剪式可展機構(gòu)非線性動力學(xué)分析子系統(tǒng)方法

劉樹青，王興松

(1.東南大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 211189;2.南京工程學(xué)院 先進制造技術(shù)工程中心，南京 211167)

剪式機構(gòu)作為可展機構(gòu)應(yīng)用廣泛，其基本組成單元為由兩個連桿與轉(zhuǎn)動銷軸連接的“X”型結(jié)構(gòu)，稱為剪式單元。由多個剪式單元相互串接可構(gòu)成平面多級剪式伸縮機構(gòu)，將其合理搭接，可形成豐富實用的立體剪式單元。在建筑、工程機械、機器人、空間結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。隨著航天技術(shù)的發(fā)展，可展機構(gòu)成為航天領(lǐng)域研究熱點，而剪式機構(gòu)作為應(yīng)用最廣的可展機構(gòu)形式，對其拓撲結(jié)構(gòu)、可展開性、運動學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等方面的相關(guān)研究較受重視［1-4］，而對其機構(gòu)動力學(xué)研究相對較少。

對剪式可展機構(gòu)，若直接建立動力學(xué)模型則會導(dǎo)致方程規(guī)模大，求解困難，較難實時仿真與控制。剪式可展機構(gòu)由剪式單元組合而成，模塊化程度高，甚至各剪式單元結(jié)構(gòu)相同或相似。因此，將該機構(gòu)劃分為簡單子系統(tǒng)建立運動方程，并利用子系統(tǒng)間的拓撲結(jié)構(gòu)，建立整體系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，實現(xiàn)程式化建模，可有效縮減求解規(guī)模，對此，文獻［5-8］均有研究。

本文針對由相互耦合子系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜多體系統(tǒng)剪式可展機構(gòu)提出高效計算子系統(tǒng)方法。該方法將復(fù)雜多體系統(tǒng)劃分為簡單子系統(tǒng)，分別建立各子系統(tǒng)運動方程，并通過子系統(tǒng)間的遞推關(guān)系建立整系統(tǒng)運動方程，將求解整體系統(tǒng)大規(guī)模運動方程轉(zhuǎn)化為求解子系統(tǒng)小規(guī)模運動方程，與傳統(tǒng)方法相比，計算效率更高。

1 狀態(tài)空間子系統(tǒng)運動方程

將剪式單元視為子系統(tǒng)，則多數(shù)剪式可展機構(gòu)在拓撲結(jié)構(gòu)上包含相同子系統(tǒng)，如圖1所示。因此，子系統(tǒng)模型便可多次重復(fù)使用。剪式可展機構(gòu)中子系統(tǒng)個數(shù)發(fā)生變化或設(shè)計過程中需更改子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)時，均可對動力學(xué)模型進行修改，建模過程易于程式化。

圖1 剪式機構(gòu)Fig.1 Scissor-like mechanism

1.1 坐標系及各參數(shù)遞推表示

多體系統(tǒng)中相鄰兩連接體及相關(guān)坐標系如圖2所示，其中i為j的內(nèi)接體。O-XYZ為慣性坐標系，O'i-X'iY'iZ'i為連接體i體坐標系，位于連接體i的內(nèi)接關(guān)節(jié)處，其原點在慣性系中的位置向量為ri，相對慣性系方向矩陣為Ai;O″ij-X″iY″iZ″i位于連接體i的外接關(guān)節(jié)處，其相對于體坐標系O'i-X'iY'iZ'i的方向矩陣為Cij，O'i與O″ij之間的位置向量為sij;同理可定義連接體j的相關(guān)坐標系，O″ij與O'i之間的位置向量為dij。

坐標系建立后，連接體j的位置、速度、加速度均可用其內(nèi)接體i的相關(guān)參數(shù)遞推表示［5］:

