基于瞬態(tài)場路耦合模型的變壓器直流偏磁計算

潘 超 王澤忠 李海龍 劉連光 張 科 郭若穎

（1.華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 北京 102206 2.東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院 吉林 132012 3.新鄉(xiāng)供電公司 新鄉(xiāng) 453002 4.太原供電公司 太原 030009）

1 引言

HVDC、GIC中變壓器的直流偏磁計算與分析是備受重視的前沿課題。變壓器電磁場計算通常采用有限元法直接在時域求解場域方程，計算量大、效率低[1]。瞬態(tài)場路耦合模型將變壓器瞬態(tài)電磁場計算分解為場和路的耦合計算，用場模型計算動態(tài)電感，以路模型求解瞬態(tài)過程，從而降低求解難度，提高計算效率。文獻[2]采用T法建立變壓器場路耦合三維模型，分析其突發(fā)短路，但T法求解多連通問題困難，文中只針對單連通模型進行分析，未考慮變壓器的整體磁路。由于T-φ法處理多連通問題難度較大，目前大都采用A-V法計算變壓器磁場[3]。文獻[4]研究表明，節(jié)點有限元方法計算包含高磁導(dǎo)率材料的三維磁場模型時誤差較大，而棱邊有限元方法能夠良好處理高磁導(dǎo)率材料的邊界問題，誤差較小。

另一方面，變壓器瞬態(tài)場路計算考慮模型的端口特性、材料屬性和電磁特性，采用場路耦合的形式處理內(nèi)部電磁過程與外端電路約束[5]。二維變壓器場路模型具有較高的精度和效率，但是僅可作為局部場域的近似處理，只能用于特定運行方式或模型特性的分析[6,7]。S. L. Ho等人采用狀態(tài)空間法求解變壓器三維非線性瞬態(tài)場，有效縮減了運算時間，但精度不高[8]；隨后提出基于能量平衡原理的瞬態(tài)渦流場計算方法，并驗證該方法具有較高的準(zhǔn)確性[9]。

研究變壓器直流偏磁時動態(tài)參數(shù)與非線性勵磁的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律具有顯著的實際意義，但目前罕有相關(guān)文獻進行深入研究。本文基于棱邊有限元方法建立變壓器三維磁場模型，利用能量擾動原理計算動態(tài)電感，結(jié)合四階龍格庫塔法計算瞬態(tài)電流，通過瞬態(tài)場路耦合方法分析直流偏磁時耦合參數(shù)的變化和對應(yīng)關(guān)系。討論不同直流注入方式下變壓器的直流偏磁效果，在空載和負載運行時分析直流擾動對變壓器勵磁電流、動態(tài)電感與漏電感、主磁通與漏磁通的影響，歸納其變化規(guī)律。

2 場路模型

單相三柱式雙繞組變壓器直流偏磁的場路模型如圖 1所示。Φa,b、Φ0分別為鐵心主磁通和繞組漏磁通，L、M表示自感與互感，UDC為直流電壓源。

圖1 變壓器場路模型Fig.1 Magnetic and electric circuit model of transformer

2.1 磁場模型

棱邊有限元法采用矢量磁位A，根據(jù) Maxwell得到非線性磁場方程：

式中，μ為導(dǎo)磁材料的磁導(dǎo)率；J為電流密度，需要通過電路等效參數(shù)計算獲得。

棱邊單元插值函數(shù)為

式中，{Mn,n=1, 2, …,nn}為基函數(shù)序列，由相關(guān)單元形狀函數(shù)Nl對應(yīng)疊加形成，n為基函數(shù)序列通項編號，nn為總項數(shù)（總棱邊數(shù)）。

應(yīng)用格林定理，得伽遼金加權(quán)余量方程：

式中，Mm為基函數(shù)序列，且權(quán)函數(shù)與基函數(shù)相同。若已知電流i，將權(quán)函數(shù)代入方程（2），針對全部權(quán)函數(shù)，將加權(quán)余量方程離散形成代數(shù)方程組，求解可得所有節(jié)點或棱邊上的A，進而計算其他場量，如B和H等。

