天基發(fā)射遠程攔截組合機動路徑規(guī)劃①

閆循良，張金生，孫凌逸，2，廖守億，王仕成

(1．第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025;2．第二炮兵駐航天四院軍代室，西安 710025)

0 引言

隨著衛(wèi)星成為未來戰(zhàn)爭中獲取制信息權(quán)的關(guān)鍵，摧毀敵方的衛(wèi)星系統(tǒng)將是破壞敵方天基信息網(wǎng)和C4ISR系統(tǒng)的最直接手段［1－2］。與地基、空基等反衛(wèi)星武器相比，天基動能攔截方案具有更明顯的優(yōu)勢，對控制和利用空間有著十分重要的戰(zhàn)略意義［2］。

在天基遠程攔截任務(wù)規(guī)劃過程中，必須設(shè)計滿足任務(wù)要求和約束的可行發(fā)射方案、發(fā)射參數(shù)，實現(xiàn)天基平臺與攔截器的組合機動路徑規(guī)劃。

目前，已公開文獻往往未考慮天基平臺，只研究單一航天器的路徑規(guī)劃和軌道設(shè)計問題［3－8］。初始研究常假設(shè)發(fā)動機按沖量方式工作，將遠程導(dǎo)引路徑規(guī)劃轉(zhuǎn)化為多約束最優(yōu)控制問題進行分析和解決。Prussing［3］研究了時間固定的最優(yōu)沖量軌道交會和攔截問題，并進行了多種路徑約束的分析和仿真。Kara［4］基于主矢量理論發(fā)展了一種最優(yōu)沖量交會路徑規(guī)劃的迭代算法。Ossama［5］采用遺傳算法研究了軌道轉(zhuǎn)移路徑規(guī)劃問題。Luo［6］將混合遺傳算法應(yīng)用于沖量交會調(diào)相特殊點變軌路徑規(guī)劃，得到了有參考價值的仿真結(jié)果。為了獲得發(fā)射時機和參數(shù)，Petropoulos［7］提出了一種較有效的Shape-Based搜索算法，該算法通過指數(shù)函數(shù)來描述探測器的飛行軌跡，從而進行發(fā)射時機搜索。這些研究均只選擇脫離平臺后的航天器作為對象，進行軌道機動路徑規(guī)劃的研究。事實上，平臺姿、軌機動策略和發(fā)射方案將直接影響攔截器的作戰(zhàn)能力［9－11］，路徑規(guī)劃必須考慮發(fā)射技術(shù)以及平臺機動的影響?？紤]到衛(wèi)星系統(tǒng)大都是由多顆衛(wèi)星組成的星座，攻擊其中的一兩顆衛(wèi)星并不足以破壞整個系統(tǒng)的功能。因此，需要同時考慮單/多目標天基發(fā)射攔截問題。

基于沖量假設(shè)并考慮天基發(fā)射，本文對單/多目標天基發(fā)射遠程攔截中涉及的發(fā)射技術(shù)和組合機動路徑規(guī)劃策略進行研究。其實質(zhì)為一類受發(fā)射參數(shù)制約的多約束多參數(shù)路徑優(yōu)化問題。由于發(fā)射窗口、發(fā)射姿態(tài)參數(shù)與路徑規(guī)劃相互影響制約，在路徑規(guī)劃中必須將發(fā)射參數(shù)作為決策變量進行優(yōu)化。

1 天基發(fā)射遠程攔截分析

選擇合理的發(fā)射方式、發(fā)射窗口、發(fā)射姿態(tài)等諸元是實現(xiàn)天基發(fā)射和空間攔截的前提。

(1)發(fā)射方式選擇

直接點火加速推進和投放發(fā)射是目前通常采用的近地軌道發(fā)射方式。攔截器直接點火會對平臺產(chǎn)生沖擊和燒蝕，不利于平臺的安全性。無動力投放發(fā)射的初始變軌速度要由攔截器自己來建立，需要很大的能量，對整個飛行過程不利。動力投放發(fā)射由平臺提供初始變軌速度，并建立發(fā)射狀態(tài)。綜合考慮目前的機械力、電磁、壓縮空氣和燃氣彈射等動力投放方式知，燃氣彈射利用了小體積推進劑燃燒產(chǎn)生的燃氣，能提供較大能量，是一種最為有效的投放方式。本文選擇燃氣彈射方式發(fā)射，并假設(shè)彈射速度為常值。

