型具有更好的效果，并將外匯市場288個5分鐘間隔收益率平方和定義為匯率的已實現(xiàn)波動率。Koopman、Jungbacker和Hol將上述方法應(yīng)用于股票市場，定義第n日股票已實現(xiàn)波動率是其隔夜收益率平方加第n日總交易時間以5分鐘為間隔的收益率平方和，具體模型為：

其中，Rn,0為股票在交易日n的隔夜收益率；Rn,d為股票在交易日n的第d個5分鐘收益率；Pn,d是交易日n第d個5分鐘末的股票價格；Pn,0是交易日n的開盤價；Pn-1,D是交易日n-1的收盤價，即第D個5分鐘末的股票價格；D是一個完整交易日以5分鐘為間隔的總數(shù)量。

該模型所有變量值均可由市場觀測值計算獲得，如果計算日內(nèi)收益率所選時間間隔適當(dāng)，就可由公式（3）進(jìn)行已實現(xiàn)波動率估算。對于時間間隔的最優(yōu)選擇，目前還未形成一致結(jié)論，但大多數(shù)學(xué)者實證分析都選取的是5分鐘間隔，少部分學(xué)者實證證明了次間隔是最優(yōu)的。因此，接下來的實證部分本文也選取5分鐘時間間隔計算日內(nèi)收益率。

2 數(shù)據(jù)選取與模型參數(shù)估計

2.1 樣本數(shù)據(jù)選取

滬深交易所上市的權(quán)證包括股改、首發(fā)和分離交易可轉(zhuǎn)債附帶三種發(fā)行類別共計55支，其中股改產(chǎn)生的權(quán)證屬于備兌權(quán)證，其余兩種類別產(chǎn)生的權(quán)證屬于股本權(quán)證，而首發(fā)產(chǎn)生的權(quán)證中派發(fā)給有限售條件流通股東的那部分由于不能上市交易，所以，能夠滿足實證分析的樣本只能從分離交易可轉(zhuǎn)債所附帶的21支權(quán)證中選取。根據(jù)行權(quán)方式，上述21支股本權(quán)證包括4支百慕大式和17支歐式，其中百慕大式權(quán)證在第一次行權(quán)期內(nèi)幾乎沒有投資者對其行權(quán)，絕大多數(shù)都是持有到權(quán)證到期日行權(quán)，因此，這4支百慕大式股本權(quán)證可以被看作歐式股本權(quán)證采用稀釋因子調(diào)整的BS模型進(jìn)行定價，表1給出了所選樣本的基本信息。最終，本文選取2006年12月12日至2011年8月11日對應(yīng)的21支股本權(quán)證日交易數(shù)據(jù)及其標(biāo)的股票2004年12月12日至2011年8月11日的日交易與日內(nèi)5分鐘交易數(shù)據(jù)為研究樣本。所有數(shù)據(jù)均來源于銳思數(shù)據(jù)庫。

2.2 波動率估算

表1 股本權(quán)證樣本基本信息

（2）歷史波動率估算。運用GARCH(1,1)模型時，本文采用樣本內(nèi)數(shù)據(jù)建立模型對樣本外的值進(jìn)行預(yù)測，同時為了提高預(yù)測精度，本文采用滾動窗口的估計方法。本文以2006年12月12日上市的鋼釩GFC1股本權(quán)證為例給出具體估計過程，在估計上市首日波動率時，樣本區(qū)間為該權(quán)證標(biāo)的股票2004年12月12日到2006年12月11日的日收益率；在估計上市第二日的波動率時，樣本區(qū)間為標(biāo)的股票2004年12月13日到2006年12月12日的日收益率，以此類推，就可得到權(quán)證有效期內(nèi)其標(biāo)的股票每一天的日波動率。根據(jù)日波動率與年波動率的轉(zhuǎn)換公式，如公式（4所示），可得到基于BS模型估算每一天權(quán)證價格所需的年波動率。

（3）已實現(xiàn)波動率估算。由第t日的日內(nèi)數(shù)據(jù)結(jié)合公式（3）得到權(quán)證標(biāo)的股票第t日的已實現(xiàn)波動率，再由公式（4）將其轉(zhuǎn)換為年波動率，將此波動率代入稀釋因子調(diào)整的BS模型可得第t+1日股本權(quán)證價格。以此類推，由第t+ 1日的已實現(xiàn)波動率可計算得第t+2日股本權(quán)證價格。

