《高等數(shù)學(xué)》中的“愛爾蘭根綱領(lǐng)”及其應(yīng)用

張冬燕， 劉纘武， 孫銘娟

（解放軍信息工程大學(xué)理學(xué)院，河南鄭州 450000）

1 引 言

匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得說：“數(shù)學(xué)中最主要的成分始終是思想方法，而這確實(shí)是人類共同的思想源泉，即使作家或藝術(shù)家也可從中汲取營養(yǎng).”［1］誠如其言，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓和靈魂，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從某種意義上講就是要獲得用以指導(dǎo)工作和生活的數(shù)學(xué)的思想和方法.因此，深入探究和挖掘數(shù)學(xué)各門學(xué)科所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，并在教學(xué)中注重這些思想方法的滲透，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義.

高等數(shù)學(xué)是理工科院校普遍開始的一門公共基礎(chǔ)課，它內(nèi)容豐富，影響面廣，蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)此不少學(xué)者都曾進(jìn)行過詳細(xì)總結(jié)［2－4］.但是，人們從高等數(shù)學(xué)里梳理出的種種思想方法中，有一種數(shù)學(xué)思想?yún)s鮮為人注意，它就是著名的“愛爾蘭根綱領(lǐng)”所闡述的幾何不變量思想.

“愛爾蘭根綱領(lǐng)”系指：《關(guān)于現(xiàn)代幾何學(xué)研究的比較考察—1872年在愛爾蘭根大學(xué)評(píng)議會(huì)及哲學(xué)院開學(xué)典禮上提出的綱要》.這是德國大數(shù)學(xué)家克萊因（Felix Klein）為其教授就職發(fā)表的一篇著名演說，因文中首次提出了統(tǒng)一幾何學(xué)的綱領(lǐng)性結(jié)論，而被世人稱為“愛爾蘭根綱領(lǐng)”.在綱領(lǐng)中，克萊因認(rèn)為每一種幾何學(xué)都對(duì)應(yīng)一個(gè)變換群，幾何學(xué)所要做的就是研究某種變換群下的幾何不變量.按照這個(gè)觀點(diǎn)，我們研究幾何圖形，其實(shí)就是研究圖形在某種變換群下的那些不變的性質(zhì)和量以及保持這些性質(zhì)不變的變換.這種以變換群為工具討論幾何學(xué)的思想，化靜為動(dòng)，將當(dāng)時(shí)所有的幾何學(xué)都統(tǒng)一了起來，并由此引領(lǐng)了其后50年間幾何學(xué)家的研究方向，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展尤其是幾何、群論的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，同時(shí)還對(duì)物理學(xué)尤其是狹義相對(duì)論產(chǎn)生了積極影響.

2 《高等數(shù)學(xué)》中的“愛爾蘭根綱領(lǐng)”思想

時(shí)至今日，“愛爾蘭根綱領(lǐng)”雖然已不能涵蓋所有的幾何學(xué)，但它所闡述的不變量思想仍是數(shù)學(xué)史上一筆寶貴的思想財(cái)富.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，如能結(jié)合相關(guān)內(nèi)容，適時(shí)介紹、滲透這種思想，對(duì)開闊學(xué)生視野，提升對(duì)幾何更高層次上的認(rèn)識(shí)，以及對(duì)學(xué)生后續(xù)物理等課程的學(xué)習(xí)都大有裨益.那么高等數(shù)學(xué)中哪些內(nèi)容體現(xiàn)了“愛爾蘭根綱領(lǐng)”的思想呢？

