了解積分——求和

丁 韞， 楊曉春

（大連海事大學(xué)數(shù)學(xué)系，遼寧大連 116026）

1 黎曼和的困惑

求和是代數(shù)運(yùn)算中最簡單、也是最先遇到的一種運(yùn)算.對有限個數(shù)的求和問題，一直被認(rèn)為是解決的最徹底，也最叫人放心的，最簡單的運(yùn)算［1－4］.

然而，在黎曼積分的過程中我們也同樣遇到了求和這樣一個步驟，給我們帶來的麻煩遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了我們對有限個數(shù)求和問題難度的想象.

我們先看一下黎曼和的內(nèi)容［5－10］.在引入黎曼積分時(shí)，總是給出一個數(shù)學(xué)上求曲邊梯形面積的例子.在完成了分割、近似代替這兩個步驟后，開始了對整個曲邊梯形的近似估計(jì)，也就是做曲邊梯形總面積A的近似值——將所有的小矩形的面積相加，作為曲邊梯形A的近似代替——黎曼和

上面的這個黎曼和看起來與一般的有限個數(shù)求和沒有什么不同，因?yàn)椋蠛椭械拿恳豁?xiàng)都是數(shù).但是如果我們加上做這個和式的目的，情況就完全不同了.

由于一個曲邊梯形的面積是一個客觀存在的事實(shí).當(dāng)然這就要求，無論人們怎么來做這個面積的近似，如果這個近似值被大家認(rèn)為是可以接受的，其最后得到的結(jié)果，必須只能是無限接近或直接等于一個值——面積的真值.換句話說，面積的值，應(yīng)該不依賴于人們在求面積的過程中的個人行為或主觀方式.

于是，上面的黎曼和中就出現(xiàn)了兩個附加的要求：與閉區(qū)間［a，b］分割的方式無關(guān)，也與近似代替的方式無關(guān)，或者說，與矩形的高度，我們選擇的f（ξi）無關(guān)（一般的教材中用的是與小區(qū)間［xi－1，xi］中ξi的選擇無關(guān)）.這兩個無關(guān)，在教材中被正面的表述為兩個任意性.

從上面的內(nèi)容里可以看出，黎曼和已經(jīng)不是我們普通意義下的有限個數(shù)的簡單求和了.它表現(xiàn)在幾個方面的不同.首先求和中有一個游標(biāo)n，加上由于要求求和與分割的方式無關(guān)，而分割的方式可以有無限多種，于是，求和的項(xiàng)數(shù)是不固定的不說，而且可能的求和結(jié)果，如果和分法相關(guān)的話，就有可能是無限個.其次，由于要求求和的結(jié)果也不依賴與f（ξi），而f（ξi）的取法也可以是無限多個，于是，黎曼和中的表面上的有限個數(shù)的求和，就成為了有限個“每一項(xiàng)都可能有無限多種變化的，而且項(xiàng)數(shù)本身也可有無限多種取法”的代數(shù)和.

簡言之，就是變數(shù)外加變項(xiàng)數(shù)，求有限和，并希望和的值惟一確定.這種期望聽起來都多少有些超凡脫俗.

如果抽象一些說的話，其實(shí)黎曼和是關(guān)于分點(diǎn)的個數(shù)，分割的方法，及f（ξi）取法的三元函數(shù)，即

不僅如此，它關(guān)于后兩者還是一個隱函數(shù).對這樣的問題，求出其代數(shù)和，并希望和為一個不依賴于分法也不依賴于函數(shù)值的取法的趨向于真值的確定的數(shù)，其困難是不言而喻的.

當(dāng)然，這個面積引入，實(shí)際上也告知了兩個前提，那就是曲邊梯形的尺度是有限的，或者簡單的說，其各個邊長，特別是低和高都是有限的.這也就成了我們討論黎曼積分的前提.

