復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)改革與實(shí)踐

◎陳　莉　王　鵬

(五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東　江門　529020)

復(fù)變函數(shù)是許多工科院校工科專業(yè)的必修課程，立足于解決實(shí)際工程問(wèn)題，對(duì)其建立模型、求解模型并最終解決問(wèn)題.由于復(fù)變函數(shù)是數(shù)字信號(hào)處理、控制論、高等物理等課程的基本數(shù)學(xué)工具，因此，其直接目標(biāo)是幫助學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和工具，為后續(xù)專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課做準(zhǔn)備.一方面，復(fù)變函數(shù)是初等微積分的繼續(xù)學(xué)習(xí)，另一方面，其研究對(duì)象是初等微積分從實(shí)數(shù)域到復(fù)數(shù)域的推廣.盡管兩門課程在學(xué)習(xí)上具有一定的相似性，但由于復(fù)變函數(shù)課時(shí)相對(duì)較少，內(nèi)容具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性，本身包含了大量的概念和定理及計(jì)算方法，這無(wú)疑給復(fù)變函數(shù)的教學(xué)帶來(lái)一定阻礙.傳統(tǒng)的教學(xué)模式，學(xué)生對(duì)于復(fù)變函數(shù)的理論背景與應(yīng)用都停留在教材與習(xí)題，很難開(kāi)闊學(xué)生的眼界，同樣很難建立起學(xué)生對(duì)知識(shí)的興趣，而高等教育階段除了獲取專業(yè)知識(shí)，更加重要的是對(duì)于專業(yè)知識(shí)的應(yīng)用、思維的創(chuàng)新和能力的鍛煉，因此，如何合理安排課時(shí)講授知識(shí)、如何增強(qiáng)教學(xué)效果、如何提高學(xué)生的興趣，已成為亟待解決的問(wèn)題[1][2].針對(duì)復(fù)變函數(shù)課程的這些特點(diǎn)，我們可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行改革.

一、提高教師的專業(yè)素養(yǎng)，認(rèn)真組織教學(xué)過(guò)程

1.教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生是主體，教師是主導(dǎo)，在教學(xué)的過(guò)程中會(huì)遇到各種難點(diǎn)與重點(diǎn)，有些要求不高容易理解與解釋，有些則難講解[2][3].而對(duì)同樣的一個(gè)問(wèn)題，不同的教師表達(dá)的方式不同，但有一點(diǎn)是肯定的，就是基礎(chǔ)越扎實(shí)的教師能夠想出的解釋方式更完美，更加能夠用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言清晰地解釋學(xué)生存在的問(wèn)題，只有專業(yè)基礎(chǔ)扎實(shí)的教師在宏觀上，才能更好地把握整個(gè)教學(xué)過(guò)程中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，才能夠邏輯嚴(yán)密，順其自然地把知識(shí)傳送到學(xué)生的大腦里，在微觀上才能夠更加敏銳的察覺(jué)學(xué)生容易忽略并且容易出錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于較難理解的問(wèn)題，能夠找到一種相對(duì)淺顯的辦法去解釋該問(wèn)題.因此，復(fù)變函數(shù)課程組的教師可以通過(guò)積極開(kāi)展教學(xué)研討活動(dòng)，強(qiáng)化教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)，交流教學(xué)方法等多種途徑提高自己的業(yè)務(wù)能力和素養(yǎng)，改變教學(xué)觀念，增強(qiáng)教改創(chuàng)新意識(shí)[4][5].

2.課程的引入

第一節(jié)課應(yīng)該先向?qū)W生簡(jiǎn)單介紹，復(fù)變函數(shù)理論在物理空氣動(dòng)力學(xué)，流體力學(xué)，彈性力學(xué)，自動(dòng)控制學(xué)，信號(hào)處理，電子工程技術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用.抓住學(xué)生的好奇心，使他們產(chǎn)生學(xué)習(xí)該課程的興趣，激發(fā)其學(xué)習(xí)的積極性.然后介紹復(fù)變函數(shù)的主要研究對(duì)象跟高等數(shù)學(xué)之間的區(qū)別與聯(lián)系，自始至終都可采用比較的教學(xué)方法，找尋其共性并區(qū)分差異性，認(rèn)真區(qū)別二者的本質(zhì).學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可微性和可積性時(shí)，學(xué)生對(duì)照二元函數(shù)的一系列性質(zhì)，可以自己總結(jié)，以培養(yǎng)學(xué)生的自信心.