典型案例一是利用伸縮變換，由特殊二次曲面的方程和形狀推導(dǎo)一般二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程和形狀.在高等數(shù)學(xué)教材［5］中，討論一般二次曲面方程時(shí)介紹了將幾何圖形伸縮變形的方法：在xOy面上，把點(diǎn)M（x，y）變?yōu)辄c(diǎn)M′（x，λy），從而把點(diǎn)M的軌跡C變?yōu)辄c(diǎn)M′的軌跡C′，稱為把圖形C沿y軸方向伸縮λ倍變成圖形C′.這里通過伸縮變形將一種圖形變成另一個(gè)幾何圖形的過程就是伸縮變換.在伸縮變換下，幾何圖形的形狀、面積、體積等性質(zhì)都發(fā)生了變化，但值得注意的是，有些幾何特性在伸縮變換下卻具有不變性，如圖形上點(diǎn)與曲線的結(jié)合關(guān)系不變，點(diǎn)在曲線上的順序不變.這就使得圖形上共線點(diǎn)變?yōu)楣簿€點(diǎn)，共點(diǎn)線變?yōu)楣颤c(diǎn)線，而且點(diǎn)與點(diǎn)、線與線之間的相對(duì)位置保持不變.于是，借助伸縮變換下的這些不變性，我們就可以由特殊到一般，將空間中的橢球面、橢圓錐面、橢圓拋物面等分別看作是球面、圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面等特殊曲面的伸縮變形，進(jìn)而根據(jù)伸縮變形中曲面方程未知量的變化規(guī)律，推導(dǎo)出一般二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.

典型案例二是利用伸縮變形中物體質(zhì)量的不變性推導(dǎo)物體的質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式.質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物理學(xué)中的兩個(gè)重要概念，在重積分應(yīng)用一節(jié)中，教材［6］利用積分元素法來求它們的計(jì)算公式.將物體分割成有限個(gè)小物體，由于每個(gè)小物體的質(zhì)量分布近似均勻，且在壓縮變形中質(zhì)量保持不變，因此每個(gè)小物體的質(zhì)量可想象成濃縮到物體內(nèi)的一點(diǎn)上，于是求整個(gè)物體質(zhì)心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，就可把整個(gè)物體視為是由有限個(gè)質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系來處理.上述過程中，利用變形下物體質(zhì)量的不變性，把物體抽象成有限質(zhì)點(diǎn)系，巧妙實(shí)現(xiàn)了無限與有限的轉(zhuǎn)化，這是物理學(xué)上解決問題的一種常用方法.

事實(shí)上，在高等數(shù)學(xué)教材中，除以上兩處體現(xiàn)了“變換下的不變量”思想外，還有很多內(nèi)容蘊(yùn)含著這種思想，現(xiàn)在我們舉例說明它在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

3 “愛爾蘭根綱領(lǐng)”的不變量思想在積分學(xué)中的應(yīng)用

首先我們給出有關(guān)旋轉(zhuǎn)體體積和表面積的簡(jiǎn)單計(jì)算方法.

定理1 設(shè)旋轉(zhuǎn)體（如圖1所示）由xOy坐標(biāo)面上的圖形A繞坐標(biāo)軸x軸（或y軸）旋轉(zhuǎn)一周而成，如果圖形A的質(zhì)心為（ˉx，ˉy），面積為S，則該旋轉(zhuǎn)體的體積

證 體密度μ＝1的物體的體積在數(shù)值上等于它的質(zhì)量M.為此，視所求旋轉(zhuǎn)體為體密度μ＝1的物體，求旋轉(zhuǎn)體的體積就相當(dāng)于求該物體的質(zhì)量.由已知，旋轉(zhuǎn)體由平面圖形A繞坐標(biāo)軸x軸（或y軸）一周無限疊加而成.把面A看成一張薄片，它的質(zhì)量m＝μ·S＝S.想象把薄片A濃縮成一個(gè)點(diǎn)，濃縮到它的質(zhì)心點(diǎn)上，使質(zhì)量全部集中于它的質(zhì)心），這樣利用伸縮變換，旋轉(zhuǎn)體就變成了由質(zhì)量為S的質(zhì)點(diǎn)A繞x軸（或y軸）旋轉(zhuǎn)而成的一條圓心在x軸（或y軸）上，半徑為（或）的圓鏈.圓鏈的線密度ρ＝m＝S，所以圓鏈的質(zhì)量，從而旋轉(zhuǎn)體的體積

這個(gè)定理實(shí)際是著名的帕普斯—古爾丁定理，國內(nèi)很多學(xué)者曾給出過它的證明［7］.這里我們另辟蹊徑，采用不變量思想，抓住物體在伸縮變換下的質(zhì)量不變性，把物體變形為“鏈條”，再根據(jù)質(zhì)量與體積的轉(zhuǎn)化關(guān)系求出旋轉(zhuǎn)體的體積.

