人致人行橋側(cè)向振動(dòng)中時(shí)滯影響的研究

劉 隆, 謝偉平

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院， 武漢 湖北 430070)

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)的發(fā)展，城市交通量逐漸增大，道路不斷拓寬，為了保證交通順暢和行人安全，在車輛和行人密集的城市區(qū)域和主干道大多設(shè)置人行天橋或地下通道取代傳統(tǒng)的人行斑馬線。因建造成本和日常維護(hù)費(fèi)用相對(duì)較低，人行橋的應(yīng)用更為廣泛。此外，跨河兩岸區(qū)域的人流連接，以及巨型空間建筑不同功能區(qū)的人流連接也采用人行天橋(或室內(nèi)人行通道)的連接方式，例如跨英國(guó)泰晤士河的千禧橋和四川綿陽(yáng)安昌河人行景觀橋。隨著現(xiàn)代人行橋向輕質(zhì)、大跨、纖柔方向發(fā)展，行人活動(dòng)引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)越來(lái)越顯著，這種振動(dòng)往往不足以引起結(jié)構(gòu)的安全性問(wèn)題，但是常常會(huì)給橋上的行人帶來(lái)不舒適感甚至出現(xiàn)恐慌心理。對(duì)于人行橋來(lái)說(shuō)，橋的振動(dòng)響應(yīng)幅度除了與橋的振動(dòng)方向(主要是豎向和側(cè)向)和振動(dòng)頻率有關(guān)外、還與人的活動(dòng)狀態(tài)、持續(xù)時(shí)間等有關(guān)[1,2]。由人們活動(dòng)引起的動(dòng)力荷載顯著作用的頻率區(qū)間通常大約在1.5～2.5 Hz之間[3]。我國(guó)僅在GJJ 69-95《城市人行天橋與人行地道技術(shù)規(guī)范》中通過(guò)規(guī)定人行橋的1階豎向頻率必須大于3 Hz這一條件來(lái)避免人行橋共振問(wèn)題，而對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性與行人舒適度之間的關(guān)系沒(méi)有任何涉及[1]。因此僅僅通過(guò)限制人行橋豎向振動(dòng)頻率來(lái)保證行人舒適性顯然是不完善的。

自從倫敦的千禧橋發(fā)生人致大幅度側(cè)向振動(dòng)后，人行橋側(cè)向振動(dòng)的問(wèn)題受到了國(guó)際工程界的廣泛關(guān)注。目前工程界普遍認(rèn)為，由行人引起的人行橋的側(cè)向振動(dòng)是由人的蛇形運(yùn)動(dòng)和橋產(chǎn)生共振而出現(xiàn)的。行人上橋后，最先是同時(shí)產(chǎn)生側(cè)向和豎向的振動(dòng)，橋一旦起振，更多的行人就會(huì)和橋的振動(dòng)同步，進(jìn)一步增加了橋的振動(dòng)，進(jìn)而引起橋的劇烈的側(cè)向振動(dòng)。人行橋的這種側(cè)向振動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)理不同于一般的共振問(wèn)題，直到最近還有新的實(shí)驗(yàn)成果出現(xiàn)，所以具有其自身的復(fù)雜性，國(guó)內(nèi)目前在進(jìn)行的為數(shù)不多的特殊的或者結(jié)構(gòu)新穎的人行橋設(shè)計(jì)時(shí)，通常委托高?；蛳嚓P(guān)科研院所對(duì)此進(jìn)行專門的立項(xiàng)研究。因此，由行人引起的人行橋側(cè)向振動(dòng)以及振動(dòng)控制問(wèn)題是我國(guó)工程界目前亟待解決的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。

近些年來(lái)，不同國(guó)家的研究人員也分別從數(shù)學(xué)和實(shí)用的角度提出了分析橋梁側(cè)振的相關(guān)模型，如最早的Bachmann[4]將人行荷載用傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)表示，他的研究指出人行橋的側(cè)向頻率應(yīng)該大于3.4 Hz。Ji[5]把人體近似地看作線性單自由度系統(tǒng)，但進(jìn)一步的研究表明，這一單自由度人體系統(tǒng)依賴頻率的變化，并不能總是通過(guò)同樣的質(zhì)量，剛度和阻尼參數(shù)來(lái)表示[6]。Strogats[7]使用了較為精細(xì)的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述橋的側(cè)向振動(dòng)，但這樣的模型工程實(shí)際應(yīng)用上存在較大的困難。Nakamura[8]則以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)改進(jìn)了單自由度模型。由于行人與橋?qū)嶋H作用的復(fù)雜性，上述各種模型即使是非常精細(xì)的純數(shù)學(xué)模型也難免要包含假設(shè)方程項(xiàng)。因此，Nakamura以實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)提煉出的單自由度模型更便于實(shí)際工程應(yīng)用。但是Nakamura的方程中包含較多的參數(shù)，除了反應(yīng)橋梁結(jié)構(gòu)特性的質(zhì)量，阻尼和剛度外還涉及人群的同步狀況和橋上人群的飽和度，橋梁頻率對(duì)人橋同步的作用等等。這些參數(shù)都必須通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)、計(jì)算和觀察得到，甚至某些參數(shù)現(xiàn)在還無(wú)法明確給出，比如描述橋梁結(jié)構(gòu)頻率對(duì)同步影響大小的函數(shù)就是因?yàn)閷?shí)測(cè)數(shù)據(jù)不足而無(wú)法確定。當(dāng)梁以一種特殊的側(cè)向模態(tài)振動(dòng)時(shí)，Nakamura[8]認(rèn)為人行引起橋的側(cè)向振動(dòng)可以用一個(gè)單自由度振動(dòng)模型來(lái)描述：