圖2 相鄰兩連接體坐標系Fig.2 Coordinate system of adjacent body

為連接體i的加速度狀態(tài)向量;為連接體j和i之間的速度轉(zhuǎn)移矩陣;qj為關(guān)節(jié)j的關(guān)節(jié)相對坐標，ωi為關(guān)節(jié)i的角速度向量，Hj為關(guān)節(jié)j的軸線方向向量。

1.2 子系統(tǒng)運動方程

將式(3)中狀態(tài)速度用虛位移代替，得虛位移狀態(tài)變分:

多剛體系統(tǒng)變分形式的牛頓-歐拉方程為［9］:

對開環(huán)子系統(tǒng)，根據(jù)子系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)，將式(2)、式(4)的遞推關(guān)系依次代入式(5)，可得開環(huán)子系統(tǒng)運動方程為:

若已知子系統(tǒng)基體加速度，則有:

對閉環(huán)子系統(tǒng)，切斷連接體n和n'之間的關(guān)節(jié)，使之成為兩個開鏈，并引入切斷關(guān)節(jié)處的約束力及約束方程，得系統(tǒng)運動方程為:

其中:λ為拉氏乘子，Φq為約束雅各比矩陣。

若已知子系統(tǒng)基體加速度，據(jù)式(9)可計算出拉氏乘子及各連接體加速度為:

2 子系統(tǒng)方法

據(jù)系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)，綜合子系統(tǒng)運動方程及約束方程，可建立整個多體系統(tǒng)運動方程，該方程數(shù)目多，求解規(guī)模大，且在產(chǎn)品設(shè)計階段，如果系統(tǒng)中增加或減少一個子系統(tǒng)，或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，則需對系統(tǒng)模型做復(fù)雜的修正。因此，需一種算法，能使各子系統(tǒng)獨立建模計算，且能方便、高效評價對整體系統(tǒng)影響。

2.1 子系統(tǒng)等效

為每個獨立子系統(tǒng)增加一個虛物體，子系統(tǒng)通過該虛物體與基體或其他子系統(tǒng)相連，如圖3所示。

圖3 子系統(tǒng)及虛物體Fig.3 subsystem and virtual body

虛物體無慣量、重力等動力學(xué)性質(zhì)，只用于建立參考系便于描述子系統(tǒng)相對運動。若虛物體運動已知，則其對應(yīng)的子系統(tǒng)的動力學(xué)分析可獨立進行。在整體系統(tǒng)動力學(xué)分析中，須計算每個子系統(tǒng)的動力學(xué)影響。

將式(7)代入式(6)得開環(huán)子系統(tǒng)對其基體的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量分別為:

將式(9)、(10)代入式(8)得閉環(huán)子系統(tǒng)對基體的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量為:

2.2 整體系統(tǒng)運動方程

對圖4由相互耦合的開環(huán)或閉環(huán)子系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜多體系統(tǒng)，可將其劃分為圖5所示幾個子系統(tǒng)。每個子系統(tǒng)通過虛物體與內(nèi)接子系統(tǒng)相連。

圖4 子系統(tǒng)間相互耦合的多體系統(tǒng)Fig.4 Multibody system with intercoupled subsystems

圖5 子系統(tǒng)劃分及等效Fig.5 Subsystem division and the effective model

由求解閉環(huán)約束方程得到的子系統(tǒng)位置與速度，可求得子系統(tǒng)內(nèi)所有物體與關(guān)節(jié)的位置及速度。子系統(tǒng)虛物體與其內(nèi)接子系統(tǒng)的連接體運動相同，因此，位置與速度分析可沿正向從第一個子系統(tǒng)向末端子系統(tǒng)遞推。

完成位置和速度分析后，運用式(11)、(12)或式(13)、(14)從末端子系統(tǒng)向內(nèi)部子系統(tǒng)反向遞推，計算每個子系統(tǒng)的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量。在此過程中，外部子系統(tǒng)的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量與相鄰內(nèi)部子系統(tǒng)的連接體質(zhì)量矩陣及力向量相加。最終得到整條路徑等效到基體的質(zhì)量矩陣及力向量。系統(tǒng)運動方程可表示為:

式(15)中，無論子系統(tǒng)自由度多大、有幾個子系統(tǒng)相互串接，矩陣維數(shù)始終為6×6，向量維數(shù)為6×1，大大降低了整體系統(tǒng)的求解規(guī)模，提高了計算效率，而編程中也便于增加或刪除某個子系統(tǒng)對整體系統(tǒng)的影響，若子系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，修改程序也只限于相應(yīng)的子系統(tǒng)內(nèi)部。

與傳統(tǒng)微分代數(shù)方程動力學(xué)模型計算效率比較見圖6，圖中，橫坐標為多體系統(tǒng)自由度數(shù)(DOF)，縱坐標為兩種方法的建模及求解時間，該時間Intel i5 2450 M CPU，2.5 GHz，4 GB RAM 計算機的 Mathematica 軟件所得。當系統(tǒng)自由度數(shù)小于25時，子系統(tǒng)遞推方法的計算效率低于傳統(tǒng)微分代數(shù)模型;隨著系統(tǒng)自由度數(shù)目的增加，子系統(tǒng)遞推方法的計算效率明顯提高，自由度數(shù)越多，效率越明顯。

圖6 計算效率對比Fig.6 Comparison of computational efficiency

3 剪式可展機構(gòu)非線性動力學(xué)計算

運用上述子系統(tǒng)方法對圖7三級平面剪式機構(gòu)進行多體動力學(xué)建模，并在Mathematica環(huán)境下編程仿真。

本文剪式機構(gòu)主要參數(shù)為:桿件矩形截面寬b=5 mm，高h=30 mm，干架長度l=1 000 mm，材料密度ρ=2 750 kg/m3，彈性模量E=70 ×109N/m2，初始角度θ1=30°。

圖7 三級剪式機構(gòu)簡圖Fig.7 Diagram of 3-level scissor-like mechanism

外力為施加于A、C兩點的驅(qū)動力:

三級剪式機構(gòu)由三個相同剪式單元串聯(lián)，傳統(tǒng)建模方法建立的動力學(xué)模型為36×36維，本文將每個剪式單元作為一個子系統(tǒng)建立動力學(xué)模型，得到其等效質(zhì)量矩陣及等效力向量，從末端依次向根部遞推，則可得整個系統(tǒng)6×6維的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量，從而降低求解規(guī)模。各節(jié)點位置、速度、加速度可通過從根部向末端的正向遞推求得。

為驗證子系統(tǒng)方法的正確性，建立三級剪式機構(gòu)拉格朗日動力學(xué)模型，仿真結(jié)果為圖8中虛線，子系統(tǒng)方法仿真結(jié)果為圖8中實線。圖8(a)、(b)、(c)分別為圖7中角度θ1的角位置、角速度及角加速度隨時間的變化關(guān)系曲線，子系統(tǒng)模型仿真結(jié)果與拉格朗日模型仿真結(jié)果基本一致，由此驗證了子系統(tǒng)方法的正確性。由于拉格朗日模型采用解析方法，而子系統(tǒng)模型采用數(shù)值方法，存在一定計算誤差，故圖中曲線不完全重合。

圖8 仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results

4 結(jié)論

將剪式可展機構(gòu)劃分成簡單子系統(tǒng)，為每個子系統(tǒng)添加虛物體，獨立求解每個子系統(tǒng)的運動方程，并根據(jù)子系統(tǒng)間的拓撲關(guān)系進行組合或遞推，得到整個系統(tǒng)的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量，從而減小了求解規(guī)模。該建模方法適用于具有多個相互耦合的開環(huán)或閉環(huán)子系統(tǒng)的復(fù)雜多體系統(tǒng)，建模方法易于程式化。通過與傳統(tǒng)方法比較驗證了該方法的正確性。

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