Timoshenko梁功率流主動(dòng)控制研究

王有懿，馬文來，趙 陽

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

梁式結(jié)構(gòu)應(yīng)用廣泛，如航天器天線桿、相機(jī)支架、太陽能帆板軸等。飛輪及陀螺等高速旋轉(zhuǎn)部件的中、高頻擾動(dòng)在航天器梁式結(jié)構(gòu)中傳播，會(huì)引起結(jié)構(gòu)抖動(dòng)。由于環(huán)境阻尼較小，此抖動(dòng)將長時(shí)間持續(xù)存在，影響天線、相機(jī)等高精度敏感設(shè)備的正常工作，降低精度。因此，對梁式結(jié)構(gòu)進(jìn)行抖動(dòng)分析與控制研究具有重要的理論價(jià)值與工程實(shí)際意義。

擾動(dòng)引起結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的主要研究方法有:有限元方法、統(tǒng)計(jì)能量法、行波方法等。在分析結(jié)構(gòu)中、高頻動(dòng)態(tài)特性時(shí)，有限元方法與統(tǒng)計(jì)能量法均表現(xiàn)出各自的不足;而行波方法計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)一般無頻率限制，具有魯棒性［1］。在行波方法基礎(chǔ)上引入“功率流”方法，該方法綜合力與速度響應(yīng)大小及相位關(guān)系，能給出結(jié)構(gòu)內(nèi)的局部能量分布及功率流傳播路徑，可揭示整個(gè)系統(tǒng)的能量分布，為研究復(fù)雜系統(tǒng)振動(dòng)的有效工具。功率流主動(dòng)控制方法克服了傳統(tǒng)模態(tài)控制方法與數(shù)學(xué)模型緊密相關(guān)及控制頻率受限的缺點(diǎn)和不足，主要功能為隔離結(jié)構(gòu)中能量的傳遞，僅通過最小化功率流即可減小結(jié)構(gòu)整體抖動(dòng)。功率流模型可描述結(jié)構(gòu)中振動(dòng)傳播，為振動(dòng)控制設(shè)計(jì)中重要的控制優(yōu)化特征量。Miller等［1］首先采用行波方法處理結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題;Mace等［2-4］采用單一傳感器與單一作動(dòng)器研究梁彎曲波的同位反饋控制與自適應(yīng)前饋控制以及近場影響下梁彎曲波的主動(dòng)控制;Schwenk等［5］提出用于控制梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流的算法。Audrain等［6］研究了梁結(jié)構(gòu)功率流控制理論，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Pereira等［7］采用基于最小化結(jié)構(gòu)功率流實(shí)部的控制方法，降低了梁結(jié)構(gòu)整體抖動(dòng);劉春川等［8-9］采用波動(dòng)方法研究了有限L型梁結(jié)構(gòu)功率流主動(dòng)控制;朱宏平等［10］采用導(dǎo)納波動(dòng)方法研究了建筑結(jié)構(gòu)功率流主動(dòng)控制策略。宋孔杰等［11］對柔性隔振系統(tǒng)功率流理論進(jìn)行了深入研究。金全洲等［12］研究了圓柱殼結(jié)構(gòu)功率流主動(dòng)控制方法。以上研究對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析與控制主要采用Euler-Bernoulli經(jīng)典梁理論，用Timoshenko梁理論則較少。經(jīng)典梁理論在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中具有局限性，Timoshenko梁理論因考慮橫向剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，更適用于結(jié)構(gòu)的中、高頻振動(dòng)研究，其分析結(jié)果更接近工程實(shí)際。Carvalho等［13］基于波動(dòng)吸收方法研究了無限長Timoshenko梁中彎曲波的主動(dòng)控制;Mei等［14-15］對Timoshenko梁結(jié)構(gòu)的波反射、透射及振動(dòng)主動(dòng)控制的混合波/模方法進(jìn)行研究，其波動(dòng)控制策略采用同位配置反饋控制?？傊M管基于Euler-Bernoulli梁理論的結(jié)構(gòu)功率流研究已相對成熟，但關(guān)于Timoshenko梁結(jié)構(gòu)功率流研究甚少。