用類似的方法還可求旋轉(zhuǎn)體的表面積.旋轉(zhuǎn)體的表面可看作一張由曲線C（如圖1）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周織成的面密度為1的網(wǎng)面，若設(shè)）為曲線C的質(zhì)心，L為C的弧長(zhǎng)，想象把該網(wǎng)面濃縮為一條線密度為L(zhǎng)的細(xì)絲，則它的質(zhì)量也即旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝·L.由此得：

定理2 設(shè)旋轉(zhuǎn)體由xOy坐標(biāo)面上的以連續(xù)曲線C為曲邊的圖形A繞坐標(biāo)軸x軸（或y軸）旋轉(zhuǎn)一周而成，如果曲線C的質(zhì)心為（），弧長(zhǎng)為L(zhǎng)，則該旋轉(zhuǎn)體的表面積為S＝·L.

下面再舉兩個(gè)用“愛爾蘭根綱領(lǐng)”的不變量思想解題的例子.

例1［8］求星形線x＝acos3θ，y＝asin3θ所圍圖形D的面積.

分析 正如伸縮變形不會(huì)改變圖形各部分位置的相對(duì)次序，對(duì)圖形作非線性的扭曲、拉伸變形（不包括撕開、接合），圖形各部分位置的相對(duì)次序仍然保持不變，為此，我們?cè)O(shè)想星形線所圍圖形D由圓面經(jīng)拉伸變形而來，若能找到變形前后圖形面積的變化規(guī)律，就可利用圓的面積來求解未知面積.

圖1

解 作變換

則有w2＋v2＝1.變換（1）可看作從直角坐標(biāo)平面wOv到直角坐標(biāo)平面xOy的一種變換，在此變換下，半徑為的圓所圍區(qū)域D變形為星形線所圍區(qū)域D′.用平行坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)對(duì)區(qū)域D′進(jìn)行分割，任取其中一小塊區(qū)域△σ′，設(shè)其經(jīng)變換（1）變?yōu)閰^(qū)域D的一塊小區(qū)域△σ，可以證明在不計(jì)高階無窮小的情況下，兩塊小區(qū)域的面積呈如下關(guān)系（詳細(xì)證明參考［9］）：

解 作旋轉(zhuǎn)變換（2），則xOy坐標(biāo)系下的區(qū)域D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°即是uOv坐標(biāo)系下的區(qū)域D′，如圖2所示.

圖2

因?yàn)樾D(zhuǎn)變換下，積分區(qū)域的形狀、大小未發(fā)生變化，以區(qū)域?yàn)榈酌娴那斨w的體積不變，因此

不變量思想對(duì)20世紀(jì)的整個(gè)數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了廣泛而深刻的影響.從某種意義上說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)就是研究各種不變量的科學(xué)［10］.高等數(shù)學(xué)中很多內(nèi)容蘊(yùn)含“不變量思想”，在教學(xué)中適時(shí)引入它，無疑有益于開闊學(xué)生眼界，增進(jìn)對(duì)現(xiàn)代經(jīng)典數(shù)學(xué)思想的了解和應(yīng)用.

［1］路莎·彼得.無窮的玩藝：數(shù)學(xué)的探索與旅游［M］.朱梧槚譯.南京：南京大學(xué)出版社，1985.

［2］郭慧瑩，張國志.數(shù)學(xué)思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)證研究［J］.邊疆經(jīng)濟(jì)與文化，2006，32（8）：127－129.

［3］馬秀梅，林距華.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)途徑的探討［J］.廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，21（4）：73－75.

［4］宋衛(wèi)信，趙有益，張鋒.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的探索［J］.當(dāng)代教育論壇，2011，25（2）：91－93.

［5］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2007：316.

［6］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2007：111－114.

［7］節(jié)存來.求旋轉(zhuǎn)體體積的一種新方法［J］.河北農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，27（5）：117－119.

［8］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2007：280.

［9］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2007：91－93.

［10］李躍武，趙云.代數(shù)不變量理論歷史演變［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，39（1）：160－164.

［11］邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［12］鄧明立，張紅梅.群論統(tǒng)一幾何學(xué)的歷史根源［J］.自然辨證法通訊，2008，30（1）：75－80.