病態(tài)線性方程組新的Jacobi迭代解法

孔祥強(qiáng)

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東菏澤 274000）

Jacobi迭代法是解線性方程組的一種有效方法，它具有存儲量小、程序簡單的特點.但當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣為病態(tài)時，該方法不再適用.本文給出了一類全新的Jacobi迭代算法，從而改進(jìn)和推廣了一些已有的結(jié)果.

1 Jacobi迭代法

2 新的Jacobi迭代法及收斂性證明

設(shè)Ax＝b，其中A非奇異且病態(tài).令A(yù)＝D＋M，則Dx＋Mx＝b，在兩邊同時加上ωFx，ω＞0，變?yōu)?/p>

下面研究該迭代法的收斂性.

定義［2］設(shè)A∈Rn×n.若存在正對角矩陣D，使AD為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則稱A為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.

為了判定一個矩陣是否為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，可通過文［3］中的方法，如矩陣

3 數(shù)值算例

表1 初值x（0）=（000）T ，迭代9步結(jié)果

表2 初值x（0）=（0000）T ，迭代23步結(jié)果

若采用文［7］的方法，迭代的次數(shù)遠(yuǎn)超過23次.從表1和表2看出，ω取不同的值時，式（4）的收斂速度不同.相同迭代步數(shù)下的誤差相差明顯.

表3 初值x（0）=（0000）T ，迭代10611步結(jié)果

若采用文［6］和［7］的方法，迭代的次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過10611次，因此本文給出的新的Jacobi迭代法對于系數(shù)矩陣是Hilbert矩陣的時候也成立.

4 結(jié)束語

本文給出了一種求病態(tài)線性方程組解的高效迭代算法，該方法具有以下優(yōu)點：

（i）計算效率高，一般只需迭代數(shù)次，即可求得滿足精度的近似解.

（ii）迭代公式中ω的選取具有靈活性，當(dāng)選取的ω適當(dāng)時，會使計算簡便.

（iii）本文方法的收斂速度，不受矩陣階數(shù)的限制.

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