(1)

其中，

(2)

本文將從非線性動(dòng)力學(xué)角度分析Nakamura模型中時(shí)間滯后對(duì)人群對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力作用的影響，并分析時(shí)滯是如何影響橋梁動(dòng)力學(xué)行為的，進(jìn)而提出通過(guò)改變橋面結(jié)構(gòu)的方式減弱人致人行橋的振動(dòng)的思路。

1 特征值分析

(3)

其中，

觀察得知原點(diǎn)是方程(3)唯一的平衡點(diǎn)，將方程(3)在原點(diǎn)處線性化，其特征方程為

λ2+cBλ+kB-εk3λe-λτ=0

(4)

令τ=0，原方程(3)退化為常微分方程。此時(shí)特征方程變?yōu)?/p>

λ2+cBλ+kB-εk3λ=0

(5)

當(dāng)cB-εk3=0時(shí)，(5)式有一對(duì)純虛根

當(dāng)cB-εk3>0時(shí)，(5)式的兩根的實(shí)部都小于0，此時(shí)橋面的側(cè)向振動(dòng)能很快停下來(lái)。而當(dāng)cB-εk3<0時(shí)，(5)式的兩根的實(shí)部都大于0，橋的晃動(dòng)會(huì)逐漸增大。令W=cB-εk3，將(5)式的兩邊對(duì)W求導(dǎo)，有

滿足穿越條件。

根據(jù)Hopf分岔定理，在W=0附近系統(tǒng)將發(fā)生Hopf分岔，由于原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡點(diǎn)，從而會(huì)產(chǎn)生出一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。橋是否出現(xiàn)持續(xù)的側(cè)向周期振動(dòng)只與阻尼、人群的同步情況以及用于描述橋的結(jié)構(gòu)頻率對(duì)行人同步的影響函數(shù)G(fB)有關(guān)，而與橋的剛度無(wú)關(guān)。阻尼越大，橋產(chǎn)生側(cè)向振動(dòng)越困難。

下面考察方程(4)來(lái)研究時(shí)滯τ的影響。將λ=iω(ω>0)代入方程(4)，分離實(shí)部和虛部，有

-ω2-ωsin(ωτ)εk3+kB=0

(6)

ω(cB-cos(ωτ)εk3)=0

(7)

將上兩式兩邊同時(shí)平方消去時(shí)滯τ，得到

(8)

解得

其中，

設(shè)ω=ω1,2為方程(8)的兩個(gè)正實(shí)根，根據(jù)方程組(6)和(7)有

(9)

則

其中，j=0,1,2,…。

根據(jù)根的分布理論，可能出現(xiàn)一對(duì)根來(lái)回穿越的情況，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性也來(lái)回切換。時(shí)滯τ就有可能會(huì)影響到橋的側(cè)向振動(dòng)的發(fā)生。

2 時(shí)滯影響分析

為了分析時(shí)滯τ對(duì)橋側(cè)向振動(dòng)的影響，可利用中心流形定理和規(guī)范性理論[9]對(duì)橋側(cè)向振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)振幅受時(shí)滯τ的影響規(guī)律加以研究?？梢郧蟮胘=0，在特征值穿越時(shí)，時(shí)滯特征值τ附近，動(dòng)力系統(tǒng)(3)的定性行為如圖1所示。

圖1 j=0時(shí)τ的分岔示意

3 數(shù)值分析

使用文獻(xiàn)[10]中橋梁參數(shù)做數(shù)值模擬，在(3)式中取MB=106132 kg，KB=179758 kg/s2，CB=8736 kg/s，k1=0.04，k2=0.2，k3=20，MPg=206550 N，則W=0.0823-0.3114G(fB)。當(dāng)G(fB)=0.2643時(shí)，W=0。如果人對(duì)橋的反饋中不考慮時(shí)滯，則G(fB)>0.2643時(shí)橋發(fā)生側(cè)向振動(dòng)。分別取G(fB)=0.2和G(fB)=0.5。

G(fB)=0.2時(shí)，(8)式?jīng)]有正實(shí)數(shù)解。因此τ的存在不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不管時(shí)滯有多大，系統(tǒng)總是穩(wěn)定。如圖2，3所示，數(shù)值結(jié)果說(shuō)明了分析的正確。

圖2 G(fB)=0.2，τ=0，橋梁側(cè)向振動(dòng)時(shí)程

圖3 G(fB)=0.2，τ=1，橋梁側(cè)向振動(dòng)時(shí)程

當(dāng)G(fB)=0.5時(shí)，考慮(3)式中τ>0，則存在τ:0≤τ≤τ0，使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)τ≥τ0時(shí)系統(tǒng)重新穩(wěn)定下來(lái)。此時(shí)根據(jù)式(7)，有

