合理轉(zhuǎn)換圖形，巧解線段最值
——對一道中考題的解法分析與探究

☉江蘇省沛縣教師發(fā)展中心 甘 磊

一、考題再現(xiàn)及思路突破

1.考題再現(xiàn)

（1）試證明AC是⊙O的切線；

（2）如果點F是線段AO的中點，OE=3，試求圖1中陰影的面積；

（3）在條件（2）成立的情況下，已知點P是BC邊上的一個動點，當(dāng)PE+PF取得最小值時，請直接寫出BP的長.

圖1

2.思路突破

分析：本題目為常見的幾何問題，涉及到圓和三角形等基本圖形，求解需結(jié)合基本的幾何知識.（1）證明切線可以過點O作AC邊上的垂線，如垂線為OM時，只需證明OM與圓的半徑相等即可；（2）陰影部分的圖形不規(guī)則，可以將其視為△AOE中切去扇形OEF獲得的，即S陰影=S△AOE-S扇形OEF，然后分別利用面積公式求出△AOE和扇形OEF的面積即可完成求解；（3）在（2）的條件下求PE+PF的最小值時的BP長，實際上就是求點P的具體位置，可以作關(guān)于線段BC，點E的對稱點G，連接FG，則此時FG的長度就是PE+PF的最小值，F(xiàn)G與BC的交點就是滿足條件的點P的位置，即可求出BP的長.

解：（1）過點O作AC邊上的垂線，垂足為點M，如圖2.因為AB=AC，AO⊥BC，則∠BAO=∠CAO，又知OE⊥AB，OM ⊥AC， 則 △AEO?△AMO，故OE=OM.因為OE為⊙O的半徑，所以O(shè)M同為⊙O的半徑，則AC是⊙O的切線.

（2）S陰影=S△AOE-S扇形OEF，其中

圖2

（3）作點E關(guān)于線段BC的對稱點G，連接EG交BC于點H，連接FG交BC于點P，可知EP=GP，由于點G、P、F處于同一直線上，則此時的PE+PF最小.在Rt△EHO中，EH=EOsin∠EOH=，BH=，△EHP～△FOP，則2HP=OP.又因為HO=HP+OP，可得HP=，所以BP=BH+HP=.

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3.考題評析

題目中是中考典型的幾何綜合題，圖形由三角形和半圓綜合而成，前兩問是常規(guī)的證明和陰影面積求值問題，分別利用垂線段與圓半徑相等和面積的割補(bǔ)法來完成，難度適中.問題第（3）問求PE+PF取得最小值時BP的長，需要確定點P的位置，屬于三點之間線段的最值問題，求解時將位于不同直線上的兩條線段通過軸對稱的方式轉(zhuǎn)化到同一直線上，從而確立了線段和的最小值，問題中隱含著研究線段和的最值模型，下面將深入探究.

圖3

二、最值研究模型的探究

1.教材模型

考題第（3）問基于幾何轉(zhuǎn)化思想，利用軸對稱變換的方式來解決線段和的最值，其利用的理論依據(jù)是：兩點之間，線段最短.該問題模型與教材中常見的水廠選址問題相類同：如圖3,在一條小河的同一側(cè)有兩個村莊A和B，現(xiàn)要在小河邊建一座自來水廠為兩個村莊供水，如果要使廠址到兩個村莊的供水管道最短，那么廠址應(yīng)選在什么位置，試說明理由？

教材問題需要確定廠址的位置，若設(shè)廠址為P，則需要確保AP+BP的值最小，與考題在本質(zhì)上是相同的，即有著同樣的問題模型，具體的做法是：將小河抽象為一條直線，作點A關(guān)于線段l的對稱點A1，連接A1B，與直線l相交于點P，如圖4，此時AP+PB取得最小值，則點P就為自來水廠的最佳選址.

圖4

2.思路分析

通過軸對稱轉(zhuǎn)化的方式可以確定AP+PB取最小值時點P的具體位置，可以在直線l上構(gòu)造異于點P的一點M來分析：取一點M，同樣連接AM和MB，在△BMA1中，BM+A1M＞A1B.因為A1B=A1P+PB，則BM+A1M＞A1P+PB，根據(jù)軸對稱的特性可知，AM=A1M，AP=A1P，則有BM+MA＞AP+PB，因此異于點P的一點M獲得的線段和大于點P獲得的線段和，可知軸對稱轉(zhuǎn)化的方式可以獲得線段和的最小值.

三、線段和最值問題的探究

考題的線段和問題可以等效為固定直線上一動點P，求定點E、F與動點P之間的距離和PE+PF的最小值，屬于三點之間的線段和的最值問題，在動點形式和解法上都具有一定的代表性，同時近幾年的中考題也都基于上述兩點來進(jìn)行考查，現(xiàn)結(jié)合2018年中考題分別從問題條件和問題解法兩個方面進(jìn)行變式探究.

1.問題條件變式

中考題中關(guān)于線段和的最值問題具有多種形式，上述考題中的三點具體為兩點固定、一點移動，也可以將其變?yōu)橐稽c固定，兩點運動，同樣求解線段和的最值，現(xiàn)結(jié)合考題分析.

（2018年廣東廣州市中考卷第23題）如圖5所示，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD.

（1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE；②如果CD=2，AB=4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值.

分析：主要分析第（2）問的②，問題中的點M，N分別是AE，AB上的動點，求其最小值同樣可以利用軸對稱轉(zhuǎn)化的方式，作點B關(guān)于線AE的對稱點F，當(dāng)點F、M和N位于同一直線，且FN⊥AB時，如圖6，BM+MN可取得最小值，只需求得相關(guān)線段即可.

