數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)的研究*

唐 帥，郝祥輝

(濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河南 濟(jì)源 459000)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，線性代數(shù)解決問(wèn)題的思想和方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)和現(xiàn)代工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域．這就對(duì)線性代數(shù)教學(xué)提出了新的要求．高職教育是以“重能力、重應(yīng)用、求創(chuàng)新”為指導(dǎo)思想．因此高職線性代數(shù)的教學(xué)也應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力為首要目標(biāo)．如何有效實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，是我們一直思考和探索的重點(diǎn)．大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為我們提供了很好的切入點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)建模的具體過(guò)程，能有效培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新能力．為此，本文結(jié)合高職院校的實(shí)際情況以及教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，提出了將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)中，給出一些可供借鑒的具體做法與措施，以適應(yīng)未來(lái)教學(xué)工作的需要．

1 線性代數(shù)教學(xué)中存在的問(wèn)題

1.1 教材層次單薄，內(nèi)容更新緩慢

傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材多是重理論體系的完整性和嚴(yán)謹(jǐn)性，剝離了概念、原理和案例的背景與現(xiàn)實(shí)意義，這就使得教學(xué)內(nèi)容過(guò)于抽象，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)其望而生畏，進(jìn)而影響了他們的學(xué)習(xí)．因此教材層次單薄的問(wèn)題便凸顯出來(lái)．即使有的教材能夠吸收一部分實(shí)際案例，但也相對(duì)陳舊、更新緩慢．影響了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)，不利于課程教學(xué)質(zhì)量的提高．

1.2 教學(xué)內(nèi)容缺乏與專業(yè)知識(shí)相結(jié)合

高職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課正在進(jìn)行著專業(yè)的整合和學(xué)時(shí)的壓縮，線性代數(shù)也不例外，大約30多個(gè)學(xué)時(shí)．其內(nèi)容大體包括：行列式，矩陣及其運(yùn)算，矩陣的初等變換與線性方程組，向量組的線性相關(guān)性，相似矩陣及二次型．顯然，授課學(xué)時(shí)嚴(yán)重不足．于是教師在課上爭(zhēng)分奪秒，教學(xué)中片面強(qiáng)調(diào)理論學(xué)習(xí)，輕視或忽視了理論知識(shí)與其它專業(yè)課程以及生產(chǎn)生活實(shí)踐的結(jié)合，不利于與其它課程和所屬專業(yè)的銜接．以至于學(xué)生經(jīng)常問(wèn)到學(xué)習(xí)這門(mén)課程有什么用？能從中獲得什么能力的訓(xùn)練？應(yīng)用線性代數(shù)能解決什么實(shí)際問(wèn)題？

1.3 學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力不強(qiáng)

由于中學(xué)階段的應(yīng)試教育，導(dǎo)致學(xué)生受到的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng)非常有限，大多情形下只是為了解題而解題．因此學(xué)生缺少用數(shù)學(xué)的思維方式觀察周?chē)挛锏哪芰?，以及用?shù)學(xué)的分析方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．另外，在線性代數(shù)教學(xué)中，多數(shù)學(xué)生還是用一只筆，一張紙來(lái)完成低維情形的計(jì)算，缺乏對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)的運(yùn)用.然而，當(dāng)用線性代數(shù)解決專業(yè)問(wèn)題的時(shí)候，繁多的變量、龐大的數(shù)據(jù)都會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生恐懼感，不利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性．因此，如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力，以培養(yǎng)“實(shí)用型”人才為目標(biāo)，是值得我們重視和解決的問(wèn)題．

2 線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的必要性

線性代數(shù)是高職院校機(jī)電、信息、經(jīng)濟(jì)管理等專業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課程和工具課程．學(xué)生學(xué)習(xí)這門(mén)課程就是要用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，而數(shù)學(xué)建模就是培養(yǎng)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的最有效最實(shí)用的方法 ．目前眾多高校在線性代數(shù)教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容更新緩慢，過(guò)多追求邏輯的嚴(yán)密性和理論體系的完整性，缺乏對(duì)學(xué)生動(dòng)手能力和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，不利于與其它課程和所屬專業(yè)的銜接，造成了學(xué)生“學(xué)不會(huì)，用不了”的局面．因此，在線性代數(shù)中融入數(shù)學(xué)建模思想是非常必要，也是勢(shì)在必行的．

3 在線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的有益嘗試

3.1 數(shù)學(xué)建模思想在線性代數(shù)理論背景中的滲透

線性代數(shù)中諸多概念和定理都是對(duì)相關(guān)實(shí)際問(wèn)題的抽象和概括．如果不介紹實(shí)際背景直接講解，對(duì)高職生而言難以接受，他們往往靠機(jī)械記憶．因此在教學(xué)過(guò)程中，可借助于線性代數(shù)理論產(chǎn)生的來(lái)源和背景，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、概括、分析和求解的過(guò)程，可讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到由實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)理論的思想方法，從中滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法．

