基于擴(kuò)展的跳躍SV模型的全國(guó)社?；鸩▌?dòng)研究

江紅莉，何建敏，莊亞明

（1.江蘇大學(xué) 財(cái)經(jīng)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2.東南大學(xué) 經(jīng)管學(xué)院，江蘇 南京 211189）＊

一、引 言

為了探索社?；鸨Ｖ翟鲋档那?，2000年黨中央、國(guó)務(wù)院決定建立“全國(guó)社會(huì)保障基金”，同時(shí)設(shè)立“全國(guó)社會(huì)保障基金理事會(huì)”（簡(jiǎn)稱(chēng)社?；饡?huì)），負(fù)責(zé)管理運(yùn)營(yíng)全國(guó)社會(huì)保障基金（簡(jiǎn)稱(chēng)全國(guó)社?；穑?。按照《全國(guó)社會(huì)保障基金投資管理暫行辦法》的規(guī)定，社?；饡?huì)直接運(yùn)作的社會(huì)保障基金的投資范圍限于銀行存款、在一級(jí)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)國(guó)債，其他投資需委托社會(huì)保障基金投資管理人管理和運(yùn)作并委托社會(huì)保障基金托管人托管。2010年全國(guó)社?；鹂傤~為23 886億元，近9成存入銀行，2011年7月CPI增幅已經(jīng)達(dá)到了6.5%，幾乎是一年期利率的兩倍，全國(guó)社?；鹈媾R著巨大的貶值風(fēng)險(xiǎn)。在高通脹的背景下，如何實(shí)現(xiàn)全國(guó)社保基金的保值增值？是否能讓其大規(guī)模地進(jìn)入金融市場(chǎng)？測(cè)度社保基金投資于金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)是回答這一問(wèn)題的關(guān)鍵，而社?；鹗找媛实牟▌?dòng)則是風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的關(guān)鍵。

資產(chǎn)收益波動(dòng)在大量的金融實(shí)踐中扮演著關(guān)鍵性角色，它是資本資產(chǎn)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理和投資組合理論的核心變量。ARCH（GARCH）模型和SV（Stochastic Volatility）模型是波動(dòng)建模的常用模型，SV模型中的方差由一個(gè)不可觀測(cè)的隨機(jī)過(guò)程決定，因此，它被認(rèn)為更加適合金融領(lǐng)域的實(shí)際研究［1，2］。金融市場(chǎng)經(jīng)常受到外在因素（如重要消息或突發(fā)事件）的沖擊，資產(chǎn)收益率就會(huì)在短時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)大幅波動(dòng)，即所謂的“跳躍”現(xiàn)象。Chib等（2002）提出了收益率方程中帶有協(xié)變量（covariate）的跳躍厚尾SV模型［3］。Berg等（2004）基于DIC準(zhǔn)則比較了各種SV模型的建模效果，發(fā)現(xiàn)跳躍SV模型對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)擬合較好［4］。Nakajima（2009）和Kobayashi（2009）也在SV模型中加入了跳躍過(guò)程，以增強(qiáng)SV模型對(duì)于金融市場(chǎng)中突發(fā)事件的解釋能力［5，6］。Todorov（2011）研究了時(shí)變的跳躍SV模型，實(shí)證發(fā)現(xiàn)其建模效果優(yōu)于非時(shí)變跳躍SV模型［7］。國(guó)內(nèi)也有學(xué)者對(duì)跳躍SV模型進(jìn)行了研究，周彥等（2007）研究了跳躍連續(xù)時(shí)間SV模型［8］；王春峰等（2009）分析了連續(xù)時(shí)間內(nèi)，收益與波動(dòng)過(guò)程存在相關(guān)無(wú)限活躍列維跳躍的隨機(jī)波動(dòng)模型以及仿射跳躍擴(kuò)散模型（AJD）［9］；姚寧和毛甜甜（2009）基于跳躍擴(kuò)散模型研究了中國(guó)股市和期市風(fēng)險(xiǎn)關(guān)聯(lián)性［10］；朱慧明等（2010）提出了基于狀態(tài)空間的貝葉斯跳躍厚尾金融隨機(jī)波動(dòng)模型［1，2］；高延巡等（2010）基于雙跳躍隨機(jī)波動(dòng)模型研究了股市波動(dòng)跳躍行為［11］。本文將進(jìn)一步對(duì)跳躍的SV模型進(jìn)行擴(kuò)展，在傳統(tǒng)的跳躍SV模型的對(duì)數(shù)波動(dòng)率方程中考慮協(xié)變量，設(shè)計(jì)該模型參數(shù)估計(jì)的MCMC算法，并基于該模型實(shí)證研究全國(guó)社保基金波動(dòng)的特征。

