高等代數(shù)中共性問(wèn)題的教學(xué)探究*

張淑娜，李宗娟

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002)

高等代數(shù)課程是大學(xué)數(shù)學(xué)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一.通過(guò)這門課程的學(xué)習(xí),可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng).同時(shí)，該課程的理論是后繼課程的基石，對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)起到至關(guān)重要的作用.但是，高等代數(shù)課程的概念、計(jì)算、定理及其證明繁多，計(jì)算及證明又依賴于概念和基本理論.因而,無(wú)論是從一般的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程,還是從該課程本身的特點(diǎn)出發(fā),概念和基本理論的教學(xué)都是整個(gè)課程教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié),必須引起教師的高度重視.下面對(duì)高等代數(shù)的幾組重要概念和理論加以比較，可明顯地看到對(duì)有共性的概念和理論求同存異地教學(xué)，能很好地幫助學(xué)生理解和掌握這些概念及理論，為計(jì)算及證明打好基礎(chǔ)，提高該課程的教學(xué)效果.

1 共性概念的教學(xué)

1.1 線性變換與兩個(gè)線性空間同構(gòu)

線性變換是指線性空間V自身到自身的映射σ，如果對(duì)于V中任意的元素α,β和數(shù)域P中任意數(shù)k，都有①σ(α+β)=σ(α)+σ(β)；②σ(kα)=kσ(α).

兩個(gè)線性空間同構(gòu)是指數(shù)域P上兩個(gè)線性空間V到W之間有一個(gè)映射ρ，且具有以下性質(zhì)①ρ(α+β)=ρ(α)+ρ(β)；②ρ(kα)=kρ(α)．其中α,β是V中任意向量，k是P中任意數(shù).

顯然，兩個(gè)概念的相同點(diǎn)：兩者必須滿足兩條相同的性質(zhì).一是V中任意兩個(gè)向量的和的像等于像的和，二是任一向量的數(shù)量倍的像等于此向量像的相同數(shù)量倍.不同點(diǎn)：線性變換只要求同一個(gè)空間之間有一個(gè)映射，而同構(gòu)是兩個(gè)線性空間之間必須存在著一個(gè)雙射.按照高等代數(shù)的知識(shí)體系，先是介紹同構(gòu)的概念.因而，當(dāng)教者在講授線性變換概念時(shí)參照同構(gòu)的概念加以講解，只是將定義的對(duì)象改變，將兩個(gè)線性空間之間的對(duì)應(yīng)換成線性空間自身到自身的對(duì)應(yīng)，將雙射對(duì)應(yīng)換成映射，而應(yīng)滿足的兩條性質(zhì)不變.這樣，既易于學(xué)生接受線性變換這個(gè)新概念，又使學(xué)生對(duì)同構(gòu)的概念加深理解.

1.2 向量組的極大無(wú)關(guān)組，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與線性空間的基

向量組的極大無(wú)關(guān)組是指一個(gè)向量組α1,α2,…,αl的一個(gè)部分組αi1,αi2，…,αir(r≤l)如果①部分組αi1,αi2,…,αir(r≤l)本身是線性無(wú)關(guān)的；②向量組α1,α2,…,αl中任意一個(gè)向量都可由這個(gè)部分組αi1,αi2,…,αir線性表出.

齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是指一個(gè)齊次線性方程組的一組解η1,η2,…,ηm，如果①此組解η1,η2,…,ηm是線性無(wú)關(guān)的；②方程組的任意一個(gè)解都能表成η1,η2,…,ηm的線性組合.

線性空間的基是指線性空間V的一組向量組ε1,ε2,…,εn，如果①此向量組ε1,ε2,…,εn是線性無(wú)關(guān)的；②設(shè)α是V中任一向量，則ε1,ε2,…,εn,α線性相關(guān)，即α可由ε1,ε2,…,εn線性表示.

顯然，三者的相同點(diǎn)：被定義的對(duì)象首先是一組線性無(wú)關(guān)向量組．其次，此向量組可以線性表示原向量組或空間向量的每一個(gè)向量.三者的不同點(diǎn)：極大線性無(wú)關(guān)組的定義對(duì)象為一個(gè)向量組，基的定義對(duì)象為線性空間，基礎(chǔ)解系的定義對(duì)象為一個(gè)齊次線性方程組的解.總之，定義的對(duì)象不同得到不同的概念.此組三個(gè)概念萬(wàn)變不離其宗.在授課的過(guò)程中，講清楚三個(gè)概念的兩個(gè)本質(zhì)，即它們的共同點(diǎn)，剖析好它們的不同點(diǎn)，便可使學(xué)生很好地掌握這三個(gè)概念.

