雙基合成孔徑雷達二維頻譜微增量算法研究

劉玉春 王 俊 高 博 王海環(huán)

（西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安710071）

引 言

雙基合成孔徑雷達（SAR）由于具有成本低、機動靈活、隱蔽性強、能夠?qū)Υ鬁y繪帶高分辨成像等特點［1］，近年來得到國內(nèi)外研究人員高度重視，對其成像模式［2-5］、性質(zhì)分析［5-9］、二維頻譜分析［1，10-16］和成像算法［17-21］的研究逐漸深入.

雙基二維頻譜求解是雙基SAR成像研究的一個關鍵問題，其表達形式和精度對成像算法的設計和應用有至關重要的影響.雙基SAR收發(fā)雙程斜距歷程（下面簡稱為斜距歷程）為雙平方根項，使二維頻譜求解非常復雜.Loffeld雙基公式（LBF）算法［10］先對收發(fā)斜距歷程在各自的駐相點處進行二階泰勒展開，然后利用駐相原理得到雙基SAR點目標的二維近似頻譜.但由于LBF算法對收發(fā)相位歷程進行了平均截斷處理，導致其在異構平臺構型下存在較大誤差.文獻［11］對LBF算法進行了改進，利用瞬時多普勒貢獻率對相位歷程進行了加權處理，提高了所求二維頻譜的精確性.文獻［1］應用了二維駐相原理，得到了具有較高精度的二維頻譜，可以方便地應用在距離多普勒（RD）和線頻調(diào)變標（CS）成像算法中.級數(shù)反演（MSR）算法［12］應用了級數(shù)反演原理，精度可以通過級數(shù)的階數(shù)控制，聚焦性能優(yōu)良，已經(jīng)成為廣泛應用的一種二維頻譜.文獻［13］利用菲涅耳近似得到一種較為精確的二維頻譜求解算法，但是只能應用于小斜視角和小雙基角的情況下.文獻［14］在MSR的基礎上對斜距歷程級數(shù)展開式的系數(shù)優(yōu)化，從而得到了一種更為精確的二維頻譜，但是其表達形式較為復雜，使后續(xù)成像處理更為復雜.四次精確傳遞函數(shù)（EETF4）二維頻譜近似解析算法［15-16］通過直接求解駐相點方程得到駐相點的解析解，進而得到較為精確的二維頻譜.

在上述研究的基礎上，本文提出雙基SAR二維頻譜微增量算法.該算法基于斜距歷程泰勒級數(shù)展開，以斜距歷程N-1階泰勒級數(shù)展開時的駐相點（下面稱之為N-1階駐相點）為基礎，通過求解N-1階駐相點至N階駐相點之間的差值（下面稱之為N-1階微增量）來求取N 階駐相點的表達式，最終得到二維頻譜.算法運算量小，并且具有可擴展性，可以很方便地通過循環(huán)使用微增量算法來得到更高階的駐相點表達式和其對應的二維頻譜，而沒有諸如ETF算法只能解四次以內(nèi)方程并且要討論根的取舍等問題的限制.

1 雙基二維頻譜的微增量算法

假設發(fā)射機信號為chirp信號，則解調(diào)后的點目標回波信號可以表達為

式中：wr（τ）為脈沖包絡；wa（t）為由雙基收發(fā)天線決定的方向圖函數(shù)；kr為脈沖調(diào)頻率；c為光速；t代表慢時間；τ代表快時間；fc為載頻；R（t）為斜距歷程.對回波信號進行距離維（快時間）傅里葉變換并應用駐相原理，可得

式（2）中忽略了一個無關緊要的含有π/4相位的常數(shù)項.在下面方位傅里葉變換時，也忽略由于使用駐相原理而產(chǎn)生的常數(shù)項.WR（fr）＝wr（fr/kr），二者僅是尺度變換.下面進行方位維（慢時間）傅里葉變換，有

對θ（t，fr）求導可得

由駐相原理知，θ′（t，fr）＝0的解即駐相點，由式（5）可得駐相點方程

如果斜距歷程R（t）被N階泰勒展開，則有

則N階駐相點方程可寫為

同理，N-1階駐相點方程為

根據(jù)文獻［12］，式（8）可以進一步展開為

式中：RT（t）、RR（t）分別為發(fā)、收的斜距歷程；VT、VR分別為發(fā)射機和接收機的速度；θT、θR分別為0方位時刻發(fā)射機和接收機的斜視角.一般情況下，VT?RT（0）、VR?RR（0），觀察式（11），可知斜距歷程泰勒展開系數(shù)kn隨著n的增加而指數(shù)遞減（當θT＝θR＝0時除外，此時n為奇數(shù)時kn為0，n為偶數(shù)時kn仍指數(shù)遞減）.從上面的分析可知式（9）中的高次項（NkNtN-1N）對駐相點的影響很小，因此式（9）與式（10）的解相差很小，故而tN-1與tN非常接近，即tN-tN-1?tN-1.

