一維大氣污染模式的二次有限體積H1估計(jì)*

王 平

(連云港師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，江蘇 連云港 222006)

大氣污染通常是指由于人類活動(dòng)或自然過程引起某些物質(zhì)(污染物)進(jìn)入大氣中，呈現(xiàn)出足夠的濃度，達(dá)到足夠的時(shí)間，并因此對(duì)人類和生物造成危害的現(xiàn)象.大氣污染模式是污染物在大氣中遷移和擴(kuò)散規(guī)律的數(shù)學(xué)描述，是環(huán)境數(shù)學(xué)模式的一種.利用這種模式可以預(yù)報(bào)在給定的污染源強(qiáng)度(單位時(shí)間排放量)和氣象條件下某種污染物的時(shí)間和空間分布.許多例子表明，大氣污染數(shù)學(xué)模式可以比監(jiān)測(cè)網(wǎng)更迅速、更經(jīng)濟(jì)地提供污染物分布的近似情況，這種模式可以用物質(zhì)連續(xù)方程的數(shù)值求解來模擬污染物的擴(kuò)散、遷移和反應(yīng)過程.我們考慮下面一維大氣污染模式[1-3]的初邊值問題:

(1)

其中I=[a，b]為具有光滑邊界的有界區(qū)域，u0(x)為已知的光滑函數(shù)，u表示化學(xué)種類的濃度，c(x)為風(fēng)速，k(x)為擴(kuò)散系數(shù)，Q(u)描述了化學(xué)反應(yīng)，放射源用E表示，k1和k2是常數(shù)系數(shù).同時(shí)給定下列假設(shè):

(c)Q(u)滿足Lipschitz條件.

對(duì)于污染物在大氣中的擴(kuò)散問題的研究運(yùn)用的方法有:矩陣分解近似法[4，5]，Rosenbrock法[5，6]等，這些方法基本上是將大氣污染模式的偏微分方程組轉(zhuǎn)化為幾個(gè)常微分方程組，用不同的方法求解常微分方程組進(jìn)而近似得到(1)式中的u.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，通過計(jì)算機(jī)模擬來分析大氣污染的擴(kuò)散過程已經(jīng)成為研究大氣污染的最有效手段之一.本文我們運(yùn)用另外一種方法——有限體積元方法來分析求解.有限體積元法是求解微分方程邊值問題的重要方法之一[1，2].該方法從微分方程的積分守恒形式出發(fā)，具有非常好的質(zhì)量守恒性質(zhì)，在計(jì)算流體力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.有限體積元法[3，7]不僅具有有限差分法計(jì)算的簡(jiǎn)單性的特點(diǎn)，還兼有有限元法精確性的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也保持了整體或局部的質(zhì)量守恒，因此它在很多實(shí)際問題的計(jì)算和理論研究中具有非常廣泛的應(yīng)用.

本文中給出的ε表示一個(gè)普通的很小的正數(shù)，不同之處有不同的含義.

1 全離散有限體積元格式

用Hm表示I=[a，b]上的m階Sobolev空間，‖·‖m表示Hm范數(shù)，L2(I)表示在I上平方可積的Lebesgue空間，(·，·)表示I上的H0=L2內(nèi)積，定義下列記號(hào):

(2)

任一vh∈Vh可表示為

選取上面的試探函數(shù)空間和檢驗(yàn)函數(shù)空間，離散時(shí)間，從而得到全離散的有限體積二次元格式為:求Un+1∈Uh，使得

(3)

其中

2 誤差估計(jì)

對(duì)?uh∈Uh，引入下面的離散范數(shù):

引理1[7]在Uh中，|·|0，h與|·|0等價(jià)，|·|1，h與|·|1等價(jià)，也就是說存在與Uh無關(guān)的常數(shù)，使得c1，c2，c3，c4，使得

c1|uh|0，h≤|uh|0≤c2|uh|0，h，?uh∈Uh;
c3|uh|1，h≤|uh|1≤c4|uh|1，h，?uh∈Uh.

引理2[7]下列結(jié)論成立:

引理3[7]存在正常數(shù)h0，α和M，使得當(dāng)0

下面進(jìn)行H1估計(jì).

記ξ=U-hu，η=u-hu，則U-u=ξ-η.

由(2)和(3)，得到下列的誤差方程:

(4)

(5)

(6)

記(4)式右端四項(xiàng)分別為T1，T2，T3，T4，由引理1，(4)式轉(zhuǎn)化為

(7)

運(yùn)用ε不等式，(7)式右端各項(xiàng)估計(jì)分別為

所以

t1≤Mh4+ε‖?tξn+1‖02.

(8)

因?yàn)?/p>

而

所以

Mh‖wh‖0，

則

T2≤Mh2+ε‖?tξn+1‖02.

(9)

因?yàn)?/p>

而

所以

T3≤M(Δt)2+ε‖?tξn+1‖02.

(10)

因?yàn)?/p>

又

‖f(Un)-f(un+1)‖0≤M‖Un-un+1‖0≤
M‖ξn‖0+MhI2|un|2+MΔt‖ut2‖0，

所以

T4≤M‖ξn‖02+M(h4+(Δt)2)+ε‖?tξn+1‖02.

(11)

聯(lián)立上面各式，易得

(12)

選擇合適的ε，(12)式兩邊同時(shí)乘以2Δt，并對(duì)n從0到N-1求和，得

(13)

注意到ξ0=U0-(hu)0=0，運(yùn)用Gronwall引理，得

定理1 假設(shè)u是問題(1)的解，U為全離散有限體積二次元格式(3)的解，有下列的誤差估計(jì)成立:

‖UN-uN‖1≤M(h+Δt)

(14)

參考文獻(xiàn)：

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