2 黎曼求和的處理

如上面所說，黎曼和的本質(zhì)是“變數(shù)外加變項(xiàng)數(shù)，求有限和”.如果這些數(shù)之間沒有必然的約束和邏輯聯(lián)系，希望最后的結(jié)果能如期望的那樣唯一確定，是很難實(shí)現(xiàn)的.

然而，黎曼和又是有別于一般的“變數(shù)外加變項(xiàng)數(shù)，求有限和”這個問題的.因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是求一個曲邊梯形的面積，而為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們必須對分割的過程逐步細(xì)化，均勻化.這樣一來，當(dāng)分割滿足了這樣的要求時(shí)，各個獨(dú)立的分割之間的差別就不是十分的明顯.換句話說，分割的差別，在起初分割的很粗的時(shí)候，或者說每一段小區(qū)間的長度是明顯可見的時(shí)候，兩種分割的差別會很大；當(dāng)兩種分割，都逐步細(xì)化，以至于每一個局部都小到“微乎其微”，雖然從分化的角度看，其差別依然很大，但是其對積分的貢獻(xiàn)，就慢慢的趨同了.因?yàn)樽罱K決定結(jié)果的，不僅僅是分化，而是分化后，并以這樣的分割小區(qū)間作為支撐的小矩形作為局部近似代替后的整體和.每一個對應(yīng)的小的局部，在求和的過程中表現(xiàn)的差異可以不同，但是整體的效果，通過局部差異之間的互補(bǔ)，可能得到很好的修正.這樣說，在此基礎(chǔ)上求出最后的精確值，是有成立的可能性和必然性的.

有了求和的可能性，如何實(shí)現(xiàn)？僅僅從認(rèn)識的角度來看，出路也在于，盡可能把這里的內(nèi)涵很豐富的求和問題，化為普通的有限個數(shù)字的代數(shù)和.

其實(shí)第一可積性定理的證明過程，就是這樣一個轉(zhuǎn)化的過程.首先，達(dá)布為我們做了兩個特殊的和：達(dá)布大和σ大、達(dá)布小和σ小.這兩個和有一個共同的特點(diǎn)，那就是它們已經(jīng)與f（ξi）的取法無關(guān)了.其次，由于黎曼積分的要求還是在經(jīng)典的意義下定義的，因此不包括廣義函數(shù)，從而按照定義可以推得，可積的必要性為函數(shù)有界.這就保證了達(dá)布大和σ大、達(dá)布小和σ小是一個有界函數(shù)（這或許就是為什么起初一定要做一個形式上的有限和的原因吧，只有有限和才可以保證求和的結(jié)果是有界的）.再次，通過對達(dá)布大和σ大、達(dá)布小和σ小取下極限、上極限（或者下確界、上確界）來消除分割的影響，達(dá)到與分割無關(guān)的目的.具體地說，由于基于每種分法而構(gòu)成的達(dá)布大和σ大、達(dá)布小和σ小所形成的數(shù)集也好，數(shù)列也好，都是有界的，因此其上極限（或者最大聚點(diǎn)）、下極限（最小聚點(diǎn)）都是存在的.這確保了上、下極限的存在，而由于這兩個極限存在，則是唯一的，于是，無形中，分割的影響就被消除了.

有了上面的處理，加上黎曼和式介于達(dá)布大和σ大與達(dá)布小和σ小之間這一事實(shí)，以及極限的保號性，導(dǎo)致了黎曼和被夾在了兩個數(shù)——達(dá)布大和σ大的下極限與達(dá)布小和σ小的上極限之間，而這兩個數(shù)字本身都是唯一確定的.當(dāng)然，黎曼和在任意的分割下，及函數(shù)值f（ξi）的任意取法下的結(jié)果，就被限制在一個區(qū)間所限定的范圍之內(nèi)，當(dāng)這個范圍縮小為一點(diǎn)時(shí)，黎曼和的值也就被確定下來了.