如果已知tN-1而欲求tN，并且定義

恰當?shù)臄⑹麻L度讓當代兒童文學精準地定位接受主體的經(jīng)驗、能力，“只有當人在審美狀態(tài)中把世界置于他自己的身體或觀賞世界時，他的人格才與世界分開，對他來說才出現(xiàn)了世界，……精神給無形式的東西以形式，從而表明它自己的自由?！盵3]準確的敘事長度讓兒童在自己的認知范圍內(nèi)找到精神自由。

稱ΔtN-1為N-1階微增量，則有

結合式（9）、（10）、（12），并根據(jù)式（13）忽略 ΔtN-1的高階項，整理得

由式（14）得

把式（15）帶入式（12），得到tN的近似解.參考頻譜二維表達式可表示為

式（16）中WA（fa）＝wa（tN）.

從上面的推導過程可以看出，在微增量算法中為求得tN的近似解，必須滿足兩個條件：預先求得tN-1；斜距歷程被N階泰勒展開（即要求出kn，n＝1，2，……，N）.

當斜距歷程被三階泰勒展開時，我們可以直接寫出三階駐相點的解析解

微增量算法具有可擴展性 .只要斜距歷程被展開到足夠高階數(shù)，就可以把式（18）作為起點，重復使用微增量算法，求出任意階駐相點的近似解，進而求出其二維頻譜.

1）利用式（7）和（8），把斜距N階泰勒展開.

2）利用式（18）、（15）和（12）求出高階駐相點表達式.

3）把步驟2中所得到的駐相點作為低階駐相點，重復步驟2，直至得到tN的表達式.

4）把步驟3中所求tN代入式（16）和（17）即得到雙基二維頻譜.

2 微增量算法與MSR算法的關系

MSR二維頻譜是一種被廣泛應用較為精確的雙基二維譜，本節(jié)通過數(shù)學推導來分析微增量算法和MSR算法之間的關系.在斜距歷程四階泰勒展開的情況下，MSR二維頻譜為

根據(jù)式（15）可以得到三階微增量Δt3，并把其展開為關于的泰勒級數(shù)，有

所以四階駐相點為

把式（23）帶到式（16）和式（17），整理并保留至 （fa＋（fr＋fc）k1/c）四次項，可得二維頻譜為

式（24）、（25）與式（19）、（20）完全一致，表明 MSR算法是微增量算法忽略（fa＋（fr＋fc）k1/c）高次項后的近似表達.

3 算法仿真與分析

雙基SAR的二階駐相點的解析解為

為了驗證微增量算法的正確性，本節(jié)分別針對機載和星載兩種雙基SAR構型進行了仿真實驗.在每種構型下，都對四種算法所得到的駐相點和二維頻譜及其聚焦性能進行了仿真和對比分析.這四種算法為：基于式（26）二次精確傳遞函數(shù) （ETF2）算法、基于式（18）三次精確傳遞函數(shù) （ETF3）算法和基于三階泰勒展開的MSR算法和微增量算法.在仿真中，對參考點（方位零時刻波束中心照射點）進行了聚焦成像.在仿真中分別對四種算法得到的駐相點和頻譜相位進行了誤差的分析和比較，并且對成像結果的聚焦參數(shù)進行了比較.仿真參數(shù)如表1所示.

從前面分析可知，式（18）是三階駐相點的解析解，因此ETF3算法是仿真的四種方法中最為精確的.從圖1可以看出，由于ETF2算法僅僅把斜距歷程二階泰勒展開，所以其駐相點誤差要比其他三種算法大二到三個量級.在另外三種算法中，微增量算法和ETF3算法的誤差基本相同，而MSR算法所得的駐相點的誤差較前面二者要大一些，特別是在星載雙基SAR構型中，其最大誤差要比前二者高一個量級.

