多元線性回歸模型在警力資源配置中的應(yīng)用

王二院

(中國(guó)人民公安大學(xué)，北京 100038)

1 警力資源配置的研究背景

以“警力資源配置”為關(guān)鍵詞，以“網(wǎng)頁”為對(duì)象，“百度一下”后找到相關(guān)結(jié)果約244 000個(gè)。第一篇為中國(guó)人民公安大學(xué)姜博，任亞丁的《警力資源配置問題淺析》，北京人民警察學(xué)院學(xué)報(bào)，2004年5月第3期。

谷歌搜索的結(jié)果為“所有結(jié)果找到約77 000條”結(jié)果。第一篇為謝子傳的《論警力資源優(yōu)化配置的若干問題》，發(fā)表日期:2007-12-7 2:25:12。來源:中思網(wǎng)。

筆者曾經(jīng)公開發(fā)表過3篇警力資源配置方面的論文，參考文獻(xiàn)［1］、［2］為其中兩篇。

當(dāng)前關(guān)于警力資源配置的文獻(xiàn)多數(shù)認(rèn)為中國(guó)警力資源不足，主張?jiān)黾拥拇胧┛梢苑譃閮蓚€(gè)方面，一是增加民警的絕對(duì)數(shù)量，二是提高民警的內(nèi)在素質(zhì)。本文研究的目的在于組織內(nèi)部警力資源的二次配置，即民警的絕對(duì)數(shù)量和內(nèi)在素質(zhì)不變的前提下進(jìn)行二級(jí)組織之間的定量調(diào)整。

2 多元線性回歸模型的理論描述

多元線性回歸模型的理論內(nèi)容包括4個(gè)方面:多元線性回歸方程;參數(shù)估計(jì);顯著性檢驗(yàn);估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。

2.1 多元線性回歸方程

2.1.1 多元線性回歸模型的一般形式

設(shè)因變量Y由k個(gè)自變量 Xj(j=1，2，…，k)共同決定，則:

2.1.2 多元線性回歸模型的基本假設(shè)［3］106-107

①解釋變量Xj是確定性變量，不是隨機(jī)變量。②解釋變量之間互不相關(guān)，即無多重共線性，否則無法估計(jì)回歸模型。③隨機(jī)誤差項(xiàng)服從均值為0、同方差的正態(tài)分布。④隨機(jī)誤差項(xiàng)不存在序列相關(guān)關(guān)系。⑤隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān)。

2.2 多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)

利用與一元回歸類似的最小二乘法可以得到總體參數(shù)的估計(jì)量和估計(jì)值。雖然計(jì)算過程要復(fù)雜一些，但用計(jì)算機(jī)很容易得到計(jì)算結(jié)果。在多元回歸中對(duì)回歸系數(shù)的解釋有所不同。例如變量X1的回歸系數(shù) b1應(yīng)解釋為:當(dāng) X2，X3，…，Xk不變時(shí)，X1每變動(dòng)一個(gè)單位因變量Y的平均變動(dòng)量。

設(shè):

2.3 多元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)

2.3.1 擬合優(yōu)度

擬合優(yōu)度R2在多元回歸中也稱為多重決定系數(shù)(multiple coefficient of determination)，它反映回歸直線的擬合程度，取值范圍在［0，1］之間。R2→1，說明回歸方程擬合得越好;R2→0，說明回歸方程擬合得越差。

可以證明式(8)成立。

在多元回歸中，比較自變量個(gè)數(shù)不同的方程的擬合效果時(shí)多使用修正的判定系數(shù)(adjusted multiple coefficient of determination):

若dU＜DW＜4-dU(dU為DW的上臨界值)，則誤差項(xiàng) μ1，μ2，…，μk之間無自相關(guān)。

2.3.5 多重共線性診斷

記R2為自變量xj對(duì)其余k-1個(gè)自變量的復(fù)決定系數(shù)，定義方差擴(kuò)大因子VIF如下:

一般情況下，若VIF＜10，則檢驗(yàn)通過。

2.4 多元線性回歸模型的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差

多元線性回歸中的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差是對(duì)誤差項(xiàng)ε的標(biāo)準(zhǔn)差σ的一個(gè)估計(jì)值。

式中k為模型中自變量的個(gè)數(shù)。

3 應(yīng)用多元線性回歸模型進(jìn)行警力資源配置的設(shè)想

3.1 確定問題

某市公安局下轄16個(gè)分局，由于各分局忙閑不均，市局黨委決定對(duì)全局警力進(jìn)行重新配置。假設(shè)條件有二:(1)總警力不變;(2)單個(gè)民警無差異。

3.2 準(zhǔn)備數(shù)據(jù)

表1的主要數(shù)據(jù)是某年各分局實(shí)有警力資源數(shù)和影響分局警力資源數(shù)量的4個(gè)因素。它們分別是:(1)各分局現(xiàn)有警力(y);(2)110報(bào)警數(shù)(次);(3)常住人口 (萬人);(4)刑事案件發(fā)案數(shù)(起);(5)勤務(wù)工作(人次)。根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，建立某市公安局警力資源配置模型，要求以(2)110報(bào)警數(shù);(3)常住人口;(4)刑事案件發(fā)案數(shù);(5)勤務(wù)工作為自變量，建立多元線性回歸模型。

