Kruskal-Wallis秩和檢驗及其應(yīng)用*

田 兵

(包頭師范學(xué)院 《陰山學(xué)刊》編輯部，內(nèi)蒙古 包頭 014030)

方差分析是研究一種或多種因素的變化對實驗結(jié)果的觀測值是否有顯著影響，從而找出較優(yōu)的試驗條件或生產(chǎn)條件的一種常用數(shù)理統(tǒng)計的方法.其被廣泛的應(yīng)用到社會各個領(lǐng)域.方差分析過程需要滿足若干條件F檢驗才能進行.但是在實際研究工作中，觀測得到的數(shù)據(jù)往往不能滿足這些條件.

在現(xiàn)實的研究中，我們遇到的數(shù)據(jù)常常具備以下特點：

(1)數(shù)據(jù)的總體分布類型未知；或

(2)數(shù)據(jù)的總體分布類型已知，但不符合正態(tài)分布；或

(3)某些變量可能無法精確測量.

對于類似的數(shù)據(jù)，除了將數(shù)據(jù)進行變量替換或者是t檢驗以外，還可以使用非參數(shù)統(tǒng)計方法.參數(shù)統(tǒng)計是總體分布類型已知，用樣本值來對總體參數(shù)進行估計或者是做出假設(shè)檢驗的統(tǒng)計方法.非參數(shù)統(tǒng)計是拋開總體分布類型不考慮，對總體參數(shù)不做比較，比較的是總體分布的位置是否相同的統(tǒng)計方法.秩和檢驗是非參數(shù)統(tǒng)計中一種經(jīng)常使用的檢驗方法.這里的“秩”又可被稱為等級，即按照數(shù)據(jù)大小排定的次序號.此次序號的總和被稱為“秩和”.如果將所觀測的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為秩統(tǒng)計量，由于秩統(tǒng)計量的分布與總體分布無關(guān)，這樣就可以避開總體分布的要求.上述問題就可以通過數(shù)據(jù)的秩統(tǒng)計量就解決了.

在比較兩個以上的總體時經(jīng)常使用Kruskal-Wallis秩和檢驗，它是對于兩個以上樣本進行比較的非參數(shù)檢驗方法.

1 Kruskal-Wallis秩和檢驗

Ri1,Ri2,…,Rini,i=1,2,…,m,

假設(shè)觀測值中無結(jié)點，即Ri1

H0:各處理方法的效果無顯著差異

能否接受.

為了構(gòu)造合適的檢驗統(tǒng)計量，只有原假設(shè)是不夠的，還應(yīng)對相應(yīng)的備擇假設(shè)有足夠的了解.Kruskal-Wallis秩和檢驗考慮的是最常見的一種備擇假設(shè)，即各方法的處理效果如果有差異，其差異主要反映在各組個體處理效果的度量值的分離上.也就是說，如果這些方法的實際效果有明顯的區(qū)別，那么接受各種方法試驗的個體的秩之間有一個排序，其中某些方法中個體的秩趨于取較小值，另一些方法中個體的秩趨于取較大的值.下面針對此類備擇假設(shè)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量.令

其中Ri·是第i組個體的秩的平均值(i=1,2，…，m)，R··是總的平均值.如果這些方法的實際效果之間有明顯的區(qū)別，按上述備擇假設(shè)，則Ri·(i=1,2，…，m)相互差異較大.反之，若H0為真，由于分組時是隨機的，則各Ri·(i=1,2，…，m)差異應(yīng)較小，且都分散在R··附近.因此，可以用(Ri·-R··)2的加權(quán)來度量各Ei·與R··的接近程度.令

稱K為Kruskal-Wallis統(tǒng)計量.若H0不真，則K有偏大的趨勢.因此，其拒絕域形式為

K≥c

或者計算出相應(yīng)的P值.當(dāng)P值小于相應(yīng)的顯著性水平，則拒絕原假設(shè).上述檢驗方法稱為Kruskal-Wallis秩和檢驗.