2.2 電路模型

繞組電動勢E=dψ/dt，變壓器磁鏈方程

式中，ψ為磁鏈?zhǔn)噶浚籭為繞組電流矢量；LS為靜態(tài)電感矩陣，表示磁鏈與電流的關(guān)系。

推導(dǎo)變壓器電路系統(tǒng)的瞬態(tài)微分方程：

式中，u為電壓向量；LD為動態(tài)電感矩陣，表示載流線圈與鐵心的電路行為，需根據(jù)磁場模型計算。

3 直流偏磁瞬態(tài)場路耦合模型

利用瞬態(tài)場路耦合模型分析變壓器直流偏磁問題時，動態(tài)電感和瞬態(tài)電流為關(guān)鍵耦合參數(shù)[4]。

變壓器載流線圈組成磁場系統(tǒng)，其磁場能量在數(shù)值上等于該系統(tǒng)建立過程中外部電源提供并轉(zhuǎn)化的能量。根據(jù)能量擾動的思想，當(dāng)線圈電流增加δi(δ=0～1)時，產(chǎn)生磁鏈δψ，端口電壓需施加增量δu=d(δψ)/dt，以抵消線圈中的感應(yīng)電動勢。外部電源提供的能量增量為 dW=δuδidt=δiψdδ，于是得到

若線圈電流增量為Δip，將動態(tài)電感與磁場能量和激勵電流關(guān)聯(lián)：

線圈體電流分布磁場系統(tǒng)的磁場能量為[9]

由電流增量ΔIi引起的場量變化為ΔH、ΔB，計算該系統(tǒng)的能量增量：

方程（6）、（8）能量相等，則可計算動態(tài)電感LD。

由式（4）推導(dǎo)存在直流源時變壓器電路微分方程的矩陣形式

采用四階龍格庫塔方法由tk時刻的線圈電流ik計算tk+1時刻的ik+1。

式中，h為步長，s1～s4為步長內(nèi)的分段計算斜率。

利用動態(tài)參數(shù)LD與瞬態(tài)激勵i，可以計算變壓器瞬時漏磁場。引入變壓器電壓比k，將兩側(cè)電壓、電流及動態(tài)參數(shù)歸算至激勵側(cè)，對式（9）進行等值變換，變壓器直流偏磁的T形等效電路微分方程為

4 直流偏磁計算與分析

選取單相三柱式變壓器，額定電壓450/220V，頻率為50Hz，繞組匝數(shù)100/48。為便于計算，建立八分之一磁場簡化模型并求解，編寫龍格庫塔法程序計算電路模型，分析變壓器直流偏磁。

4.1 直流注入方式的討論

變壓器直流注入的方式有三種[10]：①直流源在一次側(cè)，相當(dāng)于三相組式變壓器從中性點引入直流對單臺變壓器的影響；②直流源在二次側(cè)，用于單相變壓器空載時遭受直流偏磁的分析和實驗；③一次、二次側(cè)均含有直流電流，相當(dāng)于實際500kV、220kV等電壓等級的三相變壓器兩中性點分別接地。文獻[11]計算不同直流注入方式下變壓器的勵磁電流時，結(jié)果中包含了直流分量，因此差別較大。

利用瞬態(tài)場路耦合模型，對注入方式1、2下變壓器的直流偏磁進行仿真?？蛰d運行時方式1中一次側(cè)串聯(lián)直流電壓源UDC1；方式2的一次側(cè)激勵不變，二次側(cè)接直流電流源IDC2，等效至一次側(cè)的直流量與方式1相等，IDC=50%I0、100%I0時的計算結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同直流注入方式的一次、二次電流Fig.2 Currents of different DC injecting ways

圖中i1、i2為去掉直流分量的一次、二次電流。由于直流引入方式和初值的不同，計算兩種注入方式時的過渡過程也不相同，因此對比計算穩(wěn)定后的結(jié)果。空載運行時i1為勵磁電流ie，由于u→dψ/dt→dΦ/dt→B~H→ie的電磁耦合關(guān)系，ie為對稱波。當(dāng)直流電流相同時，兩種注入方式下ie相同，并且隨著IDC的升高而增大，ie波形畸變情況一致。負載運行時ie=(n1i1-n2i2)/n1，n1、n2為匝數(shù)。ie的波形對稱，i2波形接近正弦，i1為n1ie與n2i2的疊加，由于ie和i2的相位差，i1為非對稱波。對比圖2a和圖2b，不同注入方式下i1、i2、ie的波動規(guī)律相同。