本文基于Timoshenko梁理論，考慮梁中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及剪切效應(yīng)，建立懸臂梁結(jié)構(gòu)的行波動(dòng)力學(xué)模型，分析擾動(dòng)對梁結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性影響。通過理論仿真與分析，研究Timoshenko梁結(jié)構(gòu)中的功率流傳播及主動(dòng)控制方法，為梁耦合結(jié)構(gòu)、桁架結(jié)構(gòu)的抖動(dòng)分析與控制研究提供基礎(chǔ)。

1 懸臂Timoshenko梁行波動(dòng)力學(xué)模型

圖1 懸臂Timoshenko梁模型Fig.1 The cantilever Timoshenko beam model

圖1為懸臂Timoshenko梁結(jié)構(gòu)，由于該梁包含剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，其波動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為:

式中:w，φ分別為彎曲波位移、轉(zhuǎn)角;M，V為彎矩、剪力;E為彈性模量;I為梁慣性矩，I=Ah2/12，A為梁橫截面面積;h為橫截面高度;ρ為梁密度，K為剪切折算系數(shù)，K=π2/12。

根據(jù)行波理論，Timoshenko梁彎曲波位移與轉(zhuǎn)角的行波解為:

圖1懸臂梁結(jié)構(gòu)，力F0eiωt作用的左右彎曲波位移、轉(zhuǎn)角、剪力、彎矩分別為w1，φ1，V1，M1與w2，φ2，V2，M2?？紤]力作用不連續(xù)處x=x0的力平衡條件及位移連續(xù)條件得:

由梁兩端邊界條件得:

在x=0處:

在x=L處:

由此，考慮邊界條件、力作用點(diǎn)處連續(xù)條件得方程組為:

式中:［α］為8×8維系數(shù)矩陣，由邊界條件、力作用處連續(xù)條件確定;{A}={A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8}T為波譜系數(shù)矩陣;{F}={0，0，0，F(xiàn)0，0，0，0，0}T為激勵(lì)源矩陣。

由上可知，只要給出具體參數(shù)值，便可求出式(17)中的{A}，代入式(1)、式(2)可得懸臂梁結(jié)構(gòu)任意位置的動(dòng)力響應(yīng)。

作用于x0位置的擾動(dòng)力F0eiωt在懸臂梁任意位置響應(yīng)可表示為:

式中:wx0(x)、φx0(x)為單位力產(chǎn)生的彎曲波位移及轉(zhuǎn)角。

2 Timoshenko梁功率流傳播分析與主動(dòng)控制

功率流為結(jié)構(gòu)中某一截面能量傳遞的時(shí)間平均。在Timoshenko梁結(jié)構(gòu)中某x位置截面處的主動(dòng)功率流可表示為［8］:

式中:w，φ為彎曲波位移和轉(zhuǎn)角;V，M為剪力、彎矩，*為共軛轉(zhuǎn)置符號(hào)，Re表示取實(shí)部。

前饋主動(dòng)控制算法廣泛應(yīng)用于梁、板及組合結(jié)構(gòu)中。因此，在Timoshenko梁結(jié)構(gòu)行波動(dòng)力學(xué)建?；A(chǔ)上，對梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行功率流主動(dòng)控制，以抑制梁式結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流的傳遞。

圖2 Timoshenko梁功率流主動(dòng)控制圖Fig.2 The diagram of power flow active control for Timoshenko beam

由圖2，擾動(dòng)力作用于x0位置，控制力作用于xs位置，由式(18)，控制力Fseiωt產(chǎn)生的響應(yīng)為:

式中:wxs(x)、φxs(x)同wx0(x)、φx0(x)，僅主動(dòng)控制力Fseiωt作用位置處連續(xù)條件不同。

由式(18)、式(20)知，當(dāng)擾動(dòng)力與控制力共同作用時(shí)，懸臂梁的彎曲波位移、轉(zhuǎn)角為:

彎矩、剪力為:

將式(21)、(22)代入式(19)得:

式中:

由功率流Pxa對控制力Fs的實(shí)部與虛部偏導(dǎo)數(shù)為0，得最優(yōu)控制力為:

將式(24)代入式(23)可得通過懸臂梁x截面的最小功率流。即通過優(yōu)化功率流獲得控制力大小、相位，以實(shí)現(xiàn)梁式結(jié)構(gòu)功率流傳播的主動(dòng)控制。

3 仿真算例與分析

以懸臂Timoshenko梁為例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算分析，首先計(jì)算其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)并與有限元方法計(jì)算結(jié)果比較，分析行波方法計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的精確性;在此基礎(chǔ)上，基于Timoshenko梁理論獲得結(jié)構(gòu)中傳播的功率流，并與Euler-Bernoulli經(jīng)典梁結(jié)果對比;通過計(jì)算分析，對梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行功率流主動(dòng)控制，對比Timoshenko梁控制前后傳播的功率流，驗(yàn)證功率流主動(dòng)控制方法的正確性與有效性。

3.1 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真算例與分析

圖2懸臂Timoshenko梁結(jié)構(gòu)幾何尺寸:長L=4 m，寬度b=0.02 m，厚度h=0.02 m;彈性模量E=2.0 ×1011N/m2;密度ρ=7 800 kg/m3;泊松比ν=0.3;阻尼因子η=0.001;擾動(dòng)力F0eiωt(F0=1 N)作用于x0=1 m 處;控制力Fseiωt作用于xs=2.5 m 處;誤差傳感器位于xe=3 m處。仿真結(jié)果見圖3、圖4。

圖3為擾動(dòng)力F0eiωt作用于懸臂梁x0=1 m處時(shí)，x=3 m處橫向位移頻響函數(shù)的行波解及將結(jié)構(gòu)分別劃分為64、128、256梁單元的有限元解。

圖4為分別基于Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli經(jīng)典梁理論x=3 m截面處功率流對比。

圖3 有限元與行波方法計(jì)算Timoshenko梁動(dòng)力學(xué)響應(yīng)Fig.3 Comparison of dynamic response in the Timoshenko beam by FEM and traveling wave method

圖4 Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli梁理論計(jì)算懸臂梁結(jié)構(gòu)中功率流Fig.4 Power flow of cantilever beam calculated by Timoshenko and Euler-Bernoulli beam theory

由圖3看出，基于模態(tài)疊加的有限元方法計(jì)算結(jié)果在低頻段與行波方法計(jì)算結(jié)果吻合較好。在中、高頻段，隨著單元的增加，有限元方法解逐漸趨向行波解。其差別原因在于有限元采用模態(tài)疊加方法，在求解過程中存在截?cái)嗾`差，且高階模態(tài)計(jì)算不準(zhǔn)確;而行波方法不受模態(tài)限制，可精確計(jì)算結(jié)構(gòu)在全頻域的響應(yīng)。

由圖4知，兩種梁理論計(jì)算功率流的結(jié)果不同，由Timoshenko梁理論計(jì)算的共振頻率明顯低于由Euler-Bernoulli梁理論計(jì)算結(jié)果。其原因?yàn)?Euler-Bernoulli梁理論中未考慮結(jié)構(gòu)剪切變形影響，梁的剪切剛度認(rèn)為無窮大，而梁的實(shí)際剪切剛度是有限的。Timoshenko梁理論中考慮了剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，在高頻段及中、低頻段影響梁結(jié)構(gòu)的功率流傳播，使計(jì)算的共振頻率低于Euler-Bernoulli理論結(jié)果，且結(jié)果更接近真實(shí)梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。