總的說來，求黎曼和的過程，就是一個如何化不確定的有限項(xiàng)求和問題，為一個相對確定的有限和，以及在此基礎(chǔ)上的實(shí)數(shù)集合或序列具有的特有屬性的問題.這種有機(jī)結(jié)的合處理的很是相得益彰，經(jīng)典數(shù)學(xué)中也是不多見的.

3 一般積分中求和的條件和要求

黎曼和引入過程是一個直觀可視的過程，大家接受起來還是很自然的.究其原因，黎曼積分的概念是建立在數(shù)域上的函數(shù)的前提之下的，因此，里面的四則運(yùn)算都是可行的.

但是對于一般的集合上，如果也想做積分，也想通過微元法這樣的步驟來實(shí)現(xiàn)，需要考慮的問題就會更加的復(fù)雜.

首先我們要面臨的，就是運(yùn)算問題，我們必須在集合上建立起可行的加法運(yùn)算及乘法運(yùn)算（最起碼也得有數(shù)乘運(yùn)算），使之滿足要求.

處理這樣的問題直接可以想到的大約有兩種，其一是，在集合上面建立一種規(guī)則，使得元素在這個規(guī)則下都可以數(shù)量化，從而使得集合這樣抽象的“體”，本身也可以進(jìn)行量度.其二，在集合上直接建立一種新的可以稱之為加法的運(yùn)算，使其完全保持有數(shù)字之間的加法做代數(shù)運(yùn)算時(shí)，所滿足的各種運(yùn)算規(guī)則.

顯然，后一種想法過于理想化，在一般的情況下很難實(shí)現(xiàn)；而前一種思維方式，在數(shù)學(xué)中使用的相對較多.

如果從黎曼積分求和的幾何意義上看，無非是用局部規(guī)則的可求面積的矩形、梯形或者多邊形，來近似地代替整個曲邊梯形而已，或者說用規(guī)則的幾何圖形來覆蓋曲邊的梯形.從這個角度上看，這種覆蓋應(yīng)該具有兩個基本特點(diǎn)：就是在任何局部都不能重復(fù)覆蓋；而整體覆蓋，在圖形的內(nèi)部又不能有任何裸露的地方，且在頂部僅僅有極小的誤差.

這樣說來，做一個不規(guī)則的曲邊圖形的覆蓋，就不一定要按照確定的前后順序來覆蓋，可以，一片片獨(dú)立地各自覆蓋，只要保證這種覆蓋具有了上面提到的兩點(diǎn)要求即可.于是，在實(shí)變函數(shù)中，就積分的問題中的求和，就采用了這樣的思想，換了一種思路來覆蓋：不去從定義域著手，而是從值域著手，然后根據(jù)值域的需求，去獨(dú)立地找到支撐這些函數(shù)值的各自支撐區(qū)間，同樣實(shí)現(xiàn)了覆蓋的目的.當(dāng)然，實(shí)變函數(shù)并不是徹徹底底地在集合上建立積分的.因?yàn)?，在建立積分的時(shí)候，其落腳點(diǎn)依然是在區(qū)間上，而不是集合上，不過處理的方法，是從處理一般集合的觀點(diǎn)出發(fā)罷了.當(dāng)然，量度一個區(qū)間的方法，發(fā)生了極大的而變化，不是用我們熟悉的區(qū)間，取代它的是另外一種稱之為測度的工具.

如我們所知，函數(shù)論中討論的對象主要是函數(shù)，特別是研究積分這樣的運(yùn)算，都是對函數(shù)而言，因此，被積的對象，基本上被限定數(shù)這個范圍里面了.能夠變化的，就是支撐函數(shù)的基——我們通常稱作的定義域或更一般的定義集.關(guān)于定義集的要求，我們已經(jīng)在此序列文中的前兩篇討論‘分割’、‘近似代替’中，做了一些說明，這里就不重復(fù)［11－12］.

