淺談二維晶胞的選取

陳世明

（揚(yáng)中市新壩中學(xué)江蘇揚(yáng)中212200）

淺談二維晶胞的選取

陳世明

（揚(yáng)中市新壩中學(xué)江蘇揚(yáng)中212200）

晶體是高中化學(xué)競(jìng)賽的必考內(nèi)容，其中晶胞的選擇是一個(gè)難點(diǎn)。本文結(jié)合具體的實(shí)例討論晶體二維結(jié)構(gòu)中二維晶胞的選取方法。

一、結(jié)構(gòu)基元的選取和點(diǎn)陣點(diǎn)

晶體是具有規(guī)則幾何外形的固體。晶體宏觀結(jié)構(gòu)上的規(guī)則幾何外形是晶體內(nèi)部粒子（原子、分子或離子）在空間按規(guī)律周期性排列的反映。研究晶體微觀結(jié)構(gòu)可以將其分解為兩個(gè)要素：一個(gè)是周期性重復(fù)的內(nèi)容，即結(jié)構(gòu)基元；另一個(gè)就是重復(fù)周期的大小與方向，通常用點(diǎn)陣來(lái)表示?？珊?jiǎn)單地將晶體結(jié)構(gòu)示意表示為：晶體結(jié)構(gòu)=點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元。

將晶體結(jié)構(gòu)中每一個(gè)結(jié)構(gòu)基元抽象為一個(gè)點(diǎn)，稱為點(diǎn)陣點(diǎn)。點(diǎn)陣則是由無(wú)限個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)構(gòu)成。點(diǎn)陣的一個(gè)基本特點(diǎn)是：連接其中任意兩點(diǎn)可得一向量，將各個(gè)點(diǎn)按此向量平移，能使它復(fù)原，即平移對(duì)稱性。

例1：下圖1是石墨晶體的一層（每個(gè)黑色實(shí)心球表示一個(gè)碳原子），請(qǐng)找出其中的平面點(diǎn)陣。

圖1 石墨的層狀結(jié)構(gòu)

解析：從上圖我們很容易看出，石墨平面結(jié)構(gòu)是由很多個(gè)等同的平面正六邊形構(gòu)成的。

1個(gè)正六邊形中平均占有2個(gè)碳原子（每個(gè)六邊形有6個(gè)頂點(diǎn)碳原子，每個(gè)頂點(diǎn)只占1/ 3，所以每個(gè)正六邊形占有6× 1/3=2個(gè)碳原子）。于是用一個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)表示這2個(gè)碳原子。這個(gè)點(diǎn)的位置是可以任意選取的，所以，可以有多種表示點(diǎn)陣的方法。如下圖（空心球表示點(diǎn)陣點(diǎn)）：

圖2 將點(diǎn)陣點(diǎn)放在每個(gè)六邊形的面心

圖3 將點(diǎn)陣點(diǎn)放在每個(gè)六邊形的最上方的頂點(diǎn)

在石墨的平面結(jié)構(gòu)中為什么不能將每個(gè)C原子看作結(jié)構(gòu)基元，再抽象成點(diǎn)陣點(diǎn)？如果這樣做，則不滿足點(diǎn)陣的平移對(duì)稱性：如下圖4，將點(diǎn)陣點(diǎn)放在每個(gè)碳原子的位置，連接最近的兩個(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)得到一個(gè)向量，將此點(diǎn)陣中所有點(diǎn)沿此向量平移，在“？”處沒(méi)有點(diǎn)陣點(diǎn)，不能復(fù)原。

圖4 石墨層狀結(jié)構(gòu)點(diǎn)陣點(diǎn)的錯(cuò)誤選取

二、二維晶胞的選取

在晶體微觀平面結(jié)構(gòu)中，按照晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的周期性，劃分出一個(gè)個(gè)大小和形狀完全一樣的平行四邊形，以代表晶體結(jié)構(gòu)的基本重復(fù)單位，叫平面晶胞（或二維晶胞）。

