柔性厚壁筒環(huán)向纏繞張力分析與設(shè)計(jì)①

劉成旭，邢靜忠，2，陳 利，楊 濤

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387;2.天津工業(yè)大學(xué)現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)天津市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387;3.天津工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料研究所，天津 300387)

0 引言

在造紙、包裝和軋鋼等行業(yè)中，需要對(duì)帶材進(jìn)行卷繞(收卷)成形，以縮小貯存空間，或方便運(yùn)輸。在寬帶卷繞過程中，恒張力卷繞經(jīng)常導(dǎo)致帶材皺折和厚度不均，這是由于外纏繞層張力對(duì)內(nèi)層產(chǎn)生了放松效應(yīng)。對(duì)于印刷行業(yè)，印刷機(jī)工作(開卷)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)走紙不穩(wěn)、印品折皺、重影，甚至發(fā)生紙張斷裂或堵塞等問題，這是由于紙帶張力不均勻引起的。因此，需分析研究初始纏繞張力與剩余纏繞張力之間的關(guān)系。如何設(shè)計(jì)初始纏繞張力，以達(dá)到纏繞后均勻的剩余張力，是解決這些問題的關(guān)鍵。目前，針對(duì)寬帶纏繞張力的諸多研究，主要圍繞如何確定初始纏繞張力與剩余張力之間的關(guān)系。楊婭君等討論了恒張力卷繞和錐度張力卷繞下卷筒內(nèi)的張力分布，導(dǎo)出不起皺折的必要條件，給出在等張力和等徑向應(yīng)變分布條件下卷繞張力的計(jì)算公式［1］。吳德會(huì)等介紹了玻璃布包裝過程中收卷張力控制系統(tǒng)的工作原理，并針對(duì)包裝收卷過程中易產(chǎn)生折皺的問題，分析了包裝收卷過程中的張力變化規(guī)律及其影響因素，給出了不同卷裝條件下避免折皺的錐度系數(shù)的確定方法［2］。盛衛(wèi)鋒等基于動(dòng)力學(xué)原理，分析了印刷機(jī)械中的張力控制問題［3］。

相比寬帶纏繞，纖維增強(qiáng)復(fù)合材料對(duì)纏繞張力的要求更高。尤其在國(guó)防和航天等高尖端領(lǐng)域，施加預(yù)張力的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料，可達(dá)到更高的纖維體積含量和更高的結(jié)構(gòu)開裂強(qiáng)度。所以，預(yù)張力纖維纏繞技術(shù)被大量用于飛機(jī)、火箭、航天器和衛(wèi)星等結(jié)構(gòu)上［4］。工業(yè)上，以金屬為芯模的復(fù)合材料容器大多應(yīng)用張力纏繞技術(shù)提高容器的承壓能力和纖維的利用率。但金屬的彈性范圍小，過高的纖維張力會(huì)導(dǎo)致內(nèi)襯屈曲。所以，研究芯模的剛度和纏繞張力之間的關(guān)系具有非常重要的意義。依據(jù)纖維纏繞復(fù)合材料的基本原理［5］和理論［6］，許多研究者已圍繞復(fù)合材料容器強(qiáng)度分析［7］與設(shè)計(jì)［8］的研究得出了一些張力計(jì)算公式［9－10］，并提出了具有金屬內(nèi)襯的纖維纏繞高壓容器的設(shè)計(jì)方法［11－12］。研究發(fā)現(xiàn)，纖維張力放松量主要來源于芯模的徑向變形，同時(shí)在外層纏繞張力引起的徑向外壓下，纏繞層產(chǎn)生的徑向和環(huán)向收縮，使環(huán)向應(yīng)力降低。文獻(xiàn)［13］未考慮芯模變形影響，給出了剛性芯模上環(huán)向纏繞層張力分析的計(jì)算方法和纏繞張力設(shè)計(jì)方法。但針對(duì)柔性芯模，如何使剩余纏繞張力達(dá)到預(yù)定分布，仍沒有很好地解決。

本文考慮芯模的變形影響，依據(jù)彈性力學(xué)厚壁筒理論，提出考慮芯模變形影響的剩余張力分析方法和纏繞張力設(shè)計(jì)方法。采用疊加原理，基于外層剩余張力導(dǎo)致內(nèi)層張力的放松量導(dǎo)出纏繞后剩余張力與纏繞張力的微分方程;通過對(duì)給定纏繞張力確定剩余張力和給定要獲得的剩余張力確定應(yīng)施加的纏繞張力兩類問題的研究，討論芯模厚度對(duì)纏繞層剩余張力的影響。

1 芯模和纏繞層的應(yīng)變和應(yīng)力

將收卷輥簡(jiǎn)化為外半徑為c的寬帶環(huán)向纏繞在外半徑為b內(nèi)半徑為a的柔性圓筒上，在最外層寬帶上施加均勻環(huán)向外壓p，如圖1所示。

