基于獨立分量分析的欠定盲源分離方法

楊 杰，俞文文，田 昊，關(guān)珍貞

(1.軍械工程學(xué)院，石家莊 050003;2.華陰兵器試驗中心，陜西 華陰 714200)

齒輪箱發(fā)生故障時常出現(xiàn)多種故障并發(fā)情形，用診斷單一故障的頻譜診斷法、軸心軌跡法、小波診斷法已不再有效，而盲源分離技術(shù)為較有效的機械復(fù)合故障診斷方法。但已有研究基本針對超定盲分離而言，即要求觀測器個數(shù)多于或等于源信號個數(shù)。少于源信號個數(shù)的欠定盲分離問題，已成為盲信號處理領(lǐng)域中挑戰(zhàn)性問題。

源數(shù)多于傳感器數(shù)時，機械故障源分離主要考慮稀疏源，利用源信號稀疏性估計混合矩陣;源稀疏性較好時，通過聚類方法可達(dá)到較好的盲分離效果［1-2］。源信號稀疏性較差時，雖可利用稀疏性得到混合矩陣估計，但通過聚類方法得不到較好的分離效果。

獨立分量分析(ICA)是解決盲源分離問題(BSS)的主要算法，其可使輸出信號各分量統(tǒng)計獨立以實現(xiàn)信號分離。已有多種不同算法［3-5］，如擴展Infomax算法。由于其既能分離超高斯信號，也能分離亞高斯信號，因而得到廣泛應(yīng)用。但該算法只能用于超定盲分離。本文提出的欠定ICA算法，通過生成隱藏數(shù)據(jù)將欠定盲分離轉(zhuǎn)化為超定盲分離問題，再用擴展Infomax算法對信號進行分析。該方法可分離欠定情形下超高斯與亞高斯混合信號。結(jié)合包絡(luò)階次方法對齒輪箱實測瞬態(tài)信號進行分析，找到故障特征，驗證該方法的有效性。

1 基于獨立分量分析的盲源分離算法

1.1 獨立分量分析問題描述

圖1為x(t)由m個傳感器獲得m路觀測信號，每個觀測信號由n個獨立源信號si(t)(i=1，2，…，n)的線性混合，即:

式中:x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xm(t)］T為m個混合信號，s(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sn(t)］T為n個未知源信號，A=［a1，a2，…，an］為未知的m×n維混疊矩陣，ICA算法目的為從多路觀測信號x中分離出隱含其中的源信號s，即尋找分離矩陣W，有:

式中:u(t)=［u1(t)，u2(t)，…，um(t)］T為對隱含源信號分量s的逼近。

圖1 盲源分離原理圖Fig.1 The principle sketch of blind source separation

1.2 擴展的Infomax算法

Infomax算法［4］處理過程為:經(jīng)矩陣W解混后對所得u的每個分量ui分別用一個非線性函數(shù)gi(ui)進行處理，得:

自適應(yīng)處理目標(biāo)函數(shù)可調(diào)節(jié)W使r的總熵量H(r，W)極大，由信息理論知，H(r，W)極大表示u的各分量間互信息I(u1，…，uN)極小。傳統(tǒng)Infomax算法中分離矩陣W迭代式為:

源信號中既有超高斯信號又有亞高斯信號時，采用φ(u)的選擇將無法得到滿意分離，Lee等［6］在傳統(tǒng)Infomax基礎(chǔ)上提出擴展的Infomax算法。在信號分離過程中，根據(jù)信號峰度變化，轉(zhuǎn)換動態(tài)模型系數(shù)。分離矩陣調(diào)整公式為:

式中:K=diag［sign(k4(u1))，…，sign(k4(uN))］，k4(·)為信號峭度，超高斯情況k4＞0，亞高斯情況k4＜0，輸出信號ui峭度可計算如下:

式中:E(·)表示期望，處理過程中可用樣本均值進行估計。

過了兩天，噩耗傳來，水老師病逝了。送葬的人很多，遠(yuǎn)在上海的蔣海峰也陪父親來了。他又經(jīng)歷了一次失敗的婚姻，還是沒有孩子，問題出在自己，他徹底崩潰了。

2 欠定ICA算法

對欠定盲分離問題，大多數(shù)算法均在假設(shè)源信號稀疏前提下采用聚類或優(yōu)化算法。該算法對不稀疏信號無能為力;對亞高斯信號缺乏有效欠定盲分離方法。

本文通過生成隱藏數(shù)據(jù)z，將欠定盲分離問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)超定盲分離問題，從而應(yīng)用傳統(tǒng)的ICA算法進行分離。隱藏數(shù)據(jù)z的生成通過最大化已知混疊信號x和解混矩陣W條件概率實現(xiàn)，有:

生成隱藏數(shù)據(jù)z后，源信號分離問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)盲源分離問題，如圖2所示，新的混疊信號為:

