如何在“用數(shù)學”過程中運用高等數(shù)學思想

摘 要：本文從極限思想的運用、微積分思想的運用、數(shù)學建模思想的運用、數(shù)形結(jié)合思想的運用、化歸思想的運用五方面分析了高等數(shù)學思想在“用數(shù)學”過程中的運用。

關鍵詞：用數(shù)學 數(shù)學思想

培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的能力，不僅表現(xiàn)在培養(yǎng)學生對數(shù)學理論知識的運用能力，更要注重培養(yǎng)學生對高等數(shù)學思想方法的運用能力。

一、極限思想的運用

社會的發(fā)展催生了極限思想的產(chǎn)生，科技的進步促進了極限思想的完善，該思想用常量研究變量，由有限研究無限，由規(guī)則研究不規(guī)則，它以發(fā)展變化的眼光來看待處理問題，是思維方式由量到質(zhì)的飛躍。極限思想在現(xiàn)代數(shù)學、工程學科乃至社會生活中有廣泛的應用。當我們在“用數(shù)學”過程中，遇到不容易找到解決途徑時，則可以運用極限思想，一般過程是：弄清實際問題要解決的未知量；為方便研究未知量，假設新的條件；在新的條件下，根據(jù)“常量代替變量”“直線代替曲線”“均勻代替非均勻”等思路構(gòu)造函數(shù)，使得該函數(shù)在自變量無限變化時的結(jié)果就是要求的未知量。如：高等數(shù)學中導數(shù)、定積分、級數(shù)收斂的定義；幾何中曲線某點的切線斜率、曲線的弧長；物理中變速直線運動的瞬時速度、加速度，變力做功，實心帶電球體表面處的電勢、電場強度，長直載流導線產(chǎn)生的磁場分布；經(jīng)濟問題中瞬時增長率、連續(xù)復利；化學中一些平衡問題；建筑學中洞室工程安全系數(shù)；發(fā)動機極限功率的測試等等問題。這些問題都是運用極限思想方法加以解決的。

二、微積分思想的運用

“分割，局部取近似；求和，極限求精確”是微積分思想的簡要概況。微積分思想是一種實用性很強的思想方法，在數(shù)學的發(fā)展史上舉足輕重，它的創(chuàng)立改變了數(shù)學世界，它貫穿于整個微積分學知識體系中。微積分學在現(xiàn)實應用中的地位與日俱增，它廣泛應用于天文學、力學、物理學、生物學、工程學、經(jīng)濟學以及社會科學等領域，微積分思想在“用數(shù)學”過程中發(fā)揮著重要作用。其解決問題的一般過程是：

1.分割

將研究范圍分成若干個小區(qū)間。

2.取近似

在分割后的小區(qū)間內(nèi)取所求量對應的近似值。

3.求和

對小區(qū)間內(nèi)所取的近似值進行累加。

4.取近似

將累加值取極限以求精確值。如物理中的運動問題、氣體問題、電路問題，不規(guī)則物體的重心；化學色譜圖的定量分析；經(jīng)濟學中的邊際分析、彈性分析，最值分析、最優(yōu)化設計；天氣預報中流體力學的應用；工程力學中剪應力、梁的變形、結(jié)構(gòu)位移、梁及剛架的平移；運動學中曲線軌跡求解（如籃球投籃訓練中的應用），軍事中計算導彈的軌跡，工程中彎道的曲線；機電工程技術(shù)中多種振動現(xiàn)象的研究；電工電子學中振蕩電路的研究；環(huán)境問題中煙塵濃度的測定；建筑工程中異形體構(gòu)造物的施工設計，平行條件的校核、影響線的應用、水準面曲率對水平距離的影響、圓曲線的詳細測設、道路施工豎曲線的測設等等。