表1 仿真參數(shù)

圖1 兩組實驗所求駐相點誤差

因為ETF2算法所得到的駐相點誤差較大，所以其頻譜相位誤差也隨之增加.從圖2可以看出，ETF2算法的二維頻譜相位誤差比其他三種算法大.微增量算法與ETF3算法的相位誤差基本相同，而MSR算法所求得的二維頻譜相位誤差大于前面二者.另外從圖2還可以看出：ETF2算法的相位誤差太大，將會嚴重影響其聚焦效果，而另外三種算法的的相位誤差均在可容忍范圍內(nèi)，對聚焦質(zhì)量影響不大.

圖2 兩組實驗所求相位誤差

圖3 四種算法成像結果方位向剖面圖

圖3是四種頻譜對參考點的成像結果，其中圖（b）、（d）分別是圖（a）、（c）中虛線方框內(nèi)部分的放大圖.可以看出：由于ETF2算法忽略了斜距歷程三次以及高次項，對點目標響應的形狀造成了影響（左右不對稱），但是對分辨率影響不大.與ETF2算法比，另外三種算法都對點目標進行了較好的聚焦，其剖面圖幾乎完全重合在一起.

各種算法的聚焦參數(shù)如表2所示.因為ETF2算法的點目標響應的左右不對稱，所以在表2中分別以PSLR＿L、PSLR＿R表示點目標響應左側的峰值旁瓣比和右側的峰值旁瓣比.從表2可以看出：在四種算法中，ETF2算法聚焦效果稍差，特別是左右兩側的PSLR失衡嚴重.另外三種算法的聚焦性能非常接近，其聚焦參數(shù)的差異僅為10-4量級.與MSR算法相比，微增量算法和ETF3算法的聚焦效果更為接近，幾乎完全一致.

在仿真實驗中，利用微增量算法由二階駐相點得到了三階駐相點的近似解，免去了求解方程的過程，進而得到了更加精確的二維頻譜.在斜距歷程均被展開為三階泰勒級數(shù)的情況下，微增量二維頻譜算法的聚焦性能與ETF算法和MSR算法很接近.仿真實驗表明：通過微增量算法，可以避免解駐相點方程而得到更加精確的駐相點表達式和雙基二維頻譜，提高了二維譜的精確性.

表2 四種算法聚焦參數(shù)對比

4 結 論

文章提出一種求解雙基二維頻譜的微增量算法.該算法通過求解低階駐相點和高階駐相點之間的微增量得到高階駐相點的近似解，進而得到雙基二維頻譜.算法原理簡單，運算量小，編程實現(xiàn)容易.通過數(shù)學推導發(fā)現(xiàn)，MSR算法是微增量算法的一種近似表達形式.仿真實驗表明微增量算法所求得二維頻譜的聚焦性能與ETF3算法、MSR算法非常接近，驗證了其有效性.該算法具有可擴展性，利用微增量算法可以獲得任意階數(shù)的駐相點和其二維頻譜.但是隨著級數(shù)的升高，其駐相點和二維譜的表達式會變得非常復雜，因此很難得到.如何對駐相點表達式進行處理，使之簡潔明了，有利于二維頻譜的處理，將是我們下一步的研究內(nèi)容.

［1］WANG R，DENG Y，LOFFELD O，et al.Processing the azimuth-variant bistatic sar data by using monostatic imaging algorithms based on two-dimensional principle of stationary phase［J］.IEEE Trans Geosci Remote Sens，2011，49（10）：3504-3520.

［2］ZHEN Jie，ZHANG Zhenhua，WU Shunjun，et al.GNSS illuminator based high range resolution algorithm in space-surface bistatic SAR［C］//IGARSS.Honolulu，25-30July，2010：4608-4611.

［3］WANG Wenqin.GPS-based time ＆phase synchronization processing for distributed SAR［J］.IEEE Trans Aerosp Electron Syst，2009，45（3）：1040-1051.

［4］徐 偉，鄧云凱.基于二維Chirp-Z變換的星載TOPSAR成像算法［J］.電子與信息學報，2011，33（11）：2679-2685.XU Wei，DENG Yunkai.Imaging algorithm of spaceborne TOPSAR data based on two-dimension chirp-Z transform［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2011，33（11）：2679-2685.（in Chinese）

［5］LI Wenchao，HUANG Yulin，YANG Jianyu，et al.An improved radon-transform-based scheme of doppler centroid estimation for bistatic forward-looking SAR［J］.IEEE Geosci Remote Sens Lett，2011，8（2）：379-383.