矩陣是課程各部分內(nèi)容的紐帶．在講解矩陣和矩陣運(yùn)算概念時(shí)，可引入此實(shí)例．三個(gè)煉油廠I、II、III 生成甲、乙、丙、丁四種油品，現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)此三個(gè)分廠2010年與2011年生產(chǎn)四種油品的總產(chǎn)量．為了使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，教學(xué)過(guò)程可如下進(jìn)行．

(1)問(wèn)題分析與模型建立：教師可以提問(wèn)一年中各煉油廠生產(chǎn)各油品的數(shù)量如何表示？可以提示產(chǎn)品統(tǒng)計(jì)量按煉油廠與油品排成行與列，以數(shù)表的形式表示．經(jīng)學(xué)生思考后，教師給出肯定答案．同時(shí)指出在數(shù)據(jù)上加上括號(hào)就得到了矩陣的定義．

(2)模型求解：用矩陣A、B分別表示2010、2011 年三個(gè)煉油廠所生產(chǎn)的四種油品的產(chǎn)量，引導(dǎo)學(xué)生思考若要求兩年各工廠生產(chǎn)各油品的總產(chǎn)量的計(jì)算方法，通過(guò)師生之間的分析討論，從而水到渠成地引出矩陣運(yùn)算A+B．

通過(guò)這個(gè)實(shí)例，學(xué)生既了解到矩陣和矩陣運(yùn)算產(chǎn)生的背景和在實(shí)際中的應(yīng)用，又體會(huì)到了數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的興趣，也為后面學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．

3.2 針對(duì)學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)，融入相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型

在線性代數(shù)教學(xué)中，對(duì)于不同的專業(yè)，可以有所側(cè)重地補(bǔ)充相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．而且確保融入的每一個(gè)數(shù)學(xué)模型都能反映出線性代數(shù)知識(shí)的本質(zhì)，讓學(xué)生通過(guò)這些模型對(duì)線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)有充分的認(rèn)識(shí)和理解，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的積極性．

在講授面向?qū)I(yè)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)遵循專業(yè)實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)模型→數(shù)學(xué)解答→應(yīng)用于專業(yè)問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程．即通過(guò)案例分析，篩選變量要素，強(qiáng)調(diào)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述和簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而揭示其內(nèi)在規(guī)律，利用線性代數(shù)知識(shí)建立線性代數(shù)模型，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解模型和應(yīng)用模型分析實(shí)際問(wèn)題．當(dāng)然，不同的模型，突出的重點(diǎn)也需要作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．如在講解線性方程組解的問(wèn)題時(shí)，對(duì)電信專業(yè)可以適當(dāng)融入電路網(wǎng)絡(luò)方面的數(shù)學(xué)模型；對(duì)于信息專業(yè)可以融入計(jì)算機(jī)圖形處理模型；對(duì)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)可以融入投入產(chǎn)出模型等等．教師引導(dǎo)學(xué)生分析和解決問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)到線性方程組與專業(yè)課的結(jié)合，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)課程的積極性．由于課堂時(shí)間有限，我們可選用比較小的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，難易程度可參考如下案例所示．

投入產(chǎn)出模型：某地區(qū)有三個(gè)重要企業(yè)：一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路．開(kāi)采1元的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi)．生產(chǎn)1元的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)、0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi)．創(chuàng)收1元的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)及0.1元的電費(fèi)．在某一周內(nèi)，煤礦接到外地50000元的訂貨，發(fā)電廠接到外地金額為2500元的訂貨，問(wèn)三個(gè)企業(yè)在一周內(nèi)生產(chǎn)總值各位多少？三個(gè)企業(yè)互相支付多少金額？

(1)模型假設(shè)與變量說(shuō)明.假設(shè)該地區(qū)三個(gè)產(chǎn)業(yè)間需要的資金完全由該地區(qū)提供．設(shè)本周內(nèi)煤礦的總產(chǎn)值為x1，電廠的總產(chǎn)值為x2，鐵路總產(chǎn)值為x3．

(2)模型的分析與建立.煤的產(chǎn)值=訂貨值+(發(fā)電+運(yùn)輸)所需要煤的費(fèi)用；同理，電廠的產(chǎn)值=訂貨值+(開(kāi)采煤+運(yùn)輸+發(fā)電)；鐵路的產(chǎn)值=訂貨值+(開(kāi)采煤+發(fā)電)所需要的運(yùn)輸費(fèi)用．

綜上所述，可建立如下的線性方程組模型

(3)模型求解

>> a=[1 -0.65 -0.55 50000;-0.25 0.95 -0.1 2500;-0.25 -0.05 1 0];