2.3 無風(fēng)險利率

金融資產(chǎn)定價中關(guān)于無風(fēng)險利率的選取通常有三種觀點，一是將銀行間的半年期同業(yè)拆借利率作為無風(fēng)險利率；二是將短期國債年收益率作為無風(fēng)險利率；三是將銀行一年期存款利率作為無風(fēng)險利率?，F(xiàn)階段，儲蓄、保險和股票是我國城市居民最主要的投資項目，其中百分之九十以上居民首選的投資是儲蓄，因此，本文選取銀行一年期整存整取利率并轉(zhuǎn)換為連續(xù)復(fù)利后作為無風(fēng)險利率，轉(zhuǎn)換公式如下式（5）所示，轉(zhuǎn)換結(jié)果如表2所示。

表2 不同階段連續(xù)復(fù)利無風(fēng)險利率

其中r為無風(fēng)險利率，r0為銀行一年期整存整取利率。

3 實證結(jié)果

基于稀釋因子調(diào)整的BS模型，本文將由隱含波動率模型、歷史波動率模型和已實現(xiàn)波動率模型作為波動率參數(shù)估計模型的股本權(quán)證定價模型分別記為BSI,BSH,BSR，根據(jù)模型定價結(jié)果，結(jié)合股本權(quán)證的市場日收盤價格可計算得每一模型定價結(jié)果的平均相對百分誤差（MRPE）與平均絕對百分誤差（MAPE）。相應(yīng)表達(dá)式如下：

表3 BSI,BSH,BSR模型定價的平均相對與平均絕對偏差統(tǒng)計結(jié)果

由表3可以看出，按平均絕對百分誤差（MAPE）判斷，基于隱含波動率的BS模型（BSI）對于21支股本權(quán)證樣本都是最小的，有8支股本權(quán)證樣本是歷史波動率模型（BSH）小于已實現(xiàn)波動率模型（BSR），占總樣本比例38%；按平均相對百分誤差（MRPE）判斷，基于歷史波動率的BS模型定價結(jié)果對于21支股本權(quán)證樣本全部出現(xiàn)低估，隱含波動率模型與已實現(xiàn)波動率模型低估的比例分別約為81%和71%，從定價效果來看，隱含波動率模型低估的程度最小。由此可以看出，在我國股本權(quán)證市場上，總體而言，基于隱含波動率模型的定價精度最高，其次是已實現(xiàn)波動率模型，最差的是歷史波動率模型。就單支股本權(quán)證而言，隱含波動率模型最優(yōu)，已實現(xiàn)波動率模型與歷史波動率模型相對績效不能確定。

4 結(jié)論

稀釋因子調(diào)整的BS模型為股本權(quán)證定價，最大困難在于波動率參數(shù)的準(zhǔn)確估計。本文以滬深交易所上市的21支分離交易可轉(zhuǎn)債所附帶的權(quán)證及其標(biāo)的股票為樣本，分別運用隱含波動率模型、已實現(xiàn)波動率模型以及歷史波動率模型對波動率參數(shù)進(jìn)行了估計，以股本權(quán)證市場價格為評價基準(zhǔn)，分別測算了基于三個波動率模型的定價結(jié)果的平均絕對偏差與平均相對偏差。實證結(jié)果表明，基于隱含波動率模型的定價效果最優(yōu)，已實現(xiàn)波動率模型定價效果略強(qiáng)于歷史波動率模型，但是就單支股本權(quán)證定價效果而言，二者的相對績效不穩(wěn)定。

[1]Crouhy M,Galai D.Common Errors in the Valuation of Warrants and Options on Firms with Warrants[J].Financial Analysts Journal,1991, 47(5).

[2]Schulz,G.U.,S.Trautmann.Robustness of Option-like Warrant Valuation[J].Journal of Banking and Finance,1994,18(1～2).

[3]Andersen,T.G.,T.Bollerslev.Answering the Skeptics:Yes,Standard Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts[J].International Economic Review,1998,39(6).