3.3 選擇模型

根據(jù)問題要求，選擇多元線性回歸模型。

利用“IBM SPSS Statistics V19.0”［4］140-144生成表2和表3。

表1 某市公安局警力資源配置基礎(chǔ)數(shù)據(jù)表

表2 皮爾遜相關(guān)系數(shù)表

表2顯示刑事案件發(fā)案數(shù)與常住人口之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.942，勤務(wù)工作與110報(bào)警數(shù)之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.861，刑事案件發(fā)案數(shù)與110報(bào)警數(shù)之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.771。

表2和表3都說明影響分局警力資源數(shù)量的4個(gè)自變量之間存在多重共線性，必須對(duì)變量進(jìn)行篩選。

3.4 求解參數(shù)

打開“IBM SPSS Statistics V19.0”，依次單擊菜單欄中的【Analyze(分析)】→【Regression(回歸)】→【Linear(線性)】命令，彈出【Linear Regression(線性回歸)】對(duì)話框。將y變量選入“Dependent”欄后，需要將變量 x1，x2，x3，x4，同時(shí)選入“Independent(s)”欄。在【Method(方法)】選項(xiàng)組中選擇自變量的進(jìn)入方式【Stepwise(逐步)】。詳細(xì)選項(xiàng)如圖1，最后點(diǎn)擊“確定”。

表3 多重共線性診斷表

圖1 回歸分析選項(xiàng)圖

以下表4至表8共5張表均由SPSS生成。

表4顯示模型1只包含一個(gè)自變量“110報(bào)警數(shù)”，模型2只包含兩個(gè)自變量:“110報(bào)警數(shù)”和“勤務(wù)工作”。表4還顯示了設(shè)定引入和刪除變量的條件。

表5顯示了各個(gè)模型的擬合情況。模型2的復(fù)相關(guān)系數(shù) R=0.962，判定系數(shù) R Square=0.926，修正的判定系數(shù)Adjusted R Square=0.915，估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差Std.Error of the Estimate=507.963。表5最后一列顯示的是隨機(jī)誤差項(xiàng)序列自相關(guān)檢驗(yàn)情況。

表4 自變量進(jìn)入方式

表5 模型匯總表

表6顯示了各個(gè)模型的方差分析結(jié)果。模型2的 SSR=42 204 011.580，SSE=3 354 338.420，F(xiàn)=81.782，P=0.000。線性回歸方程顯著［5］。

表7顯示了各個(gè)模型的回歸系數(shù)。模型2的常數(shù)項(xiàng)(Constant)=420.268，“110 報(bào)警數(shù)”的回歸系數(shù)=0.035，回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差(Std.Error)=0.010 ，t檢驗(yàn)值 =3.393 ，P=0.005;“勤務(wù)工作”的回歸系數(shù)=0.042，回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差(Std.Error)=0.010 ，t檢驗(yàn)值 =3.357，P=0.005。按照α=0.05的水平，可以認(rèn)為兩個(gè)偏回歸系數(shù)都顯著有意義［3］93-135。模型2的回歸方程為

表6 方差分析表

3.5 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

根據(jù)求解參數(shù)過程中得到的計(jì)算結(jié)果可知，多元線性回歸模型的如下檢驗(yàn)均獲通過:1)擬合優(yōu)度R2檢驗(yàn)(表5);2)F檢驗(yàn)(表6);3)t檢驗(yàn)(表7);4)D-W檢驗(yàn)(表5);5)多重共線性檢驗(yàn)(表7)。

表7 回歸系數(shù)表

式(17)中變量x1的回歸系數(shù)為0.035，其統(tǒng)計(jì)含義:在“勤務(wù)工作”不變的條件下，“110報(bào)警數(shù)”每上升1個(gè)單位(次)，分局警力“平均”上升0.035個(gè)單位(人);變量x4的回歸系數(shù)為0.042，說明在“110報(bào)警數(shù)”不變的條件下，“勤務(wù)工作”每上升1個(gè)單位(人次)，分局警力就會(huì)“平均”上升0.042個(gè)單位(人)。

3.6 配置警力

利用“IBM SPSSStatistics V19.0”生成表8。

表8顯示了非標(biāo)準(zhǔn)化的預(yù)測(cè)值和殘差。第2行數(shù)據(jù)6672表示B1分局現(xiàn)有警力數(shù)，6264表示使用模型2計(jì)算得到的B1分局理想警力數(shù)，408表示使用模型2計(jì)算得到的B1分局應(yīng)當(dāng)調(diào)出的警力數(shù)。表8中第6列數(shù)據(jù)即市局警力資源配置的主要依據(jù)，正數(shù)表示調(diào)出的警力數(shù)，負(fù)數(shù)表示調(diào)入的警力數(shù)。其中B6分局應(yīng)當(dāng)調(diào)出的警力數(shù)最多，為719人;B4分局應(yīng)當(dāng)調(diào)入的警力數(shù)最多，為839人。