1.3 過(guò)渡矩陣與線性變換的矩陣

過(guò)渡矩陣和線性變換下的矩陣均是某個(gè)n維線性空間V的一組基的線性組合的n個(gè)表達(dá)式，由基向量組的每一個(gè)基向量的表示系數(shù)，按照它們?cè)诒磉_(dá)式的位置而得到的轉(zhuǎn)置矩陣，即表示系數(shù)作為相對(duì)應(yīng)的列而得到的矩陣.二者的不同點(diǎn)：過(guò)渡矩陣的n個(gè)表達(dá)式，是由某個(gè)n維線性空間V的某一組基的線性組合，來(lái)表示此線性空間的另一組基中的每一個(gè)向量；而線性變換下的矩陣表達(dá)式，都是某個(gè)n維線性空間V的一組基的線性組合，來(lái)表示此組基中的每一個(gè)向量在此線性變換下的像.

學(xué)生先接觸的是過(guò)渡矩陣，且學(xué)過(guò)此概念后，最容易犯的錯(cuò)誤就是將基向量的表示系數(shù)，按照在表達(dá)式中的位置，直接得到所要求的過(guò)渡矩陣，而忘記將此矩陣轉(zhuǎn)置才是所求的矩陣.在講授過(guò)渡矩陣概念時(shí)，應(yīng)著意強(qiáng)調(diào)矩陣的轉(zhuǎn)置，以免學(xué)生犯錯(cuò).在以后接觸線性變換矩陣時(shí)，再將其與過(guò)渡矩陣相比，重申矩陣的轉(zhuǎn)置.通過(guò)類比講解，會(huì)大大減少學(xué)生犯錯(cuò)誤的概率，加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)概念的理解.

1.4 向量在基下的坐標(biāo)關(guān)系

向量在兩組不同基下的坐標(biāo)關(guān)系:數(shù)域P上n維線性空間V中任一向量ξ在基εi(i=1,2,…,n)下的坐標(biāo)為(x1,x2,…,xn)，在另一組基ε'i(i=1,2,…,n)下的坐標(biāo)為(x'1,x2,…,x'n)，且由基εi到ε'i(i=1,2,…,n)的過(guò)渡矩陣為A,則(x'1,x'2,…,x'n)T=A(x1,x2,…,xn)T.

某向量的坐標(biāo)和它的像的坐標(biāo)關(guān)系：數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換σ，在它的一組基ηi(i=1,2,…,n)下的矩陣為T,又V中任一向量ξ'與其像σξ'，在此基下的坐標(biāo)分別為(y,y2,…,yn)及(y'1,y'2,…,y'n)，則有(y'1,y'2,…,y'n)T=T(y1,y2,…,yn).

兩個(gè)關(guān)系等式的相同點(diǎn)：都是一組坐標(biāo)左乘矩陣等于另外一組坐標(biāo)，用矩陣作橋梁連接兩組坐標(biāo)之間的關(guān)系.不同點(diǎn)：某一向量在兩組不同基下的坐標(biāo)關(guān)系式，作為紐帶的矩陣，是第一組基到第二組基的過(guò)渡矩陣，此過(guò)渡矩陣右乘此向量在第一組基下的坐標(biāo)，等于它在第二組基下的坐標(biāo).而某一向量在某一組基下的坐標(biāo)和它的像在相同基下的坐標(biāo)關(guān)系式中，作為紐帶的矩陣，是線性變換下的矩陣，右乘此向量在這組基下的坐標(biāo)，等于此向量在線性變換下的像的坐標(biāo).

2 共性理論的教學(xué)

2.1 向量組的線性性與齊次方程組解的情況之間的聯(lián)系

(1)向量組的線性性．向量組α1,α2,…,αt(t≥1)稱為線性相關(guān)的，如果有數(shù)域P中的一組不全為零的數(shù)r1,r2,…,rt使得

r1α1+r2α2+…+rtαt=0.(*)

否則，稱為線性無(wú)關(guān)的向量組.

分析：從(*)式可明顯看出r1=r2=…=rt=0時(shí)，等式恒成立.除此種情況外，若再找到一組不全為零的數(shù)滿足(*)式，則此向量組為線性相關(guān)的.如若再也找不到一組不全為零的數(shù)滿足(*)式，則此向量組為線性無(wú)關(guān)的.

2.2 生成子空間的基與極大無(wú)關(guān)組的關(guān)系

1)若i=s，則α1,α2,…,αs本身為極大無(wú)關(guān)組，那么由它們生成的子空間L(α1,α2,…,αs)的基為α1,α2,…,αs，且dimL(α1,α2,…,αs)=s.

2)若i

例1 求由向量組α1,α2,α3生成的子空間L(α1,α2,α3)的一組基及維數(shù)，其中

α1=(1,2,3),α2=(7,4,9),α3=(5,0,3)

3 小結(jié)

本文從高等代數(shù)的共性概念和共性理論兩個(gè)方面，闡述了高等代數(shù)共性問(wèn)題的教學(xué)．在授課過(guò)程中，只要將有共性問(wèn)題的第一個(gè)概念或理論講清晰，后面的與其對(duì)比進(jìn)行講解，不僅使學(xué)生感到思路清晰，接受得又快又好，印象也會(huì)深刻，而且也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，會(huì)起到事半功倍的教學(xué)效果．

參考文獻(xiàn)：

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