3.完善學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，為該課程打好基礎(chǔ)

復(fù)變函數(shù)這門課程的主要任務(wù)就是研究復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的變量之間的相互依賴關(guān)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)這門課程的過(guò)程中，普遍感到概念抽象、計(jì)算煩瑣、思維難于開(kāi)展，問(wèn)題難以入手.其主要原因在于基礎(chǔ)知識(shí)的儲(chǔ)備不夠，這就需要任課教師結(jié)合本專業(yè)實(shí)際，上新課之前，先簡(jiǎn)明扼要地復(fù)習(xí)一下相關(guān)知識(shí)，這樣可以起到事半功倍的效果.比如，第一章的復(fù)數(shù)及其復(fù)變函數(shù)，第二章的解析函數(shù)，這兩章是本課程的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)效果的好壞，直接影響著本課程的教學(xué)效果，對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)積極性更是有著重要影響.這兩章里都多次用到三角函數(shù)的積化和差和和差化積公式，倍角公式，半角公式和反三角函數(shù)的一些知識(shí).這些知識(shí)在高中階段學(xué)生都學(xué)過(guò)了，但是因?yàn)椴灰笥洃?，很多學(xué)生到用時(shí)根本想不起來(lái).這就需要教師在授課前提醒學(xué)生們復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，掃除學(xué)習(xí)障礙，提高學(xué)習(xí)效果.另外，復(fù)變函數(shù)中的許多概念、理論和方法，都是高等數(shù)學(xué)中的實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，因而，它們之間有許多相似之處，如果學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)理解得很深刻，那么復(fù)變函數(shù)里的這些概念就會(huì)輕松許多，因此，這些知識(shí)就需要教師帶領(lǐng)學(xué)生先來(lái)復(fù)習(xí)，以應(yīng)用到以后本課程的學(xué)習(xí)中.

二、修訂教學(xué)大綱，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

工科復(fù)變函數(shù)課程包含了多方面的知識(shí)的綜合應(yīng)用，如高等數(shù)學(xué)、高等幾何、物理等，而且知識(shí)點(diǎn)多.作為工科專業(yè)，不可能把所有主要內(nèi)容都包羅無(wú)遺的吸收.根據(jù)工科專業(yè)的特點(diǎn)在學(xué)時(shí)減少的情況下，為有效地完成教學(xué)任務(wù)，首先必須對(duì)內(nèi)容進(jìn)行合理安排，教學(xué)大綱把各章節(jié)的內(nèi)容的要求分成三類：掌握、理解和了解.掌握的內(nèi)容要重點(diǎn)講述，理解和了解的內(nèi)容，可以要求學(xué)生自學(xué).這樣可以做到主次分明、重點(diǎn)突出，還可以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力.從教材的整體結(jié)構(gòu)分析，柯西的積分理論，級(jí)數(shù)理論和幾何理論，是該課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在學(xué)時(shí)分配上應(yīng)予以一定的傾斜.而解析延拓和調(diào)和函數(shù)可以減少課時(shí)分配，作為自學(xué)內(nèi)容加以理解，用較少學(xué)時(shí)，把最基本的概念和方法講清楚，避免繁雜冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)推理，以免讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理而不再認(rèn)真學(xué)習(xí).把握好各個(gè)階段的重點(diǎn)內(nèi)容，注意重點(diǎn)講解概念方法的實(shí)例，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力.這也符合工科專業(yè)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和思維順序，學(xué)生易懂易會(huì)，因此，必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論是必須掌握的，但關(guān)鍵在于能以清晰的思路，將相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題.教師不要追求面面俱到，要注意留給學(xué)生思考的空間，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)真思考，促使學(xué)生養(yǎng)成思考的習(xí)慣，對(duì)于一些在能力范圍內(nèi)，重要但是難度不大的內(nèi)容，可以讓學(xué)生自己組織材料學(xué)習(xí).

三、改革教學(xué)方法和教學(xué)手段，提高教學(xué)效果

靈活多樣的教學(xué)方法，首先激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教學(xué)活動(dòng)中注重學(xué)生的主體意識(shí)，尋找適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn).通過(guò)指出本課程的理論和方法，在工程技術(shù)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用，使學(xué)生懂得該課程的重要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.如解析函數(shù)在平面場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用，共形映射在電場(chǎng)分布中的應(yīng)用.其次，加強(qiáng)教學(xué)的良性互動(dòng)，強(qiáng)化教師的主導(dǎo)作用，以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，以學(xué)為主，教服務(wù)于學(xué)，啟發(fā)于學(xué)，教學(xué)互動(dòng).最后，理論與應(yīng)用并重，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性.講述復(fù)變函數(shù)的一些理論時(shí)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生感受到課程的具體應(yīng)用，認(rèn)識(shí)到這些理論知識(shí)的實(shí)用性.如講授柯西積分公式時(shí)可讓學(xué)生思考如何測(cè)得地心溫度的問(wèn)題，如果能測(cè)得地表各點(diǎn)的溫度，則可以利用柯西積分公式，求出地心的溫度；講共形映射時(shí)指出，許多地質(zhì)測(cè)量工程的工程技術(shù)人員利用該原理來(lái)處理一些不規(guī)則圖形等.