3.2 功率流主動(dòng)控制仿真算例

對圖2懸臂Timoshenko梁進(jìn)行功率流主動(dòng)控制仿真，初始條件同3.1節(jié)。圖5～圖7分別為主動(dòng)控制前后功率流對比圖、最優(yōu)控制力圖及控制力作用不同位置的功率流主動(dòng)控制效果圖。

圖5 x=3 m截面處控制前后功率流對比(dB ref:10-10w)Fig.5 Comparison of power flow atx=3 m with control and without control(dB ref:10-10w)

圖5、圖6分別為懸臂Timoshenko梁功率流主動(dòng)控制效果圖及最優(yōu)控制力圖。由圖5看出:用功率流主動(dòng)控制方法可明顯降低梁結(jié)構(gòu)中功率流傳播，且在全頻域中功率流平均衰減約60 dB。因此，功率流主動(dòng)控制可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)在全頻域范圍的最優(yōu)控制。由最優(yōu)功率流優(yōu)化可得圖6的控制力，通過前饋、x濾波、最小均方(LMS)、自適應(yīng)算法可抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)功率流傳遞。

圖6 功率流主動(dòng)控制下的最優(yōu)控制力Fig.6 The optimal control force with active control of power flow

圖7 控制力作用于不同位置處的功率流Fig.7 The power flow for different locations excited by control force

圖7為控制力作用于懸臂Timoshenko梁不同位置的功率流控制效果圖。由圖7看出:① 無論控制力作用于懸臂梁結(jié)構(gòu)的任何位置，只要通過優(yōu)化功率流給出控制力并施加控制均可較好實(shí)現(xiàn)懸臂梁結(jié)構(gòu)全頻率下功率流主動(dòng)控制［16］，且控制力位置距誤差傳感器越遠(yuǎn)，控制效果越明顯。其原因在于:當(dāng)控制力作用位置接近誤差傳感器位置，控制力近場效應(yīng)會(huì)對誤差傳感器產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響控制效果。② 低頻段控制力位置對控制效果影響顯著，但對中高頻段，控制力位置對功率流的控制效果影響較小。其原因?yàn)榻鼒鲂?yīng)影響隨頻率的升高而逐漸減少［4］。

4 結(jié)論

本文對Timoshenko梁結(jié)構(gòu)功率流主動(dòng)控制方法進(jìn)行理論研究，基于行波方法，建立Timoshenko梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程并計(jì)算其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，在仿真分析并與Euler-Bernoulli梁理論進(jìn)行對比基礎(chǔ)上，研究Timoshenko梁結(jié)構(gòu)的功率流主動(dòng)控制方法，結(jié)論如下:

(1)行波方法可精確計(jì)算Timoshenko梁結(jié)構(gòu)全頻域動(dòng)力學(xué)響應(yīng);

(2)通過Timoshenko梁理論與Euler-Bernoulli經(jīng)典梁理論計(jì)算結(jié)果對比，因Timoshenko梁理論考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響，共振頻率明顯低于Euler-Bernoulli經(jīng)典梁理論計(jì)算結(jié)果;而在中高頻動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析中，Timoshenko梁理論結(jié)果更精確，且分析結(jié)果更接近工程實(shí)際。

(3)在Timoshenko梁行波動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，可獲得Timoshenko梁結(jié)構(gòu)中傳播的功率流，以此為目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)優(yōu)化控制力可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)整體抖動(dòng)控制。

(4)功率流主動(dòng)控制能克服傳統(tǒng)方法中高頻控制受限與不能有效控制中高頻擾動(dòng)的缺點(diǎn)及不足，實(shí)現(xiàn)梁結(jié)構(gòu)全頻域的抖動(dòng)抑制，且控制力位置選擇對功率流主動(dòng)控制效果影響甚微。

本文基于Timoshenko梁理論給出的懸臂梁精確動(dòng)力學(xué)模型與功率流主動(dòng)控制方法，可應(yīng)用于耦合梁、平面與空間桁架等更復(fù)雜的梁式結(jié)構(gòu)中。

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