表1給出空載運行直流偏磁時最大勵磁產(chǎn)生的鐵心磁通，其中Φa,b同圖 1，表示鐵磁回路磁通，Ba,b為平均磁感應(yīng)強度。不同直流注入方式下，IDC在不同側(cè)繞組流動使鐵心磁通存在較小的差別；隨著直流電流增大，鐵心飽和程度加深，勵磁電流波形畸變，IDC相對于勵磁電流的影響逐漸變小；IDC=100%I0時兩種方式的鐵心磁通相等。

表1 空載運行直流偏磁最大勵磁時的鐵心磁通Tab.1 Largest flux of core in DC bias with no load

負載運行直流偏磁最大勵磁時的鐵心磁通結(jié)果見表 2。變壓器設(shè)計磁通Φ1=0.047 2Wb，平均磁通密度Bavg=1.50T，計算值與設(shè)計值基本相同；不難看出，兩種注入方式下鐵心磁通的差別很小。

分析不同注入方式下的交流漏磁通Φ01、Φ02，不考慮直流電流產(chǎn)生的漏磁通時兩者的差別很小，如圖3所示。

表2 負載運行直流偏磁最大勵磁時的鐵心磁通Tab.2 Largest flux of core in DC bias with load

通過對不同直流注入方式的計算比較，得出結(jié)論：兩種注入方式的直流電流對變壓器勵磁產(chǎn)生的影響一致，不同注入方式均能有效模擬變壓器直流偏磁時的勵磁飽和情況。另外，可以應(yīng)用方式1與方式2的分析方法對方式3進行討論。本文采用方式1研究變壓器空載和負載運行的直流偏磁。

4.2 空載運行直流偏磁計算

計算變壓器空載運行時的直流偏磁情況。空載運行直流偏磁時的一次交流i1(ie)如圖 4a所示。隨著IDC增大，ie波形畸變加劇。無直流時，動態(tài)電感L1在勵磁的正負半周為對稱波形，其變化規(guī)律與ie對應(yīng)，ie增大時勵磁飽和程度加深，電感減小，ie減小時勵磁趨于不飽和，電感增大。當(dāng)存在直流時，L1受直流偏磁水平影響，正負半周不對稱，如圖4b所示。研究表明，隨著直流電流增大，變壓器勵磁飽和程度加深，ie波形畸變，L1受勵磁影響在勵磁的正負半周不對稱程度加劇。

圖4 空載運行直流偏磁的耦合參數(shù)Fig.4 Coupling parameters in DC bias with no load

4.3 負載運行直流偏磁計算

變壓器負載運行直流偏磁的計算結(jié)果如圖5所示。

圖5 負載運行直流偏磁耦合參數(shù)Fig.5 Coupling parameters of DC bias with load

與空載運行勵磁情況相同，負載運行時鐵心飽和程度受直流影響。IDC增大，i1、ie波形畸變加劇，i2同時受到影響。由圖5可以確定動態(tài)電感變化與勵磁非線性的對應(yīng)關(guān)系，自感的波峰、波谷分別表示鐵心勵磁處于非飽和區(qū)與飽和區(qū)，互感則相反。ie接近零值時，鐵心勵磁處于非飽和區(qū)，LD數(shù)值趨于最大；當(dāng)ie達到各半周內(nèi)極值時，勵磁飽和程度最深，LD數(shù)值最小。對比兩種運行方式的直流偏磁結(jié)果，瞬態(tài)勵磁和動態(tài)參數(shù)變化規(guī)律基本相同。

分析負載運行直流偏磁時直流電流對二次側(cè)交流的影響。IDC較小時，對i2的影響并不顯著，隨著IDC增大，勵磁最大時的i2發(fā)生明顯變化。分析其原因，可能由漏磁變化所導(dǎo)致，計算漏磁如圖7所示。

圖6 負載運行直流偏磁時的漏電感與漏磁通Fig.6 Leakage inductance and flux in DC bias with load

IDC=0時，一次、二次動態(tài)漏電感波動平穩(wěn)，如圖6a所示，總漏電感LΣ0近似為常數(shù)，這與羅柯夫斯基函數(shù)的結(jié)果基本相同[12]。IDC升高時，鐵心勵磁飽和程度加深，在最大勵磁區(qū)域內(nèi)漏電感波形畸變，一次繞組漏磁通增大，IDC=100%I0時一次側(cè)漏磁通約為正常運行時的4倍，此時二次繞組交鏈的主磁通減少，感應(yīng)電流i2變小，如圖 6b所示。該降壓變壓器的一次繞組設(shè)計在二次繞組的外側(cè)，直流偏磁時一次漏磁增加可能導(dǎo)致變壓器油箱等構(gòu)件的渦流損耗增大，溫度升高。