二、跳躍SV的建模分析

（一）擴(kuò)展的跳躍SV模型

傳統(tǒng)的跳躍SV模型為：

其中，yt為t時(shí)刻的觀測(cè)變量，表示第t日去掉均值后的收益；θt為潛在波動(dòng)的對(duì)數(shù)形式；｛εt｝和｛ηt｝是相互獨(dú)立的序列，均不可觀測(cè)；μ為波動(dòng)方程的常數(shù)項(xiàng)，表示對(duì)數(shù)波動(dòng)率θt的均值；φ為波動(dòng)的持續(xù)性參數(shù)，對(duì)于｜φ｜＜1，SV模型是協(xié)方差平穩(wěn)的；τ為對(duì)數(shù)波動(dòng)θt的標(biāo)準(zhǔn)差。

stqt表示一個(gè)跳躍過(guò)程，st表示跳躍幅度，qt表示跳躍的頻率。其中，qt服從參數(shù)為κ（0＜κ＜1）的伯努利分布b（1，κ），即qt＝1的概率為κ，qt＝0的概率為1－κ。根據(jù)Berg等（2004）［3］，跳躍幅度st滿足：ln（1＋st）～N（－δ2/2，δ2）。

全國(guó)社?；鹨晕型顿Y的模式在金融市場(chǎng)上投資，截至到2010年，共有16家基金管理公司和2家券商作為全國(guó)社?；鸬膰?guó)內(nèi)投資管理人。這就意味著全國(guó)社?；鹜顿Y可能會(huì)受基金管理公司旗下基金產(chǎn)品投資的影響。因此，將經(jīng)典的跳躍SV模型進(jìn)行擴(kuò)展，即在式（1.2）中增加這16家基金管理公司旗下基金產(chǎn)品收益率的對(duì)數(shù)ARCH項(xiàng)，以更準(zhǔn)確地刻畫(huà)全國(guó)社保基金收益率的波動(dòng)特征。

但是，這16家基金管理公司，每家基金管理公司旗下的產(chǎn)品種類(lèi)、數(shù)量、投資風(fēng)格都不太一樣，無(wú)法同時(shí)考慮每一家基金管理公司旗下的所有基金產(chǎn)品?；诤?jiǎn)單但不失代表性的原則，用基金重倉(cāng)指數(shù)代表這16家基金管理公司旗下的基金產(chǎn)品，進(jìn)而研究基金管理公司對(duì)全國(guó)社保基金收益率波動(dòng)的影響。擴(kuò)展的跳躍SV模型如下：

（二）擴(kuò)展跳躍SV模型的MCMC算法

令γt＝ln（1＋st），得st＝exp（γt）－1，跳躍過(guò)程stqt可以替換為（exp（γt）－1）qt，于是式（2.1）和（2.2）可表示成：

如果對(duì)式（3）（觀測(cè)方程）進(jìn)行移項(xiàng)，并在等式兩邊取對(duì)數(shù)，則有：

式（4）表示觀測(cè)方程，式（3）表示狀態(tài)方程。~yt為觀測(cè)變量，θt為不可觀測(cè)的狀態(tài)變量，ξt和ηt為相互獨(dú)立的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。將跳躍厚尾SV模型表示為線性狀態(tài)空間模型的形式，便于在狀態(tài)空間模型框架下利用Kalman濾波得到θ｛｝t的最小均方誤差無(wú)偏估計(jì)。

在實(shí)際應(yīng)用中，yt表示金融資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率，所以，跳躍幅度st是非常小的，通常用10－2來(lái)度量，由此，exp（γt）－1近似等于γt，stqt就可以表示為γtqt。此處，stqt的近似對(duì)于跳躍SV模型的MCMC算法設(shè)計(jì)是非常重要的，因?yàn)樵趯?duì)跳躍尺度參數(shù)δ進(jìn)行抽樣時(shí)，可以由條件密度進(jìn)行。

關(guān)于γt求積分，得到條件密度函數(shù)由此，從后驗(yàn)分布＋exp（θt））中抽取δ變得可行，其中π（δ）表示δ的先驗(yàn)分布。

通過(guò)式（3）和（4）構(gòu)成的線性狀態(tài)空間模型以及stqt的近似處理，可以得到擴(kuò)展跳躍SV模型參數(shù)估計(jì)的MCMC算法。具體步驟如下：