四、傳統(tǒng)教學(xué)手段與多媒體相結(jié)合

傳統(tǒng)教學(xué)手段的基礎(chǔ)上采用多媒體輔助教學(xué)，將傳統(tǒng)講授的優(yōu)點(diǎn)和多媒體教學(xué)的長(zhǎng)處有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，提高教學(xué)水平.上課過(guò)程中，具體的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程采用板書(shū)，而理論敘述和實(shí)際應(yīng)用則采用多媒體，動(dòng)靜結(jié)合，教學(xué)效果大為提高.各章節(jié)習(xí)題課，是教師針對(duì)重難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)和學(xué)生作業(yè)的薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)學(xué)生掌握不太熟練或者學(xué)習(xí)效果不好的知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)、深化.因此，通過(guò)習(xí)題課教師可以總結(jié)某一類問(wèn)題的解法，從而可以加深學(xué)生綜合解決問(wèn)題的能力，某些跨章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)可以通過(guò)習(xí)題課系統(tǒng)的歸納出來(lái)，讓學(xué)生明白相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而更好地掌握這些知識(shí)點(diǎn).然而，如前所述，在復(fù)變函數(shù)學(xué)時(shí)有限的情況下，合理利用微課有助于解決習(xí)題課和學(xué)時(shí)有限之間的矛盾.我們可以將習(xí)題制作成微課視頻，充分運(yùn)用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，讓學(xué)生通過(guò)在線觀看微課，幫助學(xué)生理解課堂上的難點(diǎn)，總結(jié)每個(gè)章節(jié)的重點(diǎn).通過(guò)習(xí)題微課視頻不僅能夠鞏固所學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)而且可以發(fā)現(xiàn)自己在課堂學(xué)習(xí)的不足，從而將傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代多媒體相結(jié)合，大大提升教學(xué)效果.

五、“重應(yīng)用，弱理論”改革考核形式——實(shí)行以實(shí)踐能力為導(dǎo)向的課程考核改革

目前，復(fù)變函數(shù)課程普遍采用的考試方式都是注重理論推導(dǎo)、手工計(jì)算和證明.這種考核方式與現(xiàn)代信息社會(huì)嚴(yán)重脫節(jié)，在新的授課機(jī)制下，由于重點(diǎn)突出學(xué)生的動(dòng)手能力以及復(fù)變函數(shù)和工科專業(yè)知識(shí)的結(jié)合能力，弱化了數(shù)學(xué)的計(jì)算、推導(dǎo)和證明，這就使得傳統(tǒng)的課程考核方式已經(jīng)不能適合課程考核需求，要求我們對(duì)課程的考核方式進(jìn)行改革.我們可以采用與專業(yè)對(duì)口的方式，在課程合理的知識(shí)點(diǎn)范圍內(nèi)，將專業(yè)學(xué)院的基礎(chǔ)知識(shí)融入復(fù)變函數(shù)知識(shí)中，讓學(xué)生通過(guò)Matlab軟件編程解決相應(yīng)的問(wèn)題.比如，讓學(xué)生在Matlab中通過(guò)奇異值分解的方式實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮效果.能和自己的專業(yè)知識(shí)相結(jié)合，將大大地激發(fā)學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，靈活的考核方式可以檢驗(yàn)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力.

復(fù)變函數(shù)的教學(xué)改革還在不斷地思考與探索中，它的方法內(nèi)容，評(píng)價(jià)方式，以及與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的聯(lián)系與應(yīng)用都需要進(jìn)行長(zhǎng)久的思考與改變，希望借助復(fù)變函數(shù)的教學(xué)，帶動(dòng)其他相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，為我國(guó)培養(yǎng)更多的應(yīng)用型人才.

六、結(jié)　論

本文主要論述了復(fù)變函數(shù)的教學(xué)改革，從課堂知識(shí)點(diǎn)的引入、重點(diǎn)內(nèi)容的講解、多媒體輔助教學(xué)以及考核方式等方面，對(duì)該課程的改革進(jìn)行了深入詳細(xì)的思考，對(duì)從事復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)的教師具有一定的借鑒意義.