5 實驗驗證

實驗變壓器型號為 BK300，參數(shù)見表 3。令I(lǐng)DC=KI0，K為比例系數(shù)。當(dāng)0≤K≤2時，變壓器空載直流偏磁時的計算結(jié)果與實驗結(jié)果如圖7所示。

表3 實驗變壓器參數(shù)Tab.3 Parameters of an actual transformer

空載運行直流偏磁時勵磁電流波形的計算結(jié)果與實驗測量基本相同；兩者存在較小的差別，可能由磁滯導(dǎo)致，在直流偏磁情況下，兩者誤差更小，驗證了瞬態(tài)場路耦合方法的有效性和正確性。

磁暴引起的GIC監(jiān)測研究表明，國際上高緯度地區(qū)監(jiān)測到的GIC可達100A以上，有的自耦變可達到200A；國內(nèi)已監(jiān)測到的GIC達到75A 。HVDC測量表明，如果在不同接地點存在直流或電位差，換流變壓器中的IDC最大可達 40～50A，自耦變可達 25A[15,16]。關(guān)于變壓器直流限值問題，國內(nèi)外并無定論。目前國內(nèi)500MVA及以上變壓器的空載電流I0約1～3A，部分自耦變的I0約7～10A。變壓器的額定電流為IN，導(dǎo)則規(guī)定直流偏磁時的IDC應(yīng)小于0.7%IN，加拿大魁北克電力公司提出每相IDC≤200%I0時，直流偏磁的影響可以接受[17,18]。中南電力設(shè)計院專家提出交流電力變壓器應(yīng)能承受IDC≥10A時的直流擾動，ABB公司確定三峽直流輸電工程換流變壓器的允許直流IDC≤10A[19,20]。

圖7 空載實驗與計算結(jié)果Fig.7 Results of test and computation with no load

為充分考慮直流偏磁對變壓器造成的影響，對0≤IDC≤10I0時的偏磁情況進行計算，考察i1不含直流電流時，其峰值imax與K的關(guān)系。

如圖8，隨著比例系數(shù)K的增大，變壓器勵磁飽和程度加深，ie畸變嚴(yán)重，L1受勵磁影響在正負半周不對稱。當(dāng)K≥4時，鐵心嚴(yán)重飽和，imax與K近似呈線性關(guān)系。

圖8 不同K對應(yīng)的imax值Fig.8 Different K and corresponding imax

6 結(jié)論

通過研究單相變壓器直流偏磁，得出結(jié)論：

（1）利用瞬態(tài)場路耦合方法計算瞬態(tài)電流和動態(tài)電感，可以反映出變壓器磁場與電路等效參數(shù)在直流擾動下的變化規(guī)律。空載直流偏磁的電流計算結(jié)果與實驗基本相同，驗證了該方法的正確性。

（2）直流電流在一次側(cè)或二次側(cè)注入都能有效模擬變壓器在直流偏磁時的飽和勵磁情況，兩種注入方式下的交流電流計算結(jié)果基本相同。

（3）空載運行直流偏磁時勵磁電流的波形畸變，動態(tài)電感在勵磁的正負半周波形不對稱。負載運行時一次、二次電流受直流和勵磁的影響，波形不對稱，耦合參數(shù)的變化規(guī)律與空載情況相同。

（4）負載運行直流偏磁時動態(tài)漏電感波形畸變，一次繞組漏磁通增大，二次繞組鉸鏈的主磁通減少，感應(yīng)電流變小。由于外側(cè)一次繞組的漏磁通增大，可能造成變壓器油箱等渦流損耗增大。

（5）當(dāng)直流電流超過一定數(shù)值時，變壓器發(fā)生偏磁時的勵磁電流峰值與直流電流近似成線性關(guān)系，這一結(jié)論對于處理實際變壓器的直流偏磁問題具有指導(dǎo)意義。

[1] 程志光, 高橋則雄, 博扎尼· 弗甘尼, 等. 電氣工程電磁熱場模擬與應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2009.

[2] 梁振光, 唐任遠. 三相電力變壓器的場路耦合模型及突發(fā)短路過程計算[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2004,19(3): 46-51.Liang Zhenguang, Tang Renyuan．The field-circuit coupled model of a three-phase power transformer and its sudden short-circuit procedure calculation[J].Transactions of China Electrotechnical Society, 2004,19(3): 46-51.