步驟6：用前一步迭代更新的樣本作為下一步迭代的初始值，重復(fù)步驟2～6。

（三）模型的選擇：貝葉斯因子

貝葉斯因子最初應(yīng)用于假設(shè)檢驗(yàn)范疇，后由Kass和Raftery等（1998）［12］引入到模型比較領(lǐng)域，它定義為兩個(gè)模型的邊緣似然函數(shù)之比，用公式表示如下：

其中，B12表示模型m1對(duì)模型m2的貝葉斯因子，f（y｜m1）和f（y｜m2）分別表示模型m1和m2模型 的邊緣似然函數(shù)。邊緣似然函數(shù)f（y｜m），m∈｛m1，m2｝，可以表示為：

其中，f（y｜Θm，m）表示參數(shù)為Θm的模型m的似然函數(shù)。由公式（6）可以看出，模型的邊緣似然函數(shù)考慮到了模型各個(gè)參數(shù)的所有取值的可能性，因此，利用貝葉斯因子進(jìn)行模型比較，可以減弱先驗(yàn)信息對(duì)于模型比較結(jié)果的影響，突出數(shù)據(jù)的重要性。

三、基于擴(kuò)展跳躍SV模型的實(shí)證分析

（一）描述性統(tǒng)計(jì)分析

基于簡(jiǎn)單但不失代表性的原則，用社保重倉(cāng)指數(shù)（社?；鹬貍}(cāng)股構(gòu)成的指數(shù)）代表全國(guó)社保基金投資組合?？紤]到數(shù)據(jù)的可獲取性，樣本時(shí)間范圍定為2006年9月29日～2011年6月1日，共1333組樣本數(shù)據(jù)。所有數(shù)據(jù)來(lái)源于大智慧的“板塊指數(shù)”。

將“社保重倉(cāng)”每日的收盤(pán)價(jià)記為Pt，將社?；鸬趖日的收益率定義為：

收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0238。收益率偏度統(tǒng)計(jì)量為負(fù)（－0.5564），意味著社?；鹗找娲嬖谥陆档目赡堋７宥冉y(tǒng)計(jì)量、J－B檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值及其相伴概率，表明社?；鹗找媛什环恼龖B(tài)分布，具有“尖峰厚尾”的特征。ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)表明收益率具有明顯的條件異方差性。Ljung－Box Q統(tǒng)計(jì)量表明社?；鸬氖找媛什淮嬖谧韵嚓P(guān)性，單位根ADF檢驗(yàn)表明，收益率序列均不存在單位根，是平穩(wěn)的。

（二）模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)

值得一提的是，實(shí)證數(shù)據(jù)為yt＝rt－rˉ，其中，rˉ為社保重倉(cāng)對(duì)數(shù)收益率的均值。

1.先驗(yàn)分布的設(shè)定。參數(shù)先驗(yàn)分布的設(shè)置是貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析的前提條件。在使用MCMC算法對(duì)擴(kuò)展的跳躍SV模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)之前，參考已有文獻(xiàn)設(shè)置模型參數(shù)的先驗(yàn)分布［3，4］。參數(shù)μ表示潛變量｛θt｝的均值，β表示潛變量｛θt｝受外生變量（基金重倉(cāng)波動(dòng)）的影響程度，關(guān)于μ和β的先驗(yàn)信息很少，因此，可以使用低信息先驗(yàn)分布，將μ和β的先驗(yàn)分布設(shè)置為：μ～N（0，100），β～N（0.001，100）；由于τ2表示潛變量｛θt｝的方差，因此，采用逆伽瑪分布作為τ2的共軛先驗(yàn)分布，參數(shù)分別為2.5和0.025，即τ2～I(xiàn)Ga（2.5，0.025），則先 驗(yàn) 均 值 為0.01；因?yàn)棣盏娜≈捣秶南薅ǎ眨?，所以設(shè)φ＝2φ＊－1，且φ＊～Beta（20，1.5），則對(duì)應(yīng)φ的先驗(yàn)均值為0.86，這是波動(dòng)持續(xù)性參數(shù)φ的一個(gè)比較典型的取值；跳躍概率參數(shù)κ的共軛先驗(yàn)分布為貝塔分布，且κ～Beta（2，100），則κ的先驗(yàn)均值為0.0196；由于跳躍尺度參數(shù)δ是一個(gè)正數(shù)，所以，將δ的先驗(yàn)分布設(shè)置為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，先驗(yàn)均值為0.02，即δ～LN（－3.9，1）。