式中:y∈?n，z∈?n-m。

圖2 欠定ICA算法流程圖Fig.2 Block diagram of underdetermined ICA

為較好估計隱藏數(shù)據(jù)z，需較準(zhǔn)確估計源信號的概率密度。概率密度估計方法分參數(shù)估計與非參數(shù)估計。參數(shù)估計方法，需假定作為判別依據(jù)的、隨機取值的數(shù)據(jù)樣本在各個可能的類別中均服從特定分布經(jīng)驗及理論說明，參數(shù)模型的基本假定與實際物理模型間常存在較大差距，因此該方法并非總能取得滿意結(jié)果。鑒于此，Rosenblatt等［7］提出非參數(shù)估計方法，即核密度估計方法。由于核密度估計方法不用有關(guān)數(shù)據(jù)分布的先驗知識，對數(shù)據(jù)分布不附加任何假定，從數(shù)據(jù)樣本本身出發(fā)研究數(shù)據(jù)分布特征，因此非常適用于信號盲處理。

給定獨立同分布隨機變量X的一組實現(xiàn)X1，X2，…，Xn，X的概率密度可估計為:

式中:K(x)稱為概率密度函數(shù)估計核函數(shù)，要求K(x)滿足條件:

(1)K(x)對稱，即K(x)=K(-x);

基于擴展Infomax的欠定ICA算法為:

(1)初始化分離矩陣W;

(2)給定觀測信號x與分離矩陣W后，據(jù)式(10)及當(dāng)前估計源信號u的核密度估計式(12)由極大似然估計法生成隱藏數(shù)據(jù)z;

(3)由擴展Infomax算法，式(5)更新分離矩陣W，式(2)估計當(dāng)前源信號u;

(4)返回步驟(1)直到算法收斂。

3 仿真信號分析

選一標(biāo)準(zhǔn)的Laplace信號作為仿真超高斯源信號s1(t);選s2(t)=sin(40πt)sin(600πt)，s3(t)=sin(200πt)作為仿真兩亞高斯源信號，采樣點數(shù)為1 200，用Matlab產(chǎn)生的隨機混合矩陣A對源信號進行混合產(chǎn)生混合信號X=A*［s1;s2;s3］，三個源信號與兩路混疊信號波形如圖3所示。圖4為分離后信號，可以看出，除ICA算法本身固有的分離信號排列順序及幅值不確定性，信號分離效果較好。

圖3 源信號與混疊信號Fig.3 Source signals and mixed signals

圖4 分離信號Fig.4 Separated signals

圖5 實測振動信號Fig.5 Vibration signals

圖6 實測振動信號的包絡(luò)階次譜圖Fig.6 Order envelope spectrum of vibration signals

圖7 分離信號時域圖Fig.7 Separated signals

4 齒輪箱復(fù)合故障信號分析

用某型單級齒輪箱進行試驗驗證。該系統(tǒng)由電機帶動輸入軸，輸出軸帶動負(fù)載。主動齒輪齒數(shù)Z1=30，被動齒輪齒數(shù)Z2=50，輸入軸軸承為6206型單列向心滾動軸承，輸出軸軸承為7207型單列向心滾動軸承，通過在齒輪嚙合面切去一定厚度材料模擬齒面磨損故障。軸承故障是在輸入軸軸承內(nèi)圈和滾動體通過線切割實現(xiàn)，對振動信號在時域里進行等時間間隔采樣，輸入軸轉(zhuǎn)速由0均勻加速1 200 r/min，對加速過程的振動信號進行分離實驗。內(nèi)圈故障特征階次為Xinner=5.42階，外圈故障特征階次為Xouter=3.58階，滾動體故障特征階次為Xroller=2.35階。

由于機械結(jié)構(gòu)振動信號通過結(jié)構(gòu)傳遞產(chǎn)生延遲，機械系統(tǒng)瞬態(tài)特征不會保持不變。但當(dāng)考慮一剛度很大、位移很小的結(jié)構(gòu)時，其振動傳遞延遲可忽略不計，可保持瞬態(tài)模型。為此，認(rèn)為齒輪箱振動信號滿足線性瞬時混合模型。

在輸入軸兩端軸承座上各安裝一個型號為B＆K4508加速度傳感器，兩個傳感器采集的振動信號時域如圖5所示，隨轉(zhuǎn)速的提高，信號幅值逐漸增大，此為非穩(wěn)態(tài)過程。由于階次包絡(luò)譜［8］能有效提取旋轉(zhuǎn)機械升降速過程中的故障特征階次，因此本文采用階次包絡(luò)譜方法進行分析。實測振動信號階次包絡(luò)譜如圖6所示，從圖中只能看到軸承內(nèi)圈故障的特征階次，而外圈及滾動體故障特征卻因噪聲及混合故障存在變得不明顯。

采用本文所提欠定ICA算法對實測振動信號進行處理，分離信號時域圖如圖7所示，從時域上并不能直觀看出分離效果，圖8為分離信號包絡(luò)階次譜圖，從圖8(a)、(b)、(c)三幅圖中分別可看出內(nèi)圈、外圈和滾動體故障的特征階次，說明欠定ICA算法可將三種故障成功分離。

圖8 分離信號的包絡(luò)階次譜圖Fig.8 Order envelope spectrum of separated signals

5 結(jié)論

將獨立分量分析引入欠定盲分離問題中，解決了欠定情形下超高斯與亞高斯混合信號的分離問題，為欠定盲分離提供了新方法，同時擴展了獨立分量分析的應(yīng)用范圍。通過對實測齒輪箱故障信號分析，表明該方法可有效分離齒輪箱故障特征，驗證了方法的有效性。

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