[3] 張秀敏, 苑津莎, 崔翔. 用棱邊法與節(jié)點有限元耦合的 E-E-ψ法計算三維渦流場[J]. 中國電機工程學(xué)報, 2003, 23(5): 70-74.Zhang Xiumin, Yuan Jinsha, Cui Xiang. Edge-nodal coupled method for computing 3D eddy current problems[J]. Proceedings of the CSEE, 2003, 23(5):70-74.

[4] 王澤忠, 潘超, 周盛, 等. 基于棱邊有限元的變壓器場路耦合瞬態(tài)模型[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2012,27(9): 146-152.Wang Zezhong, Pan Chao, Zhou Sheng, et al. Transient magnetic-circuit coupled model of transformer based on edge finite element method[J]. Transactions of china Electrotechnical Society, 2012, 27(9): 146-152.

[5] 李泓志, 崔翔, 劉東升, 等. 直流偏磁對三相電力變壓器的影響[J]. 電工技術(shù)學(xué)報, 2010, 25(5): 88-96.Li Hongzhi, Cui Xiang, Liu Dongsheng, et al.Influence on three-phase power transformer by DC bias excitation[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2010, 25(5): 88-96.

[6] Mauricio Valencia Ferreira da Luz, Jean Vianei Leite,Abdelkader Benabou, et al. Three-phase transformer modeling using a vector hysteresis model and including the eddy current and the anomalous losses[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2010, 46(8): 3201-3204.

[7] Zhao Xiaojun, Lu Junwei, Li Lin, et al. Analysis of DC bias phenomenon by the harmonic balance finite-element method[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2011, 26(1): 475-485.

[8] S L Ho, W N Fu. An incremental method for studying the steady state performance of induction motors using time stepping finite element model[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1997, 33(2): 1374-1377.

[9] S L Ho, S X Niu, W N Fu, et al. A power-balanced time-stepping finite element method for transient magnetic field computation[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2012, 48(2): 291-294.

[10] 趙志剛, 劉福貴, 張俊杰, 等. 直流偏磁條件下變壓器勵磁電流的實驗與分析[J]. 電工技術(shù)學(xué)報,2010, 25(4): 71-76.Zhao Zhigang, Liu Fugui, Zhang Junjie, et al.Measurement and analysis of magnetizing current in DC-biased transformers[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2010, 25(4): 71-76.

[11] 李慧奇, 崔翔, 侯永亮, 等. 直流偏磁下變壓器勵磁電流的實驗研究及計算[J]. 華北電力大學(xué)學(xué)報,2007, 34(4): 1-6.Li Huiqi, Cui Xiang, Hou Yongliang, et al.Experimental studies and calculations of the exciting current in the transformer under DC bias magnetization[J]. Journal of North China Electric Power University,2007, 34(4): 1-6.

[12] 索南加樂, 王志恩, 焦在濱, 等. 基于變壓器 T形等效電路的漏電感參數(shù)特性分析[J]. 電力系統(tǒng)自動化, 2010, 34(11): 38-42.SuoNan Jiale, Wang Zhien, Jiao Zaibin, et al.Analysis of the leakage inductance parameter characteristics using the transformer T-equivalent circuit[J]. Automation of Electric Power System,2010, 34(11): 38-42.

[13] A P S Meliopoulos, E N Glytsis, G J Cokkinides.Comparison of SS-GIC and MHD-GIC effects on power system[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 1994, 9(1): 194-207.

[14] Chunming Liu, Lianguang Liu, Risto Pirjola.Geomagnetically induced currents in the high-voltage power grid in China[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2010, 24 (4): 2368-2374.

[15] 劉曲. 高壓直流輸電系統(tǒng)單極大地運行時地中電流分布的研究[D]. 北京: 清華大學(xué), 2007.

[16] D H Botler, T Watanabe, R M Shier, et al.Characteristics of geomagnetically induced currents in the B.C. hydro 500kV system[J]. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1982, 101(6):1447-1456.

[17] DL/T 437-91. 高壓直流接地技術(shù)導(dǎo)則[S]. 1991.

[18] 三峽直流咨詢報告[R]. 上海: 華東電力設(shè)計院,1997.

[19] 接地極工程選址報告[R]. 武漢: 中南電力設(shè)計院,1997.

[20] P Picher, L Bolduc, V O Pham. Study of the acceptable DC current limit in core-form power transformers[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 1997, 12(1): 257-265.