模糊多目標規(guī)劃在建設項目決策中的應用

鄭 歡，程 周

（1.四川大學工商管理學院不確定實驗室，成都 610064；2.重慶工商大學管理學院，重慶 400067）

0 引言

現有的項目決策模型只考慮到直接成本，包括人工、材料、機械設備和其他直接關系到項目活動的費用，忽視了相關間接成本，包括利息、管理、折舊、合同違約金及其他可變成本。在實際情況下，一個項目的總成本是在項目計劃水平之上直接成本和間接成本的總和，一般情況下，項目管理決策致力于項目完成時間和項目總成本的最小化。因此，項目決策者可能會通過增加直接費用來加快項目進程以達到縮短完成時間實現間接費節(jié)約的目標。

本文目的在于建立了一個兩階段模糊規(guī)劃方法來解決不確定環(huán)境下多個模糊目標的項目管理決策問題。文章多目標線性規(guī)劃模型在考慮了直接成本、間接成本、合同處罰成本、活動持續(xù)時間和預算限額的條件下同時最小化項目總成本、總工期和總壓縮成本。

1 模型及算法

模糊多目標決策問題的研究可以描述如下，假設一個項目包括n個相關的活動，且必須以一定的順序來完成整個任務。因為有些環(huán)境系數和參數在項目計劃階段是不完整的，所以項目決策的目標函數不能被精確衡量。本文試圖建立一個兩階段模糊目標規(guī)劃方法來優(yōu)化每項活動的持續(xù)時間和壓縮時間，并同時考慮到直接成本、間接的成本和可用的預算限額。模糊多目標線性規(guī)劃模型試圖同時最小化項目總成本、總完成時間和總壓縮成本。

1.1 假設條件

（1）目標函數在不確定期望水平上是模糊的。

（2）目標函數和約束條件是線性的方程。

（3）直接成本從正常值到壓縮值隨活動完成時間呈線性增加。

（4）每一活動的正常完成時間和壓縮時間，正常成本和壓縮成本都是確定的。

（5）在計劃水平上可用總預算是可知的。

（6）模糊目標采用線性隸屬度函數，最小算子和平均算子被循環(huán)用于加權模糊集。

（7）總間接成本可以分為固定成本及可變成本,單位時間的可變成本不隨完成時間變化。

1.2 模糊線性規(guī)劃目標函數

項目經理必須在一定資源條件下同時實現多目標管理，即同時考慮最小化項目總成本、完成時間、壓縮成本，而這些目標通常是模糊不確定的。

1.3 約束條件

（1）活動i,j的時間約束：

（2）活動i,j的壓縮時間約束：

（3）總成本預算約束：

1.4 模型求解

階段1：最小算子法。在階段1中，最初的模糊多目標決策模型可以通過Bellman和Zadeh(1970)的模糊決策理念解得。首先，各個模糊函數的正理想解（positive ideal solution，PIS）和負理想解(negative ideal solution,NIS)描述如下：

相應的模糊目標函數的可能值區(qū)間是基于決策者的經驗和知識來估計的，等價隸屬度區(qū)間為[0,1]。

最小算子用以加權模糊集。引入滿意度變動輔助函數L(1)，將模糊多目標線性規(guī)劃問題轉化為等價的普通線性模型，單目標線性規(guī)劃模型可以表示為：

其中，wg(g=1,2,…K)是決策者對幾個目標函數各自的偏好。在實際工程項目管理決策中，各目標權重的變化和最低限度值如模型（12）。

2 案例分析

本案例用兩階段模糊規(guī)劃方法來求出項目管理計劃，解決在不確定環(huán)境下的房地產開發(fā)建設項目中的管理決策問題。通過對整個項目決策過程的分析，來論證該方法的實用性。

2.1 項目介紹

金科·世界城，位于重慶茶園新區(qū)商業(yè)金融核心地段，項目總體規(guī)劃為街區(qū)商業(yè)、居住、生活配套等多功能為一體的城市綜合體。總建筑面積約34萬㎡。

表1 世界城案例中計劃工作的相關數據 （時間單位：天；成本單位：萬元）

由于世界城規(guī)模龐大，為分析方便，本案例將其中一棟商業(yè)項目作為研究對象。表1列舉了本案例的基本數據。其他相關數據如下：固定的間接成本120萬元，節(jié)約的日常變動成本1.5萬元，總預算385萬元，正常條件下項目完成時間125天。項目開始時間為0。關鍵路徑是1-5-6-7-9-10-11。網絡計劃圖如圖1：

圖1 網絡計劃圖

2.2 計算程序

世界城案例應用兩階段模糊多目標規(guī)線性劃方法來解決模糊決策問題的解決程序如下。在階段1，根據Eqs.(1)～(8)列出所要解決問題的模糊多目標線性規(guī)劃模型。通過Eqs.(9)的目標函數的PIS和NIS，結果如下：

表2 各目標函數的的PIS和NIS

表2列出了普通線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解以及每個模糊目標的(PIS,NIS)。