(2)發(fā)射窗口及姿態(tài)需求分析

在空間攔截中爭取有利的發(fā)射時機非常重要。接到作戰(zhàn)任務(wù)后，如何規(guī)劃發(fā)射時機是天基發(fā)射一個關(guān)鍵問題。根據(jù)不同的發(fā)射任務(wù)，就地發(fā)射、等待時機發(fā)射或平臺機動后再發(fā)射是3種不同的發(fā)射方案。發(fā)射攔截器時，需要建立起平臺的姿態(tài)，才能保證攔截器獲得合適的初始變軌速度，并以較少的能量完成攔截。若由攔截器去建立初制導(dǎo)姿態(tài)，會額外消耗較多的攔截器能量，影響其作戰(zhàn)范圍。因此，進行發(fā)射時，需要首先規(guī)劃出發(fā)射所需姿態(tài)，該姿態(tài)可通過平臺快速大角度姿態(tài)機動獲得。

2 非線性沖量最優(yōu)攔截問題

2．1 最優(yōu)攔截模型

考慮發(fā)動機推力和J2攝動，航天器沖量變軌動力學(xué)方程可描述為如下Cowell形式:

相關(guān)參數(shù)具體定義可參見文獻［10］。對于要求快速響應(yīng)的空間攔截而言，選擇優(yōu)化變量為

選取攔截時間最短作為價值函數(shù)，即

攔截初始條件為 t0、r0、v0，終端條件 tf、rf待定。

為了確定上述問題的解，需要求解一個在時間區(qū)間［t0，tf］的最優(yōu)控制問題，并滿足下述沖量施加約束、終端約束、變軌時刻約束及路徑約束:

其實質(zhì)為一多約束、多參數(shù)優(yōu)化問題，可采用相應(yīng)優(yōu)化算法進行求解。

2．2 串行優(yōu)化求解策略

為了提高收斂速度和算法的魯棒性，采用串行優(yōu)化策略求解攝動優(yōu)化問題，具體流程見圖1。

圖1 考慮攝動的時間最短攔截串行優(yōu)化策略Fig．1 Serial optimization strategy for minimum time interception with perturbations

3 單目標攔截組合機動路徑規(guī)劃

3．1 單目標攔截組合機動分析

首先做如下假設(shè):(1)平臺可進行不超過1次變軌;(2)設(shè)發(fā)射裝置固定在平臺軸線方向，和平臺之間無相對運動;(3)平臺能提供任意所需的發(fā)射姿態(tài)，且不考慮姿態(tài)機動的燃耗;(4)發(fā)射裝置及發(fā)射過程是理想的，即不考慮發(fā)射過程中的相互干擾;(5)平臺在完成發(fā)射后，能重新回到原初始軌道繼續(xù)待命。

天基發(fā)射及單目標軌道攔截過程如圖2所示。具體過程如下:

(1)平臺t0時刻接到作戰(zhàn)任務(wù)，在原軌道待命;

(2)t1時刻，平臺變軌，進入轉(zhuǎn)移軌道，變軌沖量為Δv1;之后，通過姿態(tài)機動建立發(fā)射狀態(tài);

(3)t2時刻，平臺以Δv2的發(fā)射速度將攔截器發(fā)射，設(shè)攔截器的離開速度為v2+;

(4)以v2+為初始速度，攔截器進行(n－2)次沖量變軌，并最終于tf時刻實現(xiàn)對目標的攔截。

選取合適的優(yōu)化變量和價值函數(shù)，即可采用非線性規(guī)劃技術(shù)進行優(yōu)化求解，得到最佳發(fā)射諸元及最優(yōu)飛行軌跡。由于發(fā)射參數(shù)與路徑規(guī)劃相互影響制約，因此在路徑規(guī)劃過程中必須將發(fā)射諸元作為決策變量進行優(yōu)化。該攔截過程考慮了平臺的變軌。事實上，平臺機動后發(fā)射攔截器，擴大了攔截器的殺傷區(qū)，增強了其作戰(zhàn)能力。

圖2 天基發(fā)射及單目標軌道攔截示意圖Fig．2 Space launch and single-target interception diagram

3．2 單目標攔截組合機動分析

根據(jù)上述分析，建立非線性規(guī)劃模型如下:

其中，各變量和表達式的具體形式如下:

(1)優(yōu)化變量及目標函數(shù)