ω1=4.182, ω2=4.0499,

則：τ1j=0.2424+1.5j，τ2j=0.2503+1.55j，

其中，j=0,1,2,…。

根據(jù)根的穿越理論，此時(shí)有一對(duì)根從右半平面穿過(guò)虛軸，使得系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)從不穩(wěn)定到穩(wěn)定。由于原點(diǎn)是系統(tǒng)(3)的唯一平衡點(diǎn)，因此時(shí)滯τ>0的存在使得產(chǎn)生周期解消失。上述分析過(guò)程如圖4，5所示。

圖4 G(fB)=0.5，τ=0，橋梁側(cè)向振動(dòng)時(shí)程

圖5 G(fB)=0.5，τ=0.3，橋梁側(cè)向振動(dòng)時(shí)程

4 結(jié) 論

本文對(duì)Nakamura的單自由度橋梁側(cè)向振動(dòng)模型進(jìn)行了全面的非線性分析。模型認(rèn)為同步人群對(duì)橋側(cè)向振動(dòng)的作用相當(dāng)于對(duì)于橋施加一個(gè)速度反饋。但實(shí)際上，人群對(duì)橋的作用不可能是瞬時(shí)產(chǎn)生的，而是存在一個(gè)時(shí)間滯后，本文考慮一個(gè)帶時(shí)滯的作用力模型。當(dāng)時(shí)間滯后不存在時(shí)，同步人群的比例越高，人群飽和度越大越容易導(dǎo)致人與橋的共振。橋梁的阻尼是唯一限制橋振動(dòng)的因素。這些參量與橋側(cè)向振動(dòng)之間的關(guān)系可由式W=cB-εk3的符號(hào)來(lái)判斷。當(dāng)阻尼相對(duì)較大時(shí)橋的側(cè)振容易停下來(lái)，甚至很難擺起。阻尼過(guò)小，或者同步人群增多或者人群飽和度加大，橋?qū)⒈患て鸪掷m(xù)的側(cè)向振動(dòng)。研究發(fā)現(xiàn)時(shí)滯的出現(xiàn)可以使得橋的減振減小。當(dāng)阻尼較大時(shí)，時(shí)滯使得橋更快趨向平衡位置；當(dāng)阻尼較小，時(shí)滯可以使原來(lái)已經(jīng)出現(xiàn)的側(cè)向擺動(dòng)停下來(lái)。

由此可以看出，時(shí)滯的作用對(duì)橋的側(cè)向振動(dòng)影響非常明顯。一般來(lái)說(shuō)，影響時(shí)滯的因素有兩個(gè)，一個(gè)是內(nèi)在的因素，人的反應(yīng)時(shí)間，這是不可控的；另一個(gè)是外在的因素，人與橋面的接觸材料的特性和厚度，接觸材料越柔軟、越厚則滯后越大，這是可以調(diào)節(jié)的。因此可以考慮通過(guò)設(shè)計(jì)橋面材料來(lái)控制橋梁側(cè)向振動(dòng)。詳細(xì)的情況尚需進(jìn)一步的理論和實(shí)驗(yàn)研究。

[1] Zivanovic S, Pavic A, Renolds P. Vibration serviceability of footbridge under human-induced excitation [J]. Journal of Sound and Vibration, 2005,279(1-2):1-74.

[2] Griffin M J. Handbook of Human Vibration[M]. London: Academic press,1996.

[3] Pachi A, Ji T. Frequency and velocity of people walking[J]. Structural Engineering, 2005, 83(3): 36-40.

[4] Bachmann H, Ammann W. Vibrations in Structures: Induced by Man and Machines (3ed) [M]. Zurich: International Association for Bridge and Structural Engineering (IABSE), 1987.

[5] Ji T. On the Combination of Structural Dynamics and Biodynamic Methods in the Study of Human-structure Interaction[C]//The 35th UK Group Meeting on Human Response to Vibration, Vol.1, Institute of Sound and Vibration Research. England: University of Sounthampton, 2000: 183-194.

[6] Sachse R. The Influence of Human Occupants on the Dynamic Properties of Slender Structures [D]. Sheffield: University of Sheffield, 2002.

[7] Strogats S H, Abrams D m, McRobie A, et al.Crowd synchrony on the Millennium Bridge [J]. Nature, 2005, 483(7064): 43-44.

[8] Nakamura S, Kawasaki T. A method for predicting the lateral girder response of footbridges induced by pedestrians [J]. Journal of Constructional Steel Research, 2009, 65(8-9):1705-1711.

[9] Hassard B D, Kazarinoff N D, Wang Y H. Theory and Application of Hopf Brifurcation [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

[10] 趙國(guó)輝，劉健新. 人行天橋的側(cè)向振動(dòng)[C]// 第十七屆全國(guó)橋梁學(xué)術(shù)會(huì)議(下冊(cè)).重慶：重慶人民出版社，2006: 1111-1115.