跳不出“長方體”掌心的“三棱錐”

方汪濤

(湖南省岳陽市岳陽中學(xué) 414000)

三棱錐是常見的最簡單的幾何體，也是高考對幾何體考查常常青睞的背景對象. 許多三棱錐問題直接解決比較困難，但如果將三棱錐還原成一個長方體，問題往往就迎刃而解.

一、棱長都相等的三棱錐?正方體

圖1 圖2

圖3

解析此題情境設(shè)置簡潔，解決方法也多，通?？梢钥紤]作出對棱的公垂線段再轉(zhuǎn)化為直角三角形求解. 不過若能意識到把這個正四面體置于一個正方體結(jié)構(gòu)中(如圖2)，則瞬間得到結(jié)果，所求距離就是該正方體的棱長，為1，選A.

點(diǎn)評正四面體的可以通過正方體切割得到，當(dāng)然正四面體也可以還原為正方體. 正四面體的六條棱就是這個還原正方體的六條面對角線.從而它們之間的關(guān)系顯而易見. 同學(xué)們試試這個問題：已知正四面體的俯視圖如圖3所示，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則這個正四面體的體積為 .

二、共點(diǎn)的棱兩兩垂直的三棱錐?長方體

圖4

點(diǎn)評這是2012年高考遼寧理科試題，以側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐為背景，考查與球的關(guān)系. 如果直接從正三棱錐入手，則比較困難. 抓住側(cè)棱兩兩垂直，即教室的墻角，可以還原為正方體整體解決.

三、不共點(diǎn)的棱互相垂直的三棱錐?長方體

圖5

(1)求證：AD⊥BC；

(2)求二面角B-AC-D的余弦值；

(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與平面BCD成30°角？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，說明理由.

解析(1)作AH⊥平面BCD于H，連接BH,CH,DH，則四邊形BHCD是正方形，且AH=1.以D為原點(diǎn)，DB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立如圖6所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1)，

圖6

同理可求得平面ACD的一個法向量為m=(1,0,-1).

故線段AC上存在一點(diǎn)E，使ED與平面BCD成30°角，且當(dāng)CE=1時，ED與平面BCD成30°角.

A.4π B.3π C.2π D.π

答案A.

四、對棱相等的三棱錐?長方體

解析如圖8所示，把三棱錐P-ABC補(bǔ)成一個長方體AEBG-FPBG，易知三棱錐P-ABC的各邊分別是長方體的面對角線.

不妨令PE=x,EB=y,EA=z，則由已知有

從而知VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC

故所求三棱錐P-ABC的體積為160.

點(diǎn)評三對對棱相等的三棱錐，可以還原為長方體，使得對棱是長方體相對面的面對角線. 從而利用長方體的關(guān)系解決有三對對棱相等的三棱錐問題. 同學(xué)們試試這個問題：在四面體ABCD中，AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5，則四面體ABCD的外接球的表面積為 .

怎么樣？三棱錐再怎么調(diào)皮變化，也無法跳出“長方體”的掌心.所以以后同學(xué)們遇到三棱錐問題，就直接還原找長方體吧.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙臨龍.圓內(nèi)接四邊形面積最值的理論研究[J].河南科學(xué),2011(6).