一致有界樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的層頻率的強(qiáng)大數(shù)定律

曹芳芳

（江蘇大學(xué)理學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013）

1 引 言

樹(shù)圖G=｛T，E｝ 是一個(gè)沒(méi)有回路的連通樹(shù)圖，對(duì)于任意兩個(gè)頂點(diǎn)α≠β∈T，設(shè)αβ是連接α與β的唯一路徑，路徑中含有的邊數(shù)記為d（α，β） ，稱(chēng)為α到β的距離.設(shè)T為局部有限無(wú)窮樹(shù)，選擇一個(gè)頂點(diǎn)作為根點(diǎn)，記為o.當(dāng)T中每個(gè)頂點(diǎn)的度是一致有界時(shí)，稱(chēng)T為一致有界樹(shù).若T上的每個(gè)頂點(diǎn)都有M＋1（M為正整數(shù)）個(gè)相鄰頂點(diǎn)，稱(chēng)之為Bethe樹(shù)，記作TB，M.另外還有一種樹(shù)叫Cayley樹(shù)，記作TC，M.在TC，M上，根頂點(diǎn)有M個(gè)相鄰頂點(diǎn)，而其他頂點(diǎn)有M＋1個(gè)相鄰頂點(diǎn).這是兩種常見(jiàn)的齊次樹(shù).顯然這兩種齊次樹(shù)是一致有界樹(shù)的特例.

設(shè)T是一無(wú)限樹(shù)，｛Nn，n≥1｝ 是一列正整數(shù).如果一個(gè)頂點(diǎn)到根頂點(diǎn)的距離為n，則稱(chēng)此頂點(diǎn)為n層上的頂點(diǎn).若第n層 （n≥ 1 ） 上每個(gè)頂點(diǎn)與第n＋1層上的Nn＋1個(gè)頂點(diǎn)相鄰，則稱(chēng)T為廣義Bethe樹(shù)和廣義Cayley樹(shù).規(guī)定N0＝1.若當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Nn＋1＝2，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Nn＋1＝3，則稱(chēng)這樣定義的樹(shù)為T(mén)C（2，3） 奇偶樹(shù).顯然TC（2，3） 奇偶樹(shù)也是一致有界樹(shù)的特例.在不引起混淆的情形下，本文中將一致有界樹(shù)簡(jiǎn)記為T(mén).

在樹(shù)圖T中，稱(chēng)n層上所有頂點(diǎn)的集合為T(mén)的第n代，記為L(zhǎng)n.用T（n）表示T的前n代頂點(diǎn)全體構(gòu)成的子集.記頂點(diǎn)t的第1代祖先為1t，第2代祖先記為2t，依此類(lèi)推，記其第n代祖先為nt.對(duì)于樹(shù)T上的任意兩個(gè)頂點(diǎn)s和t，如果s位于從根頂點(diǎn)o到t的唯一路徑上，記s≤t.用s∧t表示

為S2上的隨機(jī)矩陣，如果對(duì)于任何頂點(diǎn)t，

樹(shù)圖模型近年來(lái)已經(jīng)引起了物理學(xué)、概率論及信息論界的廣泛興趣.Benjamini和Peres引進(jìn)了樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的概念，并研究其常返性和射線(xiàn)常返性［1］.之后葉中行與Berger又研究了樹(shù)上PPG不變及遍歷隨機(jī)場(chǎng)的Shannon－McMillan定理［2］，不過(guò)其收斂是依概率收斂.近年來(lái)，楊衛(wèi)國(guó)研究了齊次樹(shù)上有限齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和漸進(jìn)均分性（AEP）［3］.楊衛(wèi)國(guó)，黃輝林和馬越研究了奇偶樹(shù)上馬氏鏈場(chǎng)的強(qiáng)大數(shù)定律［4］.黃輝林和楊衛(wèi)國(guó)研究了一致有界樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律［5］.潘恒和楊衛(wèi)國(guó)研究了Cayley樹(shù)圖上奇偶馬氏鏈場(chǎng)的強(qiáng)極限定理［6］.本文利用一致有界樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律，給出一致有界樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的層頻率的強(qiáng)大數(shù)定律.

2 主要結(jié)果

證 在定理2中取N＝0即可得到（12）式.

［1］Benjamini I，Peres Y.Markov chains indexed by trees［J］.Ann.Probab.，1994，22：219－243.

［2］Ye Z，Berger T.Ergodic，regulary and asymptotic equipartition property of random fields on trees［J］.Combine Inform System Sci，1996，21：157－184.

［3］Yang W G..Some limit properties for markov chains indexed by a homogeneous tree.Statist［J］.Probab.，Lett.，2003，65：241－250.

［4］楊衛(wèi)國(guó)，黃輝林，馬越.奇偶樹(shù)上馬氏鏈場(chǎng)的強(qiáng)大數(shù)定律［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，26：243－247.

［5］Huang H L，Yang W G..Strong law of large numbers for markov chains indexed by an infinite tree with uniformly bounded degree［J］.Science In China Series A：Mathematics.，2008，51：161－320.

［6］潘恒，楊衛(wèi)國(guó).Cayley樹(shù)圖上奇偶馬氏鏈場(chǎng)的強(qiáng)極限定理［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2011，27：22－28.