>> rref(a)

ans =

3.3 立足數(shù)學(xué)建模思想的有效融入，多種教學(xué)手段有機(jī)結(jié)合

線性代數(shù)教學(xué)可以嘗試采用多種教學(xué)手段相結(jié)合，以期達(dá)到很好的教學(xué)效果．

(1)平衡多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)．多媒體教學(xué)有很好的輔助作用．在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要利用多媒體課件呈現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題，以及引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型的分析與求解，使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)形象．例如，在基礎(chǔ)理論教學(xué)中，對(duì)于比較抽象的概念，如矩陣的特征值、特征向量等，可以利用多媒體課件展示它們的幾何意義，使學(xué)生從直觀上加深對(duì)概念的理解，起到事倍功半的效果．可見(jiàn)，多媒體教學(xué)可以增加教學(xué)容量，擴(kuò)大教學(xué)空間，延長(zhǎng)教學(xué)時(shí)間．但是，傳統(tǒng)的黑板教學(xué)在把握數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、形成過(guò)程和知識(shí)反饋等方面，要技高一籌，教師所表現(xiàn)出的藝術(shù)感染力和魅力不是多媒體所能替代的．因此，我們要逐步找到傳統(tǒng)教學(xué)手段與多媒體教學(xué)有機(jī)結(jié)合的平衡點(diǎn)，充分發(fā)揮多媒體對(duì)教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充和延伸優(yōu)勢(shì)，同時(shí)體現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)的邏輯性，不斷提高教學(xué)質(zhì)量．

(2)增設(shè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)．根據(jù)線性代數(shù)計(jì)算程序化和獨(dú)特的計(jì)算特征，增加數(shù)學(xué)軟件的上機(jī)操作和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，訓(xùn)練學(xué)生用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題．首先在多媒體課件中添加了Matlab界面下矩陣生成、運(yùn)算以及線性方程組各情形下的相應(yīng)解法．而且，在課程中融入數(shù)學(xué)模型的求解過(guò)程也是利用數(shù)學(xué)軟件完成的，這樣可以用來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件．其次，在每章節(jié)加入了相關(guān)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，幫助學(xué)生能借助簡(jiǎn)單的Excel程序和Matlab軟件進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，以增強(qiáng)學(xué)生科學(xué)計(jì)算能力．這樣可以更好的提高學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)的實(shí)踐能力．

(3)充分利用網(wǎng)路教學(xué)．當(dāng)將數(shù)學(xué)模型融入課堂時(shí)，會(huì)出現(xiàn)學(xué)時(shí)少與信息量大的矛盾，而且由于學(xué)生的認(rèn)知水平不同，對(duì)數(shù)學(xué)建模思想的領(lǐng)會(huì)程度也會(huì)有較大差異．為此，我們可以利用校園網(wǎng)建立課程網(wǎng)站，作為課堂教學(xué)的補(bǔ)充，為學(xué)生提供多層次、多方位的教學(xué)資源．網(wǎng)站中的教學(xué)資源除包括課堂教學(xué)內(nèi)容外，還提供豐富的與專業(yè)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以利用網(wǎng)上答疑和學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的討論，算法的研究等．這樣縮短了學(xué)生與數(shù)學(xué)建模的距離，而且學(xué)生還可以根據(jù)需要自由地選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容和形式，靈活安排自己的學(xué)習(xí)時(shí)間，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題和其創(chuàng)新能力．

3.4 重視教師隊(duì)伍高素質(zhì)化建設(shè)

教師是課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，能否在教學(xué)中順利向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)建模思想，教師的素質(zhì)起著重要作用．這就給我們教師隊(duì)伍提出了較高的要求，無(wú)論是從教育理念上，還是從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段上，都應(yīng)有新的突破．教學(xué)過(guò)程中，要求教師對(duì)自身的知識(shí)體系和知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行及時(shí)更新，以適應(yīng)信息化社會(huì)的需求，并應(yīng)由傳統(tǒng)的課堂主導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為主體，通過(guò)現(xiàn)代化教學(xué)手段，積極調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)熱情．教師要積極參與數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的培訓(xùn)和指導(dǎo)，積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)建模知識(shí)，親身體會(huì)建模的全過(guò)程．同時(shí)，教師也要結(jié)合自己的研究方向，將專業(yè)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中，進(jìn)而不斷提高自己的數(shù)學(xué)建模能力和水平．

幾年的實(shí)踐表明將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)教學(xué)中的探索與嘗試，旨在使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神的實(shí)質(zhì)、思想方法及其應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力．在這個(gè)長(zhǎng)期系統(tǒng)的工程里，課程教學(xué)所涉及的教材建設(shè)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段和方法等方面，還是需要不斷地進(jìn)行探索與改革的．這是需要廣大教育工作者的繼續(xù)努力，以適應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用型人才目標(biāo)的需要．

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