一類三階兩點(diǎn)邊值問題解的存在性*

姚曉斌

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系，甘肅 成縣 742500)

1 引言

對(duì)于帶有各種邊值條件的顯式三階微分方程，已有很多的解的存在性結(jié)果，且在這些問題研究中有著很多的研究方法(見文獻(xiàn)[1-6]).非常自然地，會(huì)問：對(duì)于如下三階隱式微分方程兩點(diǎn)邊值問題

(1)

解的存在性結(jié)果是否仍然可獲得？本文將證明答案是肯定的.

2 預(yù)備知識(shí)

(H1)f:[0，1]×R×R→R是連續(xù)的；

(H2)存在M，L>0，使得對(duì)任意的u1，v1，u2，v2∈R.

f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)≤L(u2-u1)+M(v2-v1).

定義 如果α,β∈C3[0,1]且滿足

則α,β分別是問題(1)的上解和下解.

3 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)(H1)和(H2)成立，如果問題(1)有上解β和下解α滿足

α?(t)≤β?(t),0

，

證明 由于α?(t)≤β?(t)，0

α(t)≥β(t)

.

證明分為如下五部分:

第一步 問題(1)可轉(zhuǎn)化為

設(shè)v(t)=u?(t).注意到u(0)=A,u′(1)=B,u″(1)=C，因此v是如下積分方程

(2)

的解，這表明

是問題(1)的解，其中

第二步 設(shè)x(t)=α?(t)，y(t)=β?(t)，結(jié)合條件(H2)，有

(i)x,y∈C[0,1],x(t)≤y(t);

x0(t)≤x1(t)≤x2(t)≤…≤xn(t)≤…≤
yn(t)≤…≤y2(t)≤y1(t)≤y0(t).

此外，有x0≤xn≤x*≤y*≤yn≤y0,n=0,1,2….

第四步 證明x*,y*是(2)的解.

因f連續(xù)且

故

于是

注意到

可得

因此，

即x*是(2)的解.

同理易得y*是(2)的解.

第五步 設(shè)

則

參考文獻(xiàn)：

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