解：（2）②過點D作DP⊥AB，垂足為點P，作AD上取一點F，使得CD=DF，由1可知此時AF=AB，即點B、F關(guān)于直線AE對稱，過點F作AB的垂線，垂足為N，令FN交AE于點M，連接BM，此時BM=FM，點F、M和N位于同一直線，且FN⊥AB，此時BM+MN有最小值，且BM+MN=FM+MN，分析可知，△AFN～△ADP，則=，其中AF=4，AD=6.在Rt△APD中，可以求得DP=4，則FN=，即BM+MN的最小值為

圖5

圖6

上述考題同樣是求三點之間線段和的最值，所不同的是存在兩個動點，但同樣可以依據(jù)“兩點之間，線段最短”的原理，通過軸對稱轉(zhuǎn)換的方式來求解.在細(xì)節(jié)處理上首先選定其中一動點所在直線為頂點與另一動點的對稱軸，并確定其中一動點的位置，然后連接兩點確定對稱軸上的另一動點的位置，從而使三點位于同一直線上，進(jìn)而確定線段和的最小值.該種思路可以用于存在兩動點的線段和最值求解.

2.最值解法上的拓展

對于線段和的最值問題，除了可以采用軸對稱轉(zhuǎn)換的方式還可以采用等效轉(zhuǎn)換的方式，即通過線段長度等效的方式，將位于不同直線上的線段在同一直線上進(jìn)行長度等效，轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離，然后依據(jù)條件來確定線段和的最值，該種解法在考題中也有體現(xiàn)，下面結(jié)合考題詳細(xì)講解.

（2018年江蘇無錫市中考卷第18題）如圖7所示，已知∠XOY=60°，點A位于邊OX上，且OA=2，過點A作AC⊥OY于點C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點P是△ABC圍成區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點，過點P作PD∥OY，交OX于點D，作PE∥OX，交OY于點E，設(shè)OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是__________.

分析：求a+2b的取值范圍，就是求EP+2DP的最值，其中點P是△ABC圍成區(qū)成內(nèi)的一動點，可以先對a+2b進(jìn)行變形，即a+2b=2 （a +b），可以在OC的延長線上取一點H，使得EH=a，則a+b=EH+OE=OH，且三點均位于同一直線上，由于點O固定，則可以通過研究點H距O點的距離來確定線段和的取值范圍.

圖7

圖8

解：過點P作OY的垂線PH，垂足為點H，如圖8，在Rt△EHP中，∠PEH=60°，EP=a，則EH=a，a+2b=2（a+b）=2（EH+OE）=2OH，由于點P位于△ABC圍城區(qū)域內(nèi)，則當(dāng)點P運動到C點時，OH的長度最短，即a+2b取得最小值，2OHmin=2OC=2，當(dāng)點P運動到B點時，2OH的長度最長，即a+2b取得最大值，此時2OHmax=2（OE+EH）=2×（1+）=5.所以a+2b的取值范圍為2≤a+2b≤5.

上述考題采用的是對線段長度的等效轉(zhuǎn)化，即在同一直線上取截問題研究的兩線段長，將其合并為同一線段，實現(xiàn)三點共線，利用的是同一直線上研究兩點之間距離最值的便利性，同時在求解時對線段和進(jìn)行了一定的變形處理，并用點距離來表示，使得分析問題更為直觀.

四、解后思考，學(xué)習(xí)建議

線段和的最值問題，實際上幾何中的動點問題，由于進(jìn)行求和的兩條線段位于不同的直線上，因此無論是軸對稱變換法，還是長度等效轉(zhuǎn)換法.實際上都是為了將兩條線段轉(zhuǎn)換到同一直線上，雖轉(zhuǎn)換形式不同，但都是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的利用.學(xué)習(xí)使用上述兩種方式時首先需要透徹理解方法的實質(zhì)，如軸對稱轉(zhuǎn)換，建立關(guān)于直線的對稱點僅是解題的表面形式，實質(zhì)上利用的是軸對稱所構(gòu)成的三角形全等性質(zhì)；而長度等效轉(zhuǎn)換則更為直接，就是在同一直線上進(jìn)行的等長截取，方法的核心要素是長度等效，利用的是幾何性質(zhì)來完成.

對于線段的求和問題，數(shù)形結(jié)合思想貫穿解題始終，具有兩種思想方法作指導(dǎo)：一是利用幾何圖形為導(dǎo)向直接建立問題求解的具體思路，然后利用代數(shù)方法來計算求解，即以形助數(shù)；二是基于代數(shù)對線段長度的精準(zhǔn)表達(dá)意義來進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換，該種方式主要體現(xiàn)在長度等效轉(zhuǎn)換上，即以數(shù)解形.合理采用數(shù)形結(jié)合的解題方式，可以從抽象問題中提煉基本的模型，實現(xiàn)問題模型的準(zhǔn)確分析.另外對于線段和的求值問題教材習(xí)題中有較為詳細(xì)的實例，合理抽象模型往往可以獲得豐富的解題經(jīng)驗，利于考題的分析求解.

了解問題的基本模型，理解方法的核心思想，掌握解法的求解思路是求解線段和最值問題的關(guān)鍵，在平時的學(xué)習(xí)中除了需要學(xué)習(xí)方法，還需要鞏固基本的幾何知識，靈活運用，巧妙求解.