4 有限和與無限和

翻開數(shù)學(xué)分析或者高等數(shù)學(xué)的教材，關(guān)于黎曼和的描述，都是謂之曰：有限和.從求和的表達(dá)式上看，其特征的確是如此.然而，細(xì)細(xì)想來，由于如前面所說的分割需要有任意性、均勻性、以及局部要小到“微乎其微”，那么求和的項(xiàng)數(shù)就是一個不確定的數(shù)了.而且這個數(shù)要多大，就得有多大，其實(shí)它已經(jīng)具備了無窮大的特征.

對無限多個數(shù)的求和問題，在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析中都有專門的討論，也就是數(shù)項(xiàng)級數(shù)部分所講述的內(nèi)容.這里為什么不直接把求和視為一個無窮求和問題呢？無論出于什么原因，起碼，這樣處理的好處是避免了一個問題，就是無窮多的數(shù)求和的收斂性問題.因?yàn)闊o窮多個元素求和，其和是不能確定的，等不等于一個有限的數(shù)，本身就不能保證.即使是每一項(xiàng)都是無窮小量，無窮多個元素合起來，依然可以是一個無窮大量.所以，不能直接按照無窮求和來處理，而是把一個事實(shí)上無窮求和的問題，分解成了變項(xiàng)數(shù)的有限求和，外加對項(xiàng)數(shù)求極限的問題.

仔細(xì)想想，這中間的處理是否有遺漏，還是一個值得思考的問題，因?yàn)閷τ谝粋€閉區(qū)間的任意分法，可以有不可數(shù)無限種，而后來求極限的運(yùn)載參數(shù)n是一個可數(shù)的無窮大量，這中間邏輯上似乎有些不匹配.如果理解成分法是不可數(shù)無限多個，而每一種分法都只有至多可數(shù)個分點(diǎn)的話（此時(shí)，可以是有限和＋n趨近于無窮大的情形），當(dāng)然現(xiàn)行的做法，也不無不可.

這種思想后來被沿用到了級數(shù)的處理，其處理過程也是，把一個無窮求和的問題分拆成了兩步：第一步，求一個有限部分和（前n項(xiàng)）；第二部，對項(xiàng)數(shù)求極限，也即，令項(xiàng)數(shù)趨于無窮.在這樣處理的方式下，建立起了整個的級數(shù)理論.

這樣處理，雖然可以簡單地解決無窮求和問題或者是‘無窮’問題［13］，但是也有留下許多的問題值得我們思考，對項(xiàng)目數(shù)n取趨于無窮大的極限，是否涵蓋了原問題中的所有可能出現(xiàn)的情形和狀況？是否有遺漏？

回顧前面有關(guān)無窮大的定義，我們也知道，實(shí)際上無窮大量是一個動態(tài)的過程，而非一個固定的值.然而，無窮大到底是什么？應(yīng)該如何看待？事實(shí)上，在如何對待無窮大量這個特殊的數(shù)學(xué)量的研討上，本身就是一個近兩百年來一直無法得到統(tǒng)一看法的事情.因此，用極限這個運(yùn)載工具，來建立有限和無限的聯(lián)系，是否邏輯上很嚴(yán)謹(jǐn)，還值得深入的研究.

5 感 受

求和問題本來是一個簡單的問題，但是撰寫這部分內(nèi)容的時(shí)候，居然反復(fù)修改，花了很多的時(shí)間，也落下了這許多的文字，自己讀后，依然是覺得有許多話想說，但有如什么東西哽嗓噎喉般，不說很難受，但是又找不到合適的言語說清楚，故而，有說出來更難受的感覺.

有限和無限這一對相對立又統(tǒng)一的孿生的矛盾體，總是給我們帶來諸多遐想，給了我們無限的發(fā)揮自己能力的空間，但也同時(shí)受到人們只能從事于有限行為這樣一種行為方式的限制，無法踏足于無限空間的每一個角落，因此，是否有所遺漏，只能是從邏輯上去證實(shí).然而，邏輯本身是有死角和盲區(qū)的，中間本身就存在著各種悖論，無法釋然這大千世界的各種現(xiàn)象也就不足為奇了.

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