大撓度簡支矩形薄板受熱力磁耦合作用分岔與混沌

王 平，陳蜀梅，王知人2，

(1.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北秦皇島 066004;2.中國科學(xué)院 力學(xué)研究所非線性力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100080;3.燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北秦皇島 066004)

彈性物體中耦合場理論的創(chuàng)立與發(fā)展，對處在高溫、高壓及強(qiáng)電磁場作用下結(jié)構(gòu)元件強(qiáng)度和可靠性分析具有重要意義［1］。隨著電磁結(jié)構(gòu)在高新技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用日益增多，針對工程中許多構(gòu)件工作在溫度變化環(huán)境中，對電磁耦合熱彈性現(xiàn)象的研究有非常強(qiáng)的工程背景與理論價(jià)值［2-3］。熱彈耦合振動以熱彈耦合與振動理論為基礎(chǔ)發(fā)展而來的新興研究方向。Trajkorski等［4］分析了給定邊界條件下圓板熱彈耦合振動特性。戴宏亮等［5］研究了厚壁圓筒在熱、磁耦合作用下的動態(tài)響應(yīng)。樹學(xué)鋒等［6-7］建立圓板橫向熱彈耦合振動方程，并對常厚度及變厚度圓板非線性熱彈性耦合振動進(jìn)行分析。Yeh［8］研究大變形簡支正交異性矩形薄板的熱彈耦合振動。

混沌動力學(xué)的不斷發(fā)展與完善極大豐富了非線性科學(xué)的研究領(lǐng)域，為許多古老研究課題注入新的活力，為力學(xué)學(xué)科發(fā)展提供新的動力。目前，各種形式構(gòu)件熱彈性耦合振動的混沌運(yùn)動研究，也取得一些成果。韓強(qiáng)等［9］考慮幾何非線性效應(yīng)與溫度效應(yīng)影響，建立橢圓板周期激勵(lì)作用下熱彈耦合的非線性動力方程，利用Melnikov函數(shù)法給出系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動的臨界條件。吳曉等［10］研究了矩形板非線性熱振動分岔。Yeh等［11］對熱彈耦合矩形板分岔與混沌進(jìn)行研究。李映輝等［12］研究了變溫環(huán)境下粘彈性梁的混沌運(yùn)動。

綜上所述，由目前研究成果看，對非鐵磁類材料大撓度矩形薄板在熱、力、磁耦合共同作用下熱磁性耦合振動的混沌運(yùn)動研究尚少。因此本文針對大撓度矩形薄板，考慮溫度場影響，研究在橫向穩(wěn)恒磁場與機(jī)械載荷共同作用下的非線性熱磁彈性耦合振動問題。結(jié)果表明，薄板在多場耦合作用下，具有豐富的非線性動力行為。通過改變機(jī)械載荷、電磁場及溫度場參數(shù)，可控制系統(tǒng)的振動特性。

1 運(yùn)動方程

將矩形薄板置于橫向穩(wěn)恒磁場B(0，0，Bz)中，同時(shí)受分布載荷P(0，0，q)作用.在笛卡兒直角坐標(biāo)系oxyz中，oxy為薄板中面，z為法向坐標(biāo)，不考慮極化、磁化影響，將洛侖茲力［2］ρfx，ρfy，ρfz作為質(zhì)動力載荷加入板運(yùn)動方程，得薄板熱、力、磁耦合運(yùn)動方程為:

式中:h為板厚;q為法向機(jī)械載荷分量;Nx，Nxy，Ny;Qx，Qy;Mx，Mxy，My為內(nèi)力分量;θx，θy為角位移分量;ρ為質(zhì)量密度;ρfx，ρfy，ρfz分別為對應(yīng)x，y，z的洛侖茲力分量;mx，my為洛侖茲力矩。

洛侖茲力與洛侖茲力矩為［2］:

式中:u，v，w分別為中面內(nèi)點(diǎn)x，y，z向位移;t為時(shí)間;σ為電導(dǎo)率;ex，ey為磁感應(yīng)電場強(qiáng)度分量。

矩形板在熱狀態(tài)下的內(nèi)力方程為［13］:

中面內(nèi)力及撓度表示的相容方程為［14］:

式中:NT為熱力。熱力、熱矩的表達(dá)式為［14］:

式中:α0為熱膨脹系數(shù)。

引入應(yīng)力函數(shù)φ(x，y):

令機(jī)械載荷q=q0cos(ωt)，其中q0為機(jī)械力幅值，ω為激振頻率。式(1)后三個(gè)式子中去掉慣性力項(xiàng)，由式(1)～式(4)及式(6)可得矩形板在熱狀態(tài)下非線性控制方程為:

矩形薄板四邊為不可移簡支，a、b為板邊長，邊界條件為:

板端部表達(dá)式為:

設(shè)溫度函數(shù)為:

式中:T0為常數(shù)。由于工程實(shí)際中對最低階振型感興趣，故設(shè):

由式(5)、式(7)及式(11)得:

利用待定系數(shù)法［16］，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為:

將其代入上式，兩邊比較系數(shù)，得:

則應(yīng)力函數(shù)為:

式中:Px，Py由式(9)求得(令:Δx=Δy=0)

對式(7)中第一式利用Galerkin原理有:

將式(5)、(6)、(11)、(13)代入上式，計(jì)算得:

式中:

由β表達(dá)式看出β＞0，令η=|α|，則式(14)變?yōu)?

當(dāng)ε=0時(shí)，式(17)為未擾動的Hamilton系統(tǒng)，即:

討論α＜0情況，即式(16)為:

當(dāng)α＜0時(shí)，未擾動的Hamilton系統(tǒng)有三個(gè)奇點(diǎn)，兩個(gè)鞍點(diǎn)(±1，0)和一個(gè)中心點(diǎn)(0，0)。

2 數(shù)值解及算例分析

設(shè)薄板為鋁質(zhì)材料。板厚h=2×10-2m，密度ρ=2.67 ×103kg/m3，彈性模量E=71 GPa，泊松比ν=0.34，電導(dǎo)率σ=3.6 ×107(Ωm)-1，熱膨脹系數(shù)α0=23×10-6(℃)-1。為便于計(jì)算，且α＜0，取a=3π m，b=2π m，ω0=1 rad/s。將其代入方程，用四階R-K方法編程求解。計(jì)算中采用積分容忍誤差為10-6。為模擬矩形薄板的混沌運(yùn)動，采樣周期為120，在積分所得時(shí)間響應(yīng)中反復(fù)4 000次后開始取資料，以去掉足夠的瞬態(tài)，保證系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)已達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。資料包括位移、加速度、時(shí)間等，用于產(chǎn)生分岔圖、位移波形圖、相平面軌跡圖、及龐伽萊截面圖。

2.1 機(jī)械載荷影響

當(dāng)ω0=1 rad/s，Bz=1 T，T0=20℃時(shí)，通過改變機(jī)械載荷幅值q0大小，使f在0.01～10 N/m2之間變化，得系統(tǒng)隨f變化時(shí)的分岔圖(圖1)。從圖中看出，以機(jī)械載荷f為分岔參數(shù)，隨著機(jī)械載荷幅值q0的不斷增加，系統(tǒng)的混沌與周期區(qū)交替出現(xiàn)。在f=0.2 N/m2附近，系統(tǒng)由周期1運(yùn)動經(jīng)由陣發(fā)性進(jìn)入瞬間混沌運(yùn)動，轉(zhuǎn)而又開始周期1運(yùn)動，當(dāng)f在1～1.6 N/m2之間系統(tǒng)有大面積混沌區(qū)，期間也存在一些零散的周期窗口，f=1.6 N/m2時(shí)系統(tǒng)離開混沌運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)入周期3運(yùn)動，在f=1.8 N/m2附近轉(zhuǎn)而又開始周期6運(yùn)動，f在2～2.3 N/m2之間系統(tǒng)處于周期2運(yùn)動狀態(tài)，之后進(jìn)入混沌區(qū)，在f=3.1 N/m2附近系統(tǒng)離開混沌進(jìn)入周期1運(yùn)動，后經(jīng)由倍周期分岔，在f=4.8 N/m2附近進(jìn)入混沌運(yùn)動。后面空白處為周期窗口，之后再次進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)，如此反復(fù)。圖2～圖3給出在不同f值下系統(tǒng)位移波形圖、相平面軌跡圖及龐加萊截面圖。當(dāng)f=0.5 N/m2時(shí)，系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動狀態(tài);f=1.6 N/m2時(shí)，系統(tǒng)處于3周期運(yùn)動狀態(tài);f=4.5 N/m2時(shí)，系統(tǒng)處于2周期運(yùn)動狀態(tài);f=6.5 N/m2時(shí);系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動狀態(tài)。

圖1 ω0=1 rad/s，Bz=1 T，T0=20℃時(shí)系統(tǒng)隨f變化時(shí)的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram henf is variable(ω0=1 rad/s，Bz=1 T，T0=20℃時(shí))

圖2 f=0.5 N/m2時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.2 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(f=0.5 N/m2)

圖3 f=1.6 N/m2時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.3 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(f=1.6 N/m2)

圖4 f=4.5 N/m2時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.4 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(f=4.5 N/m2)

圖5 f=6.5 N/m2時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.5 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(f=6.5 N/m2)