［6］朱振波，湯子躍，張亞標，等.基于Radon變換的雙站SAR多普勒參數(shù)估計［J］.電子與信息學報，2008，30（8）：1331-1334.ZHU Zhenbo，TANG Ziyue，ZHANG Yabiao，et al.The estimation of Doppler parameter of bistatic SAR based on radon translation［J］.Journal of Electronics＆Information Technology，2008，30（8）：1331-1334.（in Chinese）

［7］黃鈺林，楊建宇，武俊杰，等.機載雙站SAR分辨率特性分析［J］.電波科學學報，2008，23（2）：174-178.HUANG Yulin，YANG Jianyu，WU Junjie，et al.Resolution characteristic analysis for bistatic airborne SAR［J］.Chinese Journal of Radio Science，2008，23（2）：174-178.（in Chinese）

［8］武擁軍，黃 冶，吳先良.機載雙站聚束合成孔徑雷達的三維空間分辨特性［J］.電波科學學報，2011，26（6）：1200-1206.WU Yongjun，HUANG Ye，WU Xianliang.Three-dimensional spatial resolution of airborne bistatic spotlight SAR［J］.Chinese Journal of Radio Science，2011，26（6）：1200-1206.（in Chinese）

［9］LIU Zhe，YANG Jianyu，ZHANG Xiaoling，et al.Study on spaceborne/airborne hybrid bistatic SAR image formation in frequency domain［J］.IEEE Geosci Remote Sens Lett，2008，5（4）：578-582.

［10］LOFFELD O，NIES H，PETERS V，et al.Models and useful relations for bistatic SAR processing［J］.IEEE Geosci Remote Sens Lett，2004，42（10）：2031-2038.

［11］YANG Kefeng，HE Feng，LIANG Diannong，et al.A two-dimensional spectrum for general bistatic SAR processing［J］.IEEE Geosci Remote Sens Lett，2010，7（7）：108-112.

［12］NEO Y，WONG F，CUMMING I.A two-dimensional spectrum for bistatic SAR processing using series reversion［J］.IEEE Geosci Remote Sens Lett，2007，4（1）：93-96.

［13］GENG Xupu，YAN Honghui，WANG Yanfei.A two-dimensional spectrum model for general bistatic SAR［J］.IEEE Trans Geosci Remote Sens，2008，46（8）：2216-2223.

［14］WANG Fang，LI Xiang.A New method of deriving spectrum for bistatic SAR processing ［J］.IEEE Geosci Remote Sens Lett，2010，7（3）：483-486.

［15］ZHONG Hua，LIU Xingzhao.A fourth-order imaging algorithm for spaceborne bistatic SAR［C］Proc IGARSS.Denver，2006：1196-1199.

［16］ELDHUSET K.Spaceborne bistatic SAR processing using the EETF4algorithm［J］.IEEE Geosci Remote Sens Lett，2009，6（2）：194-198.

［17］WANG R，LOFFELD O，NIES H，et al.Chirp scaling algorithm for the bistatic SAR data in the constant-offset configuration［J］.IEEE Trans Geosci Remote Sens，2009，47（3）：952-963.

［18］QIU Xiaolan，HU Donghui，DING Chibiao.An improved nlcs algorithm with capability analysis for onestationary BiSAR［J］.IEEE Trans Geosci Remote Sens，2008，46（10）：3719-3186.

［19］陳曉龍，丁赤飚，梁興東，等.改進的接收機固定雙站NLCS成像算法［J］.電子與信息學報，2008，30（5）：1041-1046.CHEN Xiaolong，DING Chibiao，LIANG Xing dong，et al.An improved NLCS imaging algori-thm of bistatic SAR with a stationary receiver［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2008，30（5）：1041-1046.（in Chinese）

［20］BAI Xia，SUN Jinping，MAO Shiyi.A novel approach for bistatic SAR imaging using a stationary receiver［C］//ICSP2008Proceedings.Beijing，October 23-29，2008：2250-2253.

［21］蔡復青，何 友，宋 杰.大斜視雙基地SAR的二維可分離成像算法［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2010，25（5）：554-559.CAI Fuqing，HE You，SONG Jie.Two-dimentional separated approach for high squint bistatic SAR imaging［J］.Journal of Date Acquisition ＆ Processing，2010，25（5）：554-559.（in Chinese）