2.收斂性診斷。采用MCMC仿真方法和OPENBUGS軟件，同時(shí)產(chǎn)生兩條具有不同參數(shù)初始值的Markov鏈，便于檢驗(yàn)擴(kuò)展的跳躍SV模型各參數(shù)的樣本分布的收斂性。首先對(duì)每個(gè)參數(shù)進(jìn)行20000次迭代，舍棄前10000個(gè)樣本進(jìn)行模擬退火，再對(duì)保存下來(lái)的后10000個(gè)樣本進(jìn)行分析。使用Gelman－Rubin收斂性診斷方法進(jìn)行收斂性檢驗(yàn)［13］，此方法通過(guò)GR統(tǒng)計(jì)量來(lái)判斷模型各參數(shù)的樣本分布是否已收斂到其后驗(yàn)分布。利用保存下來(lái)的10000個(gè)樣本，從前往后，每50個(gè)樣本計(jì)算一次GR統(tǒng)計(jì)量并畫(huà)出線圖，則可得到跳躍厚尾SV模型各參數(shù)的樣本分布收斂圖，如圖1所示。擴(kuò)展的跳躍SV模型各參數(shù)的R值，都隨著樣本量的增加而趨近于1，說(shuō)明模型參數(shù)的樣本分布已經(jīng)收斂到其后驗(yàn)分布。

（三）參數(shù)估計(jì)結(jié)果分析

為了進(jìn)行比較分析，同時(shí)基于傳統(tǒng)的跳躍SV模型、杠桿SV、SV－M、SV－T以及SV－N對(duì)社保重倉(cāng)收益率建模。表1給出了6種SV模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。

將擴(kuò)展的跳躍SV模型、傳統(tǒng)的跳躍SV模型、杠桿SV模型、SV－M模型、SV－T模型、SV－N模型依次記為m1，m2，m3，m4，m5，m6，各SV模型的對(duì)數(shù)邊緣似然函數(shù)值及對(duì)數(shù)貝葉斯因子如表2所示。

從表2可知，對(duì)數(shù)貝葉斯因子lnB12、lnB13、lnB14、lnB15和lnB16都為正，并且都大于3，因此，根據(jù)Kass和Raftery（1995）［11］制定的基于對(duì)數(shù)貝葉斯因子進(jìn)行模型比較的判定標(biāo)準(zhǔn)，可得擴(kuò)展的跳躍SV模型建模效果相對(duì)最好。

圖1 社保重倉(cāng)擴(kuò)展的跳躍SV模型參數(shù)樣本分布收斂圖

表1 基金重倉(cāng)基于各SV模型的MCMC參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表2 各SV模型的對(duì)數(shù)邊緣似然函數(shù)值及對(duì)數(shù)貝葉斯因子

由表1可知，除了擴(kuò)展的跳躍SV模型外，其余五個(gè)模型得到的波動(dòng)持續(xù)性參數(shù)φ值都達(dá)到了0.92以上，基于擴(kuò)展的跳躍SV模型得到的波動(dòng)持續(xù)性參數(shù)值僅為0.1548，說(shuō)明跳躍SV模型的對(duì)數(shù)波動(dòng)率方程中增加基金重倉(cāng)的對(duì)數(shù)ARCH項(xiàng)減少了社保重倉(cāng)的波動(dòng)持續(xù)性。

根據(jù)表1，比較社保重倉(cāng)基于擴(kuò)展的與傳統(tǒng)的跳躍SV模型建模的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)前者的跳躍頻率高于后者，前者為0.0726，后者為0.0182，說(shuō)明基金重倉(cāng)的波動(dòng)對(duì)社保重倉(cāng)的跳躍具有正向作用，基金重倉(cāng)的波動(dòng)會(huì)加劇社保重倉(cāng)的跳躍。一個(gè)可能的解釋是，社?；鹩苫鸸芾砉疚型顿Y，出于安全性的考慮，社?；鹂赡軙?huì)趨向于投資由基金管理公司重倉(cāng)持有的股票，即基金重倉(cāng)股，樣本期內(nèi)社保重倉(cāng)與基金重倉(cāng)的線性相關(guān)系數(shù)達(dá)到了0.9292，也印證了這一點(diǎn)。

為了進(jìn)行對(duì)比分析，基于傳統(tǒng)的與擴(kuò)展的跳躍SV模型對(duì)基金重倉(cāng)收益率建模（用擴(kuò)展的跳躍SV模型對(duì)基金重倉(cāng)建模時(shí)，波動(dòng)率方程中的協(xié)變量為社保重倉(cāng)，即式（2.1）和（2.2）中的yt與~xt位置互換）。表3給出了基金重倉(cāng)基于傳統(tǒng)的與擴(kuò)展的跳躍SV模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)擴(kuò)展的跳躍SV模型的跳躍頻率相對(duì)較高；為了方便對(duì)比，將社保重倉(cāng)基于擴(kuò)展的跳躍SV模型建模結(jié)果也放入表3中。