4 關(guān)于應(yīng)用多元線性回歸模型的注意事項(xiàng)

多元線性回歸模型是進(jìn)行警力資源配置非常理想的數(shù)學(xué)模型，但在應(yīng)用過程中必須通過5種檢驗(yàn)，對(duì)多重共線性和序列自相關(guān)性給予適當(dāng)?shù)奶幚怼?/p>

表8 非標(biāo)準(zhǔn)化的預(yù)測(cè)值和殘差表

4.1 多重共線性

多重共線性問題是違背解釋變量不相關(guān)假設(shè)所導(dǎo)致的問題。如果違背基本假設(shè)，則模型的參數(shù)無法估計(jì)，必須去掉一個(gè)自變量。表2顯示刑事案件發(fā)案數(shù)與常住人口之間，勤務(wù)工作與110報(bào)警數(shù)之間均存在高度多重共線性問題。此時(shí)，雖然不違背OLS的基本假設(shè)，正規(guī)方程仍有唯一解，OLS仍然是BLUE(Best Linear Unbiased Estimate)的，但是 t檢驗(yàn)值會(huì)減小、系數(shù)的顯著性下降。多重共線性問題會(huì)導(dǎo)致F檢驗(yàn)顯著，但所有回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)卻不顯著，甚至回歸系數(shù)的符號(hào)與其經(jīng)濟(jì)意義相反。

4.2 多元回歸中的變量篩選

在多元回歸中，預(yù)先選定的自變量不一定都對(duì)Y有顯著的影響。SPSS軟件提供了多種篩選自變量的方法［4］161-165:(1)“向前引入法(Forward)”;2)“向后剔除法(Backward)”;3)“逐步引入—剔除法(Stepwise)”。其中第3種方法比較理想，其思路是在每一步中都要對(duì)引入變量的顯著性作檢驗(yàn)，僅當(dāng)其顯著時(shí)才引入，而每引入一個(gè)新變量后，對(duì)前面已引進(jìn)的變量又要逐一檢驗(yàn)，一旦發(fā)現(xiàn)某變量變得不顯著了，就要將它剔除。這些步驟反復(fù)進(jìn)行，直到引入的變量都是顯著的而沒有引入的變量都是不顯著的時(shí)，就結(jié)束挑選變量的工作。

如果預(yù)先選定的自變量較多，應(yīng)該利用聚類分析生成數(shù)量較少的幾個(gè)新自變量。

4.3 異方差和序列相關(guān)

OLS估計(jì)需要隨機(jī)誤差項(xiàng)滿足同方差和序列不相關(guān)假設(shè)，否則就會(huì)產(chǎn)生異方差和序列相關(guān)的問題。

1)異方差。當(dāng)回歸模型隨機(jī)誤差項(xiàng)μ的方差不為常數(shù)時(shí)，即為異方差(Heteroscedasticity)現(xiàn)象。異方差問題是違背同方差假設(shè)的結(jié)果，當(dāng)異方差出現(xiàn)時(shí)，回歸模型的估計(jì)量不再具有最小方差的性質(zhì)，因此不再保持有效性;同時(shí)，t檢驗(yàn)也失效，無法對(duì)回歸系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)［6］。

2)序列相關(guān)。隨機(jī)誤差項(xiàng)之間的協(xié)方差不為零時(shí)，即存在序列相關(guān)(Serial Correlation)，又稱自相關(guān)。序列相關(guān)問題是違背序列不相關(guān)假設(shè)的后果，此時(shí)普通最小二乘估計(jì)量仍為無偏估計(jì)量，但不再具有最小方差的性質(zhì)，即不是“最優(yōu)線性無偏估計(jì)量”;回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)失效。

5 結(jié)論

多元線性回歸模型是進(jìn)行警力資源配置非常理想的數(shù)學(xué)模型，但在應(yīng)用過程中必須通過5種檢驗(yàn)，對(duì)多重共線性和序列自相關(guān)性給予適當(dāng)?shù)奶幚?。?yīng)用多元線性回歸模型進(jìn)行警力資源配置的程序可以劃分為6個(gè)步驟:①確定問題;②準(zhǔn)備數(shù)據(jù);③選擇模型;④求解參數(shù);⑤檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?⑥配置警力。

［1］ 饒俊新，曲京璞，王二院.優(yōu)化警力配置的四個(gè)突破口［J］.公安研究，2003(11):45-49.

［2］ 饒俊新，曲京璞，王二院.關(guān)于運(yùn)用定量分析方法科學(xué)配置警力資源的思考［J］.貴州警官職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，15(6):72-75.

［3］ 汪冬華.多元統(tǒng)計(jì)分析與SPSS應(yīng)用［M］.上海:華東理工大學(xué)出版社，2010:106-107.

［4］ 王璐，王沁.SPSS統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)、應(yīng)用與實(shí)戰(zhàn)精粹［M］.北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2012:140-144.

［5］ 賈俊平.統(tǒng)計(jì)學(xué)［M］.清華大學(xué)出版社，2006:400-420.

［6］ 李子強(qiáng).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.2版.北京:科學(xué)出版社，2008:247-248.