以求水對閘門的壓力為例：

設有一等腰三角形閘門（如左圖），垂直置于水中，底邊與水面相齊，已知閘門底邊長為a（單位：m），高為h（單位：m），試求閘門所受的水壓力。

解：建立直角坐標系。

已知：壓強與水深成正比，故沿水平方向分割閘門，分割后寬度為dx，即積分變量為x。

對應小區(qū)間〔[x，x+dx]〕，閘門上有高為dx的小條，其所受的水壓力的近似值為△F≈dF=agx（1-）dx（kN）

于是整個閘門所受水壓力為

F=∫ho agx（1-）dx=ag[-]h0

三、數(shù)學建模思想的運用

“學數(shù)學”的最高境界是“用數(shù)學”，在架設數(shù)學知識與實際應用之間的橋梁中，數(shù)學建模是最有效的方法之一。數(shù)學建模就是用數(shù)學知識解決實際問題，其思想方法是：首先對實際問題進行分析，把其中的各種關系用數(shù)學的語言進行描述，即構(gòu)建數(shù)學模型，由此，就將實際問題的解決轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的求解，然后選擇合適的數(shù)學方法進行運算，最后，將數(shù)學運算結(jié)果與實際情況進行校對、驗證、修改，從而使實際問題得以解決。因此，運用數(shù)學建模思想解決實際問題的一般步驟是：問題分析—模型假設—模型建立—模型求解—模型檢驗—模型應用。在現(xiàn)代生活的各個方面，數(shù)學建模思想都有具體的應用，有生物數(shù)學模型、醫(yī)學數(shù)學模型、地質(zhì)數(shù)學模型、數(shù)量經(jīng)濟學模型、數(shù)學社會學模型等。如：SARS傳播、醉酒駕車、長江水質(zhì)污染、風險投資、DVD在線租賃、描述藥物濃度在人體內(nèi)的變換規(guī)律以分析藥物療效、氣象預報、人口預測、生產(chǎn)計劃、資源配置、運輸網(wǎng)絡規(guī)劃、水庫優(yōu)化調(diào)度、生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制等等都是通過建立不同的數(shù)學模型得以解決的。

以判斷一起交通事故是否與酒駕有關為例：若血液中酒精含量超過80%（mg/ml）即屬于酒駕，現(xiàn)有一起交通事故，司機血液內(nèi)酒精含量在事發(fā)3小時后測得為56%（mg/ml），5小時后，酒精含量降為40%（mg/ml）。試判斷，事故發(fā)生時司機是否構(gòu)成酒駕？

經(jīng)過分析，假設事故發(fā)生時，時間為t=0，x（t）為t時刻血液中酒精含量的濃度，只需求出x（0）即可。依據(jù)平衡原理以及導數(shù)的定義，得到dx/dt=-kx，且滿足x（3）=56，x（5）=40，由此，構(gòu)建了數(shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。運用數(shù)學知識，求解得到x（0）約等于93.25%，超過80%。通過建立數(shù)學模型，幫助警方順利判斷出是否該對司機進行處罰。

四、數(shù)形結(jié)合思想的運用

數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最基本的研究對象，數(shù)形結(jié)合思想概況為：“以數(shù)輔形、以形助數(shù)”，其表現(xiàn)形式是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像相結(jié)合，從而實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想主要用于解決數(shù)學問題，解決方式一般是用數(shù)的精確表達圖形的特征或者利用圖形特征反映數(shù)之間的變化關系。解析幾何就是數(shù)形結(jié)合的典范，再如方程、不等式、復數(shù)、三角函數(shù)的求解，概率論性質(zhì)的理解，以及函數(shù)定義域、值域、極限、導數(shù)、極值、最值、凹凸性、定積分、級數(shù)等，無不滲透著數(shù)形結(jié)合的思想，用數(shù)形結(jié)合思想解決的范例不勝枚舉。

五、化歸思想的運用

化歸思想表現(xiàn)為：由陌生化為熟悉，由復雜化成簡單，由抽象化成直觀，由不確定化為確定。常見具體形式有：數(shù)數(shù)轉(zhuǎn)化，形形轉(zhuǎn)化，數(shù)形轉(zhuǎn)化，理論與實際的轉(zhuǎn)化等?；瘹w思想在數(shù)學解題中無處不在，三角函數(shù)，解析幾何，線性代數(shù)、微積分等數(shù)學理論無不滲透著轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)學建模中模型的建立正是化歸思想的運用。如：通過按行按列展開，將階數(shù)較高的行列式化為階數(shù)較低的行列式；求極限中，通過等價無窮小替換將復雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)，將∞—∞、0∞、1∞等未定型轉(zhuǎn)化為可求解的0/0或∞/∞型；求不定積分中，通過換元簡化積分難度；無窮級數(shù)中，利用比較審斂法判斷正項級數(shù)的斂散性等等。

綜上所述，高等數(shù)學思想方法無論在數(shù)學本身還是生活實際中都有著廣泛的應用，充分理解并靈活運用好這些思想方法，不僅有助于提高“學數(shù)學”的能力，而且還可以大大提高“用數(shù)學”的能力。

參考文獻：

[1]王桂珍主編.高等數(shù)學[M].濟南：山東人民出版社，2009.

[2]李佐鋒.數(shù)學建模[M].長春：東北師范大學，2005.