1.1 平衡方程

在纏繞張力引起的外壓作用下，芯模外表面和最內(nèi)層纖維之間密切接觸，接觸界面上的徑向位移與徑向應(yīng)力連續(xù)。設(shè)帶有上標(biāo)“(1)”和“(2)”的符號(hào)分別代表關(guān)于芯模與纏繞層變量。下標(biāo)“r”、“θ”和“z”的變量分別表示沿徑向、周向和軸向的物理量。纏繞層和芯模的微元體均滿足平衡方程:

圖1 模型的橫截面Fig.1 Cross section of model

1.2 幾何方程和物理方程

對(duì)于小變形情況，定義位移u和應(yīng)變?chǔ)艥M足如下幾何關(guān)系:

假定芯模與纏繞層近似滿足各向同性三維本構(gòu)關(guān)系，則芯模和纏繞層的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可表示為

1.3 徑向位移和應(yīng)力分量

結(jié)合式(2)和式(3)關(guān)系，式(1)可化簡(jiǎn)為

其通解為

積分常數(shù)A(i)和B(i)由芯模和纏繞層內(nèi)外側(cè)的邊界條件確定。將式(4)代入式(1)，整理可得芯模與纏繞層的應(yīng)力表達(dá)式:

在平面應(yīng)力情況下，只需要將上式中的彈性模量E(i)替換為 E(i)(1+2ν(i))/(1+ ν(i))2，泊松比 ν(i)替換為ν(i)/(1+ν(i))即可。其中，拉密常數(shù):

1.4 芯模徑向剛度

引入芯模徑向的廣義剛度:

由芯模內(nèi)外壁的邊界條件:

對(duì)于兩端固定，軸向應(yīng)變?yōu)榱愕那闆r，求得

1.5 纏繞層邊界條件及其應(yīng)力

纏繞層內(nèi)側(cè)與芯模接觸面上的徑向變形與徑向應(yīng)力成線性反比關(guān)系，則纏繞層內(nèi)外側(cè)的邊界條件可表示為

由此求得積分常數(shù)A(2)、B(2)，將其及廣義剛度K代入式(5)，可求得纏繞層的環(huán)向應(yīng)力和徑向應(yīng)力:

其中，引入影響因數(shù)

2 纏繞張力和剩余張力分析

由式(6)可知，外壓p引起的纏繞層應(yīng)力和應(yīng)變不僅與纏繞層和芯模的材料參數(shù)有關(guān)，還與纏繞層幾何尺寸有關(guān)。隨著纏繞層數(shù)的增加，外層纏繞張力引起的外壓增大，使內(nèi)纏繞層的剩余張力不斷減小。定義很薄的單位寬度的寬帶纏繞在柔性芯模上，其初始纏繞張力分布為Tw(r)。這樣的初始纏繞張力Tw(r)減去外層張力引起的張力放松量ΔT，即為該層的剩余纏繞張力T(r)。外半徑為c的所有纏繞層上的總張力T(c)對(duì)該纏繞層內(nèi)表面產(chǎn)生徑向應(yīng)力p=T(c)/c。

其中，δ是纏繞帶的壁厚，此時(shí)半徑c位置的環(huán)向應(yīng)力下降量為

引入變換x=r/b和m=c/b，張力下降量可表示為

為了實(shí)現(xiàn)纏繞后的剩余張力達(dá)到指定的分布，需要利用式(7)計(jì)算出張力放松量，并與該層的初始纏繞張力疊加后等于指定的剩余張力，即

3 由初始纏繞張力確定剩余張力分布

根據(jù)給定的初始纏繞張力Tw(x)分布，確定纏繞后的剩余張力T(x)分布。最外層x=m處，有Tw(m)=T(m)?？蓪⑹?8)轉(zhuǎn)化為

針對(duì)不同的應(yīng)用情況，下面分別討論錐度，等張力和等力矩纏繞情況下的剩余張力分布。

3.1 錐度纏繞

設(shè)錐度纏繞張力Tw(x)=t(1－αx)，t和α分別為初始纏繞張力值和錐度系數(shù)，由式(9)可得

其中

采用SPSS 17.0軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，計(jì)量資料以（均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差）表示，采用t檢驗(yàn)；計(jì)數(shù)資料以（n，%）表示，采用χ2檢驗(yàn)，以P＜0.05表示差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

3.2 等張力纏繞

設(shè)均勻纏繞張力Tw(x)=t，由式(9)可得

3.3 等力矩纏繞

設(shè)等力矩纏繞張力Tw(x)=t/x，由式(9)可得

4 實(shí)現(xiàn)給定剩余張力分布的纏繞張力設(shè)計(jì)