表3 基金重倉(cāng)基于擴(kuò)展的和傳統(tǒng)的跳躍 SV模型的MCMC參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表3可知，社保重倉(cāng)的對(duì)數(shù)波動(dòng)率θt的平均值μ略小于基金重倉(cāng)，說(shuō)明社保重倉(cāng)的波動(dòng)幅度略小于基金重倉(cāng)，社保重倉(cāng)的風(fēng)險(xiǎn)分散程度略強(qiáng)于基金重倉(cāng)；社保重倉(cāng)的波動(dòng)持續(xù)性參數(shù) 值大于基金重倉(cāng)的，說(shuō)明社保重倉(cāng)比基金重倉(cāng)具有更強(qiáng)的波動(dòng)持續(xù)性；比較對(duì)數(shù)波動(dòng)率θt的標(biāo)準(zhǔn)差（波動(dòng)噪音），發(fā)現(xiàn)基金重倉(cāng)對(duì)數(shù)波動(dòng)率θt的波動(dòng)程度更大；比較社保重倉(cāng)和基金重倉(cāng)的跳躍頻率和跳躍幅度，發(fā)現(xiàn)前者的跳躍頻率和幅度均小于后者，可能的原因是，機(jī)構(gòu)投資者（基金公司）對(duì)金融市場(chǎng)或經(jīng)濟(jì)的突發(fā)重大事件更加敏感。

根據(jù)表3，比較社保重倉(cāng)與基金重倉(cāng)的跳躍頻率和跳躍幅度發(fā)現(xiàn)：基金重倉(cāng)的跳躍頻率和幅度均強(qiáng)于社保重倉(cāng)。進(jìn)一步比較對(duì)數(shù)波動(dòng)率θt的影響，對(duì)社?；鸲?，擴(kuò)展的跳躍SV模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)值為0.5188，說(shuō)明社保重倉(cāng)的對(duì)數(shù)波動(dòng)率與基金重倉(cāng)的對(duì)數(shù)ARCH項(xiàng)正相關(guān)，基金重倉(cāng)的對(duì)數(shù)ARCH項(xiàng)每增加1個(gè)百分點(diǎn)，社保重倉(cāng)的對(duì)數(shù)波動(dòng)率將增加0.5188個(gè)百分點(diǎn)；但是社?；鸬膶?duì)數(shù)ARCH項(xiàng)每增加一個(gè)百分點(diǎn)，基金重倉(cāng)的對(duì)數(shù)波動(dòng)率將增加0.4809個(gè)百分點(diǎn)，即社保重倉(cāng)波動(dòng)與基金重倉(cāng)波動(dòng)之間存在不對(duì)稱(chēng)的作用，社保重倉(cāng)波動(dòng)對(duì)基金重倉(cāng)波動(dòng)的影響弱于基金重倉(cāng)波動(dòng)對(duì)社保重倉(cāng)波動(dòng)的影響。

四、小 結(jié)

以上對(duì)傳統(tǒng)的跳躍SV模型進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了資產(chǎn)收益率的對(duì)數(shù)波動(dòng)率方程中帶有協(xié)變量的跳躍SV模型，給出了模型參數(shù)估計(jì)的MCMC算法，并將擴(kuò)展的跳躍SV模型用于分析社保重倉(cāng)指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)特征研究?；谪惾~斯因子比較發(fā)現(xiàn)，相對(duì)于SV－N、SV－T、SV－M、杠桿SV－N和傳統(tǒng)的跳躍SV－N五個(gè)模型，擴(kuò)展的跳躍SV模型建模效果最好；擴(kuò)展的跳躍SV模型有效地降低了波動(dòng)持續(xù)性；比較社保重倉(cāng)收益率基于擴(kuò)展的與傳統(tǒng)的跳躍SV模型建模的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)前者得到的跳躍頻率高于后者，但前者得到的跳躍幅度低于后者，用同樣的模型對(duì)基金重倉(cāng)收益率建模，得到了同樣的結(jié)論；社保重倉(cāng)波動(dòng)對(duì)基金重倉(cāng)波動(dòng)的影響弱于基金重倉(cāng)波動(dòng)對(duì)社保重倉(cāng)波動(dòng)的影響。

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