因此，通過Eqs.(10)，每個模糊目標函數的非增連續(xù)線性隸屬度函數如下：

表3 項目計劃的最初方案和改進方案

表4 完成時間的敏感性分析

期望完成時間的敏感度分析也被用于該案例的分析中，如表4。不同項目工期的敏感性分析結果表明，最小化完成時間與最小化項目總成本和最小化壓縮成本是相互矛盾的，如圖2所示。當項目持續(xù)時間遠遠低于108天時項目是不可實行的，因為關鍵線路上所有活動的累計壓縮時間超過了允許的上限17天。反之，如果項目完成時間延長到139天以外,由于總成本超過了可用預算，也是不可行的。因此，可以通過縮短工期來實現間接費用的節(jié)約、增加直接費來加快項目。如果項目經理因為項目完成時間的推遲而面對高額的間接費用和合同索賠，那么通過額外資源的使用來減少項目完成時間就顯得更有意義，因為它可以在一定程度上降低費用總額。

以項目總成本、總完成時間和總壓縮成本三個參數為分析指標。由于工期長，條件多變，完成時間最容易受其他因素影響，是最不穩(wěn)定的參數，因此選取完成時間為不確定性因素。由于完成時間在108天到139天范圍內變動，假定變動率為0.7，得出的各參數的變動值如表4所示。從圖2可以很明顯的看出，在完成時間不確定、同樣變動率的條件下，項目的壓縮成本是最為敏感的因素，在決策前，應對項目計劃工期做出預計，合理安排各工序的工作時間，保證實際工期在計劃范圍內，以減少壓縮成本對項目完成時間的影響。

圖2 分析完成時間敏感性的目標值

2.3 計算分析與對比

將兩階段模糊目標規(guī)劃模型應用于項目決策問題中得到如下重要性質。首先，如表3所顯示的，經過兩階段模糊目標規(guī)劃并應用了加權平均算子加總模糊集的決策過程得到的解總會比階段1最小算子得到的解效率提高。表3中的數據也說明了本文提出的方法獲得的解明顯優(yōu)于一階段最小算子法，因此，所提出有效解決方法能夠提供改進的使決策者滿意的項目管理方法。

第二，所提出的方法包含了一個解決多目標項目管理問題的模糊決策過程。兩階段模糊目標規(guī)劃法可以為模糊多目標項目管理提供一個已知的綜合滿意度值。如果整體的項目決策滿意度為L=1，那么每個目標都是完全滿意，如果是0＜L＜1，所有目標在L水平上是滿意的，如果L=0，則沒有一個目標是滿意的。一般來說，如果決策者沒有接受最初的總體滿意值，L值可能通過調整來適應一個更好的決策結果。例如，世界城案例中最初的一階段決策滿意度0.5892。重新獲得的L值是決策者為了尋找一個更好的解決方案而調整的，經過改進的高效的結果為項目總成本359.786萬元，總完成時間110.38天，總壓縮成本17.72萬元，整體決策者滿意度提高到0.7359。

第三，由于計劃期信息不完全和不確定，所以項目管理中的多個目標為模糊的，這些相互沖突的目標在不確定水平下必須同時優(yōu)化。表4和圖2顯示了幾個目標之間的平衡關系。從案例分析結果可知，提出的方法能很好滿足模糊環(huán)境下多目標的實際應用。

3 結束語

本文的多目標線性規(guī)劃模型，在考慮直接成本、間接成本、合同處罰成本和現有預算情況下,力求同時最小化總成本、總完工時間和總壓縮成本。用一個案例的實施情況來證明應用兩階段模糊的目標規(guī)劃方法解決項目決策問題的可行性。本文的貢獻在于創(chuàng)建了一個兩階段模糊數學規(guī)劃方法來解決多目標的模糊項目管理決策問題，并提供了一個有利于決策者交互的調整搜索方向直到找到最優(yōu)解的系統(tǒng)決策框架。

本文局限性在于模糊目標函數和相關可用資源約束中涉及的每單位時間成本系數假設為確定。因此，該方法應改進來使它更好的使用于實踐中。此外，該方法呈現了決策問題中線性隸屬度函數的模糊目標。將來的研究者也可能應用分段線性、非線性的相關隸屬函數來建立模糊多目標項目決策模型。

[1]Lukaszewicz,J.On the Estimation of Errors Introduce by Standard As?sumptions Concerning the Distribution of Activity Duration in PERT Calculations[J].Operations Research,1965,（13）.

[2]Parks,W.J.,Ramsing,K.D.The Use of the Compound Poisson in PERT[J].Management Science,1969,(15).

[3]Chanas,S.,Kamburowsi,J.The Use of Fuzzy Variable in PERT[J].Fuzzy Sets and Systems,1981,(5).

[4]Mjelde,K.M.Fuzzy Resource Allocation[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,(19).

[5]Chang,I.S.,Tsujimuta,Y.,Gen,M.,Tozawa,T.An Efficient Ap?proach for large Project Planning based on Fuzzy Delphi Method[J].Fuzzy Sets and Systems,1995,(76).

[6]DePorter,E.L.,Ellis,K.P.Optimization of Project Network Problem with Goal Programming and Fuzzy Linear Programming[J].Computers and Industrial Engineering,1990,(19).

[7]Arikan,F.,Gungor,Z.An Application of Fuzzy Goal Programming to a Multiobjective Project Network Problem[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,(119).

[8]Wang,R.C.,Liang,T.F.Project Management Decisions with Multiple Fuzzy Goals[J].Construction Management and Economics,2004,(22).

[9]Wang,R.C.,Liang,T.F.Application of Multiple Fuzzy Goals Program?ming to Project Management Decisions[J].International Journal of In?dustrial Engineering-Theory,Applications,and Practice,2006,(13).