優(yōu)化變量同式(2)，優(yōu)化目標為式(3)。

(2)運動方程約束

變軌過程中考慮J2攝動的影響，平臺、攔截器和目標的運動均滿足式(1)。

(3)時間約束

變軌時刻滿足以下約束條件:

考慮變軌前的姿態(tài)調(diào)整準備，因此要求任意2次沖量作用時刻間隔大于一定值tint，即

(4)變軌能力(燃料)約束

平臺提供的單次沖量大小上限為Δvpmax?？紤]到攔截器初始變軌速度Δv2由平臺提供，而該發(fā)射速度取決于發(fā)射分離機構(gòu)，故設(shè)Δv2大小一定，通過施加約束來滿足該限制，即

攔截器提供的單次沖量大小上限為Δvkmax，提供的沖量大小總量約束為

(5)攔截終端狀態(tài)約束

設(shè)rcf、rtf分別為攔截器和目標的終端位置矢量，則有

(6)軌道內(nèi)點路徑約束

考慮到發(fā)射完成后，平臺需要返回到原軌道，因此有最小或最大半徑內(nèi)點路徑約束:

其中，rmin、rmax分別為允許的最小、最大地心距。

設(shè)平臺在地心慣性系的俯仰角和偏航角分別為α和 β，有 α∈［－0．5π，0．5π］，β∈［－ π，π］;令 Δv'=sqrt(+)，由 sinα = Δv2z/Δv2，sinβ = Δv2x/Δv'，cosβ=Δv2y/Δv'，即可得到發(fā)射時刻的平臺姿態(tài)角(α，β)。最佳發(fā)射時刻為t2，發(fā)射速度為Δv2。

3．3 仿真及分析

仿真條件:平臺初始軌道要素Ec0=(6 871 km，0．001，97．38°，50°，20°，10°)，目標初始軌道要素 Et0=(26 571 km，0．000 1，55°，60°，30°，0°)。其他參數(shù):t0=0，tint=20 s，Δvpmax=2 km/s，Δv2=1 km/s，Δvkmax=3 km/s，Δvtot=8 km/s，rmin=6 471 km，rmax=7 171 km。仿真中，進行參數(shù)和模型的歸一化處理［10］。

針對不同的沖量數(shù)量，采用串行優(yōu)化策略進行多次優(yōu)化。表1給出了時間最短攔截的優(yōu)化解?？紤]到平臺進行1次沖量變軌，并提供1次發(fā)射沖量，故攔截器的沖量變軌次數(shù)為(n－2)，n為仿真中的沖量數(shù)。以3沖量為例，平臺首先進行待命，在2 914．27 s進行變軌，變軌沖量大小為2 km/s;之后，在最佳發(fā)射窗口5 103．83 s以大小為1 km/s的速度將攔截器發(fā)射，發(fā)射角為(35．99°，－19．39°);攔截器在 5 416．31 s進行1次變軌，最終在10 151．61 s以4．023 2 km/s的攔截速度實現(xiàn)攔截。受軌道內(nèi)點約束限制，平臺機動段近地點和遠地點地心距分別為6 749．2、7 171 km，發(fā)射地心距為6 897．3 km。

分析表1數(shù)據(jù)知，隨著沖量數(shù)目增加，攔截時刻減小。對于攔截器機動1、2次的情況，約束Δvkmax起作用，平臺及攔截器的單次沖量大小均達到了額定最大值，這也體現(xiàn)了時間和能量之間的矛盾;對于機動3次的情況，Δvkmax和沖量總和約束Δvtot均起作用。攔截脫靶量均為1 m量級，主要是由J2攝動和終端約束計算誤差所引起的，考慮到碰撞攔截的要求，因此需進行攔截器末制導(dǎo)的分析和研究。實際攔截中往往要求攔截速度較大，仿真中，通過增加沖量數(shù)量可使得攔截速度增大［10］。

多次仿真表明，串行優(yōu)化求解策略的收斂率為100%;若直接采用攝動方程求解，單次求解平均耗時為串行求解策略的3倍以上［10］?？梢?，本文的串行求解策略大大提高了規(guī)劃算法的收斂速度。