例2：（2003全國(guó)初賽，第六題第2問(wèn)）2003年3月日本筑波材料科學(xué)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室一個(gè)研究小組發(fā)現(xiàn)首例帶結(jié)晶水的晶體在5K下呈現(xiàn)超導(dǎo)性。據(jù)報(bào)道，該晶體的化學(xué)式為Na0.35CoO2·1.3H2O，具有……-CoO2-H2O-Na-H2O-CoO2-H2O-Na-H2O-……層狀結(jié)構(gòu)；在以“CoO2”為最簡(jiǎn)式表示的二維結(jié)構(gòu)中，鈷原子和氧原子呈周期性排列，鈷原子被4個(gè)氧原子包圍，Co-O鍵等長(zhǎng)。

圖5

解析：首先分析一下石墨的二維晶胞是如何選取的：如上述圖2，取每個(gè)正六邊形的面心為點(diǎn)陣點(diǎn)，連接兩個(gè)最短的不共線的向量得到一個(gè)六方格子。六方格子放入二維晶體中就得到二維晶胞。當(dāng)然通過(guò)平移此六方格子可以得到二維晶胞的其他選擇方式（如下圖6，7）。

圖6

圖7

再來(lái)分析CoO2層的結(jié)構(gòu)中二維晶胞的選取。

第1步：畫(huà)出CoO2層的結(jié)構(gòu)。根據(jù)鈷原子被4個(gè)氧原子包圍，Co-O鍵等長(zhǎng)?？梢缘贸鯟o原子和O原子的位置的基本關(guān)系（如圖8，假設(shè)為正方形）。將這些結(jié)構(gòu)無(wú)間隙地排列，得圖9，此結(jié)構(gòu)中Co和O原子個(gè)數(shù)比為1∶1，不滿足題意。應(yīng)該有規(guī)律地去掉一半Co原子，得圖10，即為CoO2層的結(jié)構(gòu)。

圖8

圖9

圖10

第2步：找出結(jié)構(gòu)基元并用點(diǎn)陣點(diǎn)表示?？梢园l(fā)現(xiàn)此結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)基元為圖13虛橢圓框所示的部分，將此抽象為點(diǎn)陣點(diǎn)（圖11，12中黑心實(shí)球表示點(diǎn)陣點(diǎn)），并放在左方的一個(gè)氧原子上，得到點(diǎn)陣。

圖11

圖12

第3步：平面格子的選取。如圖12，此點(diǎn)陣單位為正方形格子。

第4步：將上述所取的正方形格子放入CoO2層的結(jié)構(gòu)中，可以得到CoO2的二維晶胞。正方形格子放的位置不同可得到不同的晶胞。如下圖13-17等。

圖13

圖14

圖15

圖16

圖17

剛才假設(shè)圖8為正方形，如果圖8為長(zhǎng)方形呢（如下圖18）？根據(jù)上述步驟，最后得到矩形帶心的晶胞。如下圖19-22等。

圖18

圖19

圖20

圖21

圖22

綜上所述，晶體二維結(jié)構(gòu)中二維晶胞的選取方法可以通過(guò)選平面格子的方法經(jīng)過(guò)3步完成：一、選取結(jié)構(gòu)基元，確定點(diǎn)陣，點(diǎn)陣點(diǎn)的位置可由多種選法；二、準(zhǔn)確找出平面格子，正當(dāng)?shù)钠矫娓褡又挥幸环N；三、將平面格子放入晶體二維結(jié)構(gòu)中，平面格子及其所包含的粒子即為二維晶胞。平面格子所放的位置不是唯一的，所以晶胞可有多種選取方式。

［1］周公度，段連運(yùn).結(jié)構(gòu)化學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2008

［2］北京師范大學(xué)等校.無(wú)機(jī)化學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2002

［3］馬宏佳.高中化學(xué)奧賽試題評(píng)析［M］.南京：南京師范大學(xué)出版社，2005

1008-0546（2013）08-0089-02

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10.3969/j.issn.1008-0546.2013.08.034