對(duì)式(8)積分，給定纏繞后剩余張力分布，可求得初始纏繞張力的分布。給定均勻剩余纏繞張力T(x)=t，由式(8)可求得

對(duì)其他分布的剩余張力，均可由式(8)積分獲得纏繞張力設(shè)計(jì)方案。

5 數(shù)值算例和討論

由式(10)～式(12)可知，決定剩余纏繞張力大小的因素有芯模和纏繞層的材料參數(shù)和幾何參數(shù)。文獻(xiàn)［13］提出纏繞層m、錐度系數(shù)α對(duì)剩余纏繞張力的影響。在此基礎(chǔ)上，本文考慮芯模變形影響，討論不同芯模內(nèi)經(jīng)α(單位:m)對(duì)剩余纏繞張力的影響。以薄板層為纏繞層，芯模材料采用鋼。取彈性模量E=210 GPa，相對(duì)彈性模量 E21=1，泊松比 ν(1)= ν(2)=0.3。幾何參數(shù) b=0.5 m，c=1 m，m=2。

5.1 錐度纏繞后的剩余張力分布

圖2所示為利用式(10)在不同內(nèi)徑芯模上取錐度系數(shù)α=0.3，錐度纏繞后的剩余張力分布。橫坐標(biāo)表示纏繞層所在的徑向位置，縱坐標(biāo)表示纏繞后的剩余張力與初始張力t的比值。剩余張力隨著芯模內(nèi)徑a的減小而增大，即芯模壁厚越大，剩余張力越大;剩余張力是隨纏繞層位置的增大而增大。

圖2 錐度纏繞在不同a值時(shí)剩余張力沿徑向的分布Fig.2 Residual tension distribution along radial direction by taper winding at different values of a

5.2 等張力纏繞后的剩余張力分布

圖3所示為由式(11)給出不同內(nèi)徑芯模上等張力纏繞后的剩余張力分布。橫坐標(biāo)表示纏繞層所在的徑向位置，縱坐標(biāo)表示纏繞后的剩余張力與初始張力t的比值。剩余張力隨著a的減小而增大，即芯模壁厚越大，剩余張力越大;剩余張力是隨纏繞層位置的增大而增大。

圖3 等張力纏繞在不同a值時(shí)剩余張力沿徑向的分布Fig.3 Residual tension distribution along radial direction by equal tension winding at different values of a

5.3 等力矩纏繞后的剩余張力分布

圖4所示為由式(12)得到不同內(nèi)徑芯模上等力矩纏繞后的剩余張力分布。橫坐標(biāo)表示纏繞層所在的徑向位置，縱坐標(biāo)表示纏繞后的剩余張力與初始張力t的比值。剩余張力隨著a的減小而增大，即芯模壁厚越大，剩余張力越大;剩余張力是隨纏繞層位置的增大而增大。

5.4 實(shí)現(xiàn)均勻剩余張力的纏繞張力

假設(shè)纏繞后剩余張力為t，取纏繞層外徑c=0.6 m，其他幾何參數(shù)和材料參數(shù)與前面一致。圖5所示為實(shí)現(xiàn)均勻剩余張力的纏繞張力分布。橫坐標(biāo)表示纏繞層所在的徑向位置，縱坐標(biāo)表示纏繞張力與剩余張力t的比值。由式(13)通過變化幾何參數(shù)a改變芯模壁厚，進(jìn)而得到相對(duì)纏繞張力隨徑向位置的變化曲線。

由圖5可見，芯模的壁厚越大，纏繞張力越小。纏繞張力是隨纏繞層位置的增大而減小。

5.5 與現(xiàn)有均勻剩余張力研究結(jié)果的比較

文獻(xiàn)［14］利用有限元方法，計(jì)算了文獻(xiàn)［15］給出的鋼帶纏繞實(shí)例。按該文的幾何參數(shù)和材料常數(shù)，計(jì)算得到 H= －0.883 32，m=1.18，t=105 MPa。按式(13)，得到最大內(nèi)側(cè)纏繞張力Tw(1)=410.1 MPa。考慮到本文分析為無限薄寬帶連續(xù)纏繞，按照原文的纏繞帶厚度修正m=1.18－0.007 5(纏繞帶厚度δ與芯模外徑b的比值)，此時(shí)Tw(1)=397.4 MPa。按照每層纏繞帶所處區(qū)間積分計(jì)算張力，獲得354.2，288.9，244.1，211.5，186.7，167.3，151.7，138.9，128.3，119.3，111.6，105.0 MPa。對(duì)比表明，該結(jié)果介于文獻(xiàn)［14］和［15］結(jié)果之間，并非常接近它們的平均值。而本文解析公式(13)簡(jiǎn)單實(shí)用。

圖5 在不同a值時(shí)實(shí)現(xiàn)均勻剩余張力的纏繞張力分布Fig.5 Winding tension leading to uniform residual tension distribution along radial direction at different values of a

6 結(jié)論

(1)在錐度纏繞、等張力纏繞和等力矩纏繞的情況下，剩余張力隨徑向位置的增大呈遞增趨勢(shì)，且隨芯模壁厚的增大而增大。

(2)剩余張力分布和實(shí)現(xiàn)均勻剩余張力的纏繞張力分布可根據(jù)本文得出。

(3)本文計(jì)算方法考慮芯模變形影響，得出的纏繞張力和剩余張力計(jì)算公式能給出更貼合實(shí)際的結(jié)果。

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