2.2 電磁場影響

當(dāng)ω0=1 rad/s，T0=20℃，f=1.5 N/m2(q0=0.766 9 N/m2)時(shí)，通過改變磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，Bz取0.01～2T，得系統(tǒng)分岔圖如圖6所示。由圖中看出，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz的不斷增加，系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)有較明顯變化。當(dāng)Bz小于0.45T，系統(tǒng)一直處于混沌運(yùn)動狀態(tài);在Bz=0.45T附近進(jìn)入3周期運(yùn)動狀態(tài);在Bz=0.78T附近離開3周期運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài);在Bz=0.78～1.28T范圍內(nèi)，系統(tǒng)基本處于混沌運(yùn)動狀態(tài);在Bz=1.2T附近空白處有微小周期窗口;在Bz=1.28～2T范圍內(nèi)系統(tǒng)基本處于單周期運(yùn)動狀態(tài);只是在Bz=1.45T左右有短暫的3周期運(yùn)動。圖7～圖9為不同Bz值下系統(tǒng)位移波形圖、相平面軌跡圖及龐伽萊截面圖。Bz=0.2T時(shí)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動狀態(tài);Bz=0.6T時(shí)，系統(tǒng)處于3周期運(yùn)動狀態(tài);Bz=1.6T時(shí)，系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動狀態(tài)。

圖 6 ω0=1 rad/s，T0=20℃，f=1.5 N/m2時(shí)系統(tǒng)隨Bz變化時(shí)的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram whenBzis variable(ω0=1 rad/s，T0=20℃，f=1.5 N/m2)

圖7 Bz=0.2T時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.7 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(Bz=0.2T)

圖8 Bz=0.6T時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.8 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(Bz=0.6T)

2.3 溫度影響

圖9 Bz=1.6T時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.9 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(Bz=1.6T)

圖10 ω0=1 rad/s，B=1T，q0=70 N/m2時(shí)系統(tǒng)隨T0變化時(shí)的分岔圖Fig.10 Bifurcation diagram whenT0is variable(ω0=1 rad/s，B=1T，q0=70 N/m2)

圖11 T0=22℃時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.11 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(T0=22℃)

當(dāng)ω0=1 rad/s，Bz=1T，q0=70 N/m2時(shí)，通過改變溫度T0的大小(20～40℃)，得系統(tǒng)分岔圖如圖10所示。由圖中看出，系統(tǒng)在T=22℃和T=25℃附近有短暫單周期區(qū);在T=27℃和T=29℃附近及T=30～40℃范圍內(nèi)的空隙處存在微窄大周期區(qū)。圖11～圖14為在不同溫度T0下系統(tǒng)位移波形圖、相平面軌跡圖及龐伽萊截面圖。T=22℃時(shí)，系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動狀態(tài);T=27.8℃和T=29℃時(shí)，系統(tǒng)處于大周期運(yùn)動狀態(tài);T=35℃時(shí)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動狀態(tài)。

3 結(jié)論

(1)本文用Melnikov函數(shù)法，給出非線性動力系統(tǒng)Smale馬蹄變換意義下出現(xiàn)混沌運(yùn)動的判據(jù).通過對系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，在機(jī)械場、電磁場及溫度場耦合作用下大撓度簡支矩形薄板系統(tǒng)振動方程具有明顯的非線性，運(yùn)動特性較復(fù)雜，周期區(qū)與混沌區(qū)交替出現(xiàn)，混沌區(qū)中既有單周期窗口，也有倍周期窗口、大周期窗口，混沌與分岔現(xiàn)象較豐富。

圖12 T0=27.8℃時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.12 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(T0=27.8℃)

圖13 T0=29℃時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.13 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(T0=29℃)

圖14 T0=35℃時(shí)的位移波形圖，相平面軌跡圖及龐加萊截面圖Fig.14 Wave diagram of displacement，Phase diagram and Poincare map(T0=35℃)

(2)單周期或k周期運(yùn)動，對應(yīng)相平面軌跡圖為1條或k條連續(xù)的封閉曲線，在龐加萊截面圖上顯示1個(gè)或k個(gè)點(diǎn)，位移波形具有明顯周期重復(fù)性;混沌運(yùn)動，對應(yīng)的相平面軌跡圖軌線較紊亂，龐加萊截面圖呈云片狀、雜亂無章，位移波形呈類隨機(jī)紊亂狀態(tài)。

(3)通過變化機(jī)械載荷、電磁參數(shù)及溫度可使系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)，或避免混沌運(yùn)動，以實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)振動特性控制。本文研究結(jié)果可作為工程在溫度環(huán)境下電磁結(jié)構(gòu)安全性、可靠性設(shè)計(jì)參考。

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