對比表1中發(fā)射窗口和發(fā)射姿態(tài)數(shù)據(jù)可知，不同的任務(wù)要求對應(yīng)完全不同的最佳發(fā)射窗口和發(fā)射角。由最優(yōu)解的性質(zhì)可知，任意改變發(fā)射窗口和發(fā)射角，均無法獲得與原最優(yōu)解一致的結(jié)果，其結(jié)果均為次優(yōu)解，甚至不收斂解。即在規(guī)定的時間和燃料要求下，攔截器并不能夠完全保證對目標實現(xiàn)攔截?？梢?，平臺發(fā)射姿態(tài)對任務(wù)燃耗和飛行覆蓋范圍具有較大的影響，發(fā)射前平臺必須進行大角度姿態(tài)機動。作者在文獻［8］、［10］中對可行的發(fā)射窗口和發(fā)射角范圍進行了詳細的分析討論。

表1 單目標時間最短攔截優(yōu)化結(jié)果Table 1 Minimum time optimization results for single-target interception

圖3給出了相應(yīng)的空間軌跡變化曲線，圖4給出了變軌過程中攔截器的地心距和速度變化曲線。

可見，平臺經(jīng)過較長的等待階段后才進行機動。對于攔截器進行2、3次機動的情況，平臺無待命階段，初始時刻即進行機動。可見，需要根據(jù)具體任務(wù)確定發(fā)射時機并做出平臺是否機動的決定。

圖3 單目標攔截的空間軌跡曲線Fig．3 Trajectory of single-target interception

圖4 地心距及速度變化曲線Fig．4 Geocentric distance and velocity curves

4 多目標攔截組合機動路徑規(guī)劃

在戰(zhàn)場上目標并不是逐一單獨出現(xiàn)的，當同時出現(xiàn)多個目標的時候，空間武器系統(tǒng)就必須具備摧毀多個目標的能力?？紤]目標的智能性和機動性，應(yīng)該盡可能地同時摧毀多個目標，使得目標沒有規(guī)避機動的時間，從而提高命中概率，爭取戰(zhàn)爭的勝利。下文研究是在該戰(zhàn)爭背景下進行的，即對敵方的1個衛(wèi)星監(jiān)視系統(tǒng)進行攻擊，要求在一定的時間間隔之內(nèi)擊毀敵方2顆衛(wèi)星。

4．1 多目標攔截組合機動分析

假設(shè):(1)平臺和攔截器均可進行不超過1次變軌;(2)平臺變軌與攔截器發(fā)射在同一時刻進行，即平臺變軌沖量和發(fā)射速度近似合成為第一次變軌沖量;(3)敵方目標在同一軌道運行。其他與4．1節(jié)一致。天基發(fā)射及星座多目標軌道攔截過程見圖5。

具體變軌策略:平臺在初始軌道1運動，已知t0時刻，平臺位置為p0，目標星1的位置為s10，目標星2的位置為s20;平臺經(jīng)過等待，根據(jù)任務(wù)規(guī)劃指令，在t1時刻機動變軌至軌道2繼續(xù)等待，于t2時刻發(fā)射攔截器1，于t3時刻發(fā)射攔截器2，攔截器經(jīng)過變軌，最終分別在 t1f、t2f時刻，位置 s1f、s2f分別實現(xiàn)對目標星 1、2 的攔截。

圖5 天基發(fā)射及星座攔截示意圖Fig．5 Space launch and constellation interception diagram

4．2 多目標攔截路徑規(guī)劃模型

非線性規(guī)劃模型同式(8)。

(1)優(yōu)化變量及目標函數(shù)

根據(jù)上述組合機動分析，選擇優(yōu)化變量為

其中，攔截器1、2提供的單次沖量分別為Δv21和Δv31，分離機構(gòu)提供給攔截器1、2的初始變軌速度均為Δvlau，并滿足:

為了保證攔截時間極小化，作戰(zhàn)指標為攔截時間最小，即

(2)時間約束

考慮到2次攔截的時間間隔要求，有

式中 tc為允許的最大攔截時間間隔。

變軌時刻滿足以下約束條件:

同時要求任意2次沖量作用時刻滿足式(10)，對應(yīng) i=1，2。

(3)變軌能力(燃料)約束

平臺、攔截器提供的單次沖量大小，以及分離機構(gòu)發(fā)射速度約束與前述單目標情況相同。

(4)終端狀態(tài)約束

若要實現(xiàn)對衛(wèi)星星座中2顆星的攔截，終端狀態(tài)需要滿足:

式中 rc1f、rc2f分別為攔截器1、2終端時刻位置矢量;rs1f、rs2f為目標星1、2終端時刻位置矢量。

此外，運動方程約束滿足式(1)，軌道內(nèi)點約束同式(14)。

4．3 仿真及分析

仿真條件:平臺初始軌道要素Ec0=(6 871 km，0．001，65°，55°，20°，10°)，異面橢圓軌道星座目標衛(wèi)星軌道要素 Et0=(7 471 km，0．011 7，63．4°，60°，fsi)，i=1，2。目標1的初始真近點角fs1=20°，目標2為fs2=80°。其他參數(shù):t0=0，tint=20 s，Δvpmax=2 km/s，Δvlau=1 km/s，Δvkmax=3 km/s，tc=50 s，rmin=6 471 km，rmax=7 171 km。

采用串行優(yōu)化策略進行求解，結(jié)果見表2。由表2可知，平臺在軌道1經(jīng)過544．45 s等待，以2 km/s沖量變軌至軌道2，并于1 901．83 s發(fā)射攔截器1，發(fā)射角為(－16．10°，－86．31°)，于5 115．67 s發(fā)射攔截器2，發(fā)射角為(29．78°，－119．53°)，并在 5 857．43 s和5 882．63 s分別實現(xiàn)對目標1和2的攔截，攔截相對速度 vint1及 vint2較大，分別為 2．131 km/s和4．344 7 km/s;攔截時間間隔為 25．2 s，大大縮短了敵方衛(wèi)星規(guī)避機動的時間，提高了命中概率。攔截消耗總的特征速度為7．202 2 km/s，滿足燃料限制。

可見，采用本文的發(fā)射和規(guī)劃策略，可在規(guī)定的時間差內(nèi)完成對多個目標的最短時間攔截。改變最大攔截時間間隔tc進行多次仿真發(fā)現(xiàn)，該參數(shù)對優(yōu)化結(jié)果具有較大影響，間隔時間越小，最終攔截時刻越小，耗能越大［10］。

考慮彈射速度，攔截器1消耗自身能量僅為0．202 2 km/s，而攔截器2消耗自身能量為3 km/s，這是由多種因素造成的，包括發(fā)射時間和位置、目標位置，攔截器1發(fā)射較早，因而具備較長的攔截時間，而攔截器2發(fā)射較晚，攔截時間較短，軌道改變較大。因此，針對復(fù)雜戰(zhàn)場形勢，需要合理規(guī)劃發(fā)射方案和發(fā)射參數(shù)。前文分析中的假設(shè)使得問題建模和仿真簡化，但平臺變軌和攔截器發(fā)射并不是在同一時刻進行的，攔截器亦可進行多次變軌以減小燃耗和攔截時間，所以需要進一步討論和分析。本文的研究方法和結(jié)果可 為后續(xù)的工作提供思路和參考。

表2 多目標時間最短攔截優(yōu)化結(jié)果Table 2 Minimum time optimization results for multi-targets interception

5 結(jié)論

(1)所提出的發(fā)射方案和規(guī)劃策略，可有效實現(xiàn)單/多目標天基發(fā)射遠程攔截任務(wù)，能夠在多種約束和攝動情況下，實現(xiàn)最優(yōu)組合機動飛行路徑規(guī)劃，為遠程攔截初制導(dǎo)問題提供有價值的參考。

(2)平臺發(fā)射姿態(tài)對任務(wù)燃耗和飛行覆蓋范圍具有較大的影響，發(fā)射前平臺必須進行大角度姿態(tài)機動;發(fā)射窗口將會影響飛行任務(wù)的時間和燃料消耗，需要根據(jù)具體任務(wù)在立即發(fā)射、等待發(fā)射或機動發(fā)射中進行合理選擇;對于文中的單目標時間最優(yōu)攔截而言，根據(jù)燃料的不同，平臺存在原軌道等待機動后發(fā)射和直接機動后發(fā)射兩種情況。

(3)優(yōu)化求解時，將二體問題的解作為攝動解的初始點，該串行求解策略可顯著提高路徑規(guī)劃算法的收斂速度和魯棒性;對沖量變軌時刻的歸一化處理能有效的提高優(yōu)化性能;對于多沖量變軌，沖量作用時間間隔tint約束對優(yōu)化結(jié)果有一定的影響;平臺機動的最大半徑約束rmax對優(yōu)化結(jié)果的影響也較明顯;多目標攔截的時間間隔對優(yōu)化結(jié)果具有較大影響，間隔時間越小，最終攔截時刻越小，耗能越大。

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