2 Kruskal-Wallis秩和檢驗的適用范圍及其優(yōu)缺點

2.1 適用范圍

(1)等級數(shù)據(jù).

(2)偏態(tài)分布數(shù)據(jù).當(dāng)觀察得到的數(shù)據(jù)表現(xiàn)出明顯的偏態(tài)分布卻沒有作變量變換，或變量變換后依舊未達到正態(tài)或近似正態(tài)分布，比較兩個以上的總體時宜用Kruskal-Wallis秩和檢驗.

公司背靠萬達商業(yè)，跨區(qū)域開發(fā)能力突出，兼具高流量和低成本優(yōu)勢。大部分依托于萬達商業(yè)地產(chǎn)，選址風(fēng)險和租金成本均低于行業(yè)平均。隨著萬達商業(yè)在三四線城市加速下沉，公司有望在三四線市場提高影響力。公司票房市占穩(wěn)定在13-15%，領(lǐng)先的放映技術(shù)和觀影體驗帶來高票價，NOC系統(tǒng)和大數(shù)據(jù)分析助力科學(xué)排片，提升上座率。隨著行業(yè)擴張回歸理性、中小院線出清，經(jīng)營效率高的龍頭有望提升盈利能力和市場占有率。

(3)方差不齊，且不能通過變量變換達到齊性.

(4)個體數(shù)據(jù)偏離過大，一端或兩端無界的數(shù)據(jù).

(5)分布類型不明.

2.2 優(yōu)點

(1)對樣本所來自的總體分布形式?jīng)]有要求，不受總體分布限制，適用面廣.

(2)收集資料方便，可用“等級”或“符號”來記錄觀察結(jié)果.

(3)操作比較簡便，易于理解、掌握，容易計算.

2.3 缺點

(1)不能充分利用信息，檢驗效能低，適用于參數(shù)檢驗的資料用Kruskal-Wallis秩和檢驗會降低檢驗效能.

(2)得出的是各總體分布不同或不全相同的結(jié)論.若要對每兩個總體分布做出有無不同的推斷，需要作組間的兩兩比較.

(3)編秩時相同值要取平均秩次；相同秩次較多時，統(tǒng)計量要校正.

3 實例

以小白鼠為對象研究正常肝核糖核酸(RNA)對癌細胞的生物作用，試驗分別為對照組(生理鹽水)，水層RNA組和酚層RNA組，分別用此3種不同處理方法誘導(dǎo)肝癌細胞的果糖二磷酸酯(FDP酶)活力，數(shù)據(jù)如表1所示，那么3種不同處理的誘導(dǎo)作用是否相同？

表1 3種不同處理的誘導(dǎo)結(jié)果

解 根據(jù)題意，原假設(shè)

H0：試驗中3種誘導(dǎo)作用的效果無顯著差異，H1：試驗中3種誘導(dǎo)作用的效果有顯著差異.

R軟件提供了Kruskal-Wallis秩和檢驗，對應(yīng)的函數(shù)為kruskal.test()，使用方法如下

kruskal.test(x，g,...)

kruskal.test(formula,data,subset,na.action,...)

其中x是由數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量或者是列表；g是由因子構(gòu)成的向量，當(dāng)x是列表時，此項無效；formula是方差分析的公式；data是數(shù)據(jù)框.

我們根據(jù)R軟件中的kruskal.test函數(shù)來解決這個問題.

RNA<-data.frame(

X=c(2.79,2.69,3.11,3.47,1.77,2.44,2.83,2.52,

3.83,3.15,4.70,3.97,2.03,2.87,3.65,5.09,

5.41,3.47,4.92,4.07,2.18,3.13,3.77,4.26),

A=factor(rep(1:3,c(8,8,8)))

)

kruskal.test(X～A,data=RNA)

Kruskal-Wallis rank sum test

data:X by A

Kruskal-Wallis chi-squared=7.9322,df=2,p-value=0.01895

P=0.01895<0.05,H1為真，所以認為試驗中3種誘導(dǎo)作用的效果有顯著差異，3種誘導(dǎo)作用不同.

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