幾何直觀，運算概念教學(xué)的有效通道

一、幾何直觀有利于運算概念的引入

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的運算概念，呈現(xiàn)線性的教學(xué)結(jié)構(gòu)體系，根據(jù)同一領(lǐng)域內(nèi)容的先后順序縱向展開。如果把這塊知識和“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容結(jié)合，就能使知識點的學(xué)習(xí)環(huán)環(huán)相扣，形成一個網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)，而兩者的結(jié)合點，就是利用幾何直觀對應(yīng)形與數(shù)，使學(xué)生在理解形與數(shù)的關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，有效建構(gòu)運算概念。

在教學(xué)乘法分配律后，我們總會遭遇學(xué)生運算錯誤的情況，主要形式有：①“（a×b）×c”與“（a+b）×c”混淆；②“（a+b）×c”演算成“a+b×c”。出現(xiàn)困難的學(xué)生往往只建立了運算概念的表象，并沒有將其本質(zhì)納入自身的知識結(jié)構(gòu)中。在課堂上，如果僅僅只讓學(xué)生經(jīng)歷從“數(shù)”到“數(shù)”，從“算”到“算”的乘法分配律建構(gòu)過程，只讓學(xué)生用“數(shù)”表征“數(shù)”，用“算”表征“算”，那么他們對乘法分配律的理解就會停留在識記與模仿的層面上。這既給學(xué)生帶來記憶負(fù)擔(dān)，又導(dǎo)致學(xué)生在多種運算律學(xué)習(xí)齊全后，胡亂應(yīng)用。

那么，用什么來表征乘法分配律，以什么來引入乘法分配律的建構(gòu)呢？在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)與形一方面分別以不同的方式存在于各自的領(lǐng)域；一方面卻又緊密相連。就像長方形的周長就與乘法分配律相連。學(xué)生在三年級時已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形的周長，是否可以利用長方形周長的計算經(jīng)驗與直觀的線段圖來引出抽象的乘法分配律？筆者進(jìn)行了嘗試，收到了意想不到的效果。

1. 以形引數(shù)，以數(shù)表形。

師：用兩種方法求出圖1的周長。

生：5×2+3×2=16，（5+3）×2=16。（從形到數(shù)，是抽象概括）

師：指一指，式子中每一步運算表示的是圖上的哪一部分？[“指一指”是從數(shù)到形，發(fā)現(xiàn)每一步運算代表的直觀意義，借助直觀理解（5+3）×2=5×2+3×2]

2. 借助直觀理解乘法分配律的基本模型。

教師改變數(shù)據(jù)：現(xiàn)在，你還能算這個長方形（圖2）的周長嗎？

生：（長+寬）×2。長×2+寬×2。

師：左邊乘了一個2，右邊乘了兩個2，怎么左右會相等？（長+寬）×2=長+寬×2看起來更合理。

生：不是的。（長+寬）×2，是長方形一條長與一條寬先合起來，然后有這樣的兩份。長+寬×2只有一條長兩條寬，變成一個殘疾長方形了。長×2+寬×2是兩條長，兩條寬，還是這個長方形。

師：你們能把自己的意思畫出來嗎？

學(xué)生原本對乘法分配律中數(shù)的變化并不在意，對這個“2”也不關(guān)注，他們很清楚用兩種方法求出的周長肯定相等，可現(xiàn)在他們就不得不把所有的注意力都集中到式子中唯一的數(shù)字“2”上。他們經(jīng)歷了剛才的“指一指”，對每一步運算代表的直觀意義有了清晰的解讀，因此能很快畫出直觀圖表示（長+寬）×2、長+寬×2、長×2+寬×2所代表的意義。在這個過程中，學(xué)生自己利用直觀形象予以解釋，對乘法分配律的基本模型有更深刻的理解，無形中減少類似（5+3）×2=5+3×2的錯誤的出現(xiàn)率。

師（將圖形變化，如圖3所示）：當(dāng)長方形的長和寬變成a和b，周長怎樣算？

生：（a+b）×2，a×2+b×2。

師：a和b可以是幾？你能舉例嗎？

師：觀察，這些式子里，誰總是不變呢？

生：“2”，沒有變。

師：那如果“2”也變了，比如說變成了3，兩個式子還會相等嗎？請舉例，并用作圖的方式證明你的看法。（個別學(xué)生板演，如圖5所示）

生：（a+b）×3=a×3+b×3。

師：既然這個2也可以變，可以是3，可以是4……那我們可以用一個怎樣的式子加以概括？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：觀察一下你們畫的圖形，a和b有什么特點？

生：a和b兩種線段一樣多。

師：當(dāng)a和b數(shù)量相等時，我們總能得到這樣的兩個相等的式子嗎？當(dāng)a和b都有10份？（a+b）×10=a×10+b×10。

師：誰自己來舉例？

生：當(dāng)a和b都有99份時，（a+b）×99=a×99+b×99。

師：能看圖說嗎？

生：（5+12）×3=5×3+12×3。

師：（5+12）×3，從圖6上怎么看？5×3+12×3又是怎么看？

師：為什么（a+b）×c=a×c+b×c？大家都能理解。但這（a+b）×c=a×c+b×c，還表示著一種運算律，叫做乘法分配律。

在這一系列寫、說、畫之后，學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a和b數(shù)量相等時，我們總可以寫出這樣的兩個相等式子。借助幾何直觀一步一步提取了基本模型，提取后再從數(shù)到形用幾何直觀加以表征，式與形也就結(jié)合起來共同納入學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)。在數(shù)與形獨立、對應(yīng)的基礎(chǔ)上，讓兩者承接內(nèi)聯(lián)，相互作用、影響，便于學(xué)生更深刻地理解知識，更全面地揭示知識的本質(zhì)。

二、幾何直觀有利于運算規(guī)律的應(yīng)用

在小學(xué)運算概念中，主要有積變化的規(guī)律和商不變的規(guī)律。積變化規(guī)律一課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生探索因數(shù)變化引起積的變化規(guī)律，感受發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的規(guī)律。

教材以兩組乘法算式為載體，試圖引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、口算、計算、說理、交流等活動，歸納出積的變化規(guī)律，并會用數(shù)學(xué)語言描述這個規(guī)律，感悟函數(shù)的思想方法。因此，在教學(xué)中，大多是從口算引入，然后舉例驗證，最后應(yīng)用。但我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生經(jīng)過觀察、歸納看似比較順利地歸納出積的變化規(guī)律后，在實際應(yīng)用的時候，卻出現(xiàn)了這樣的問題。

例題1：

習(xí)題中，第二個因數(shù)依次擴(kuò)大到原數(shù)的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍，學(xué)生做題的正確率較高?？梢坏⑺闶巾樞虼騺y，將題目重新排列，錯誤率卻大幅攀升。而當(dāng)學(xué)生遇到下題時，僅個別學(xué)生是自發(fā)運用積的變化規(guī)律去計算的。

例題2：

這說明學(xué)生從探究到應(yīng)用所使用的材料都是以組為單位并按一定規(guī)律排列的乘法算式，學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)致其對規(guī)律沒有學(xué)習(xí)的需求。而且從數(shù)到數(shù)，他們只看到積的0一個個多起來了，卻沒有深刻領(lǐng)悟0因誰而多起來，為什么多起來，也無法將其與圖形幾何自發(fā)關(guān)聯(lián)。很多學(xué)生并不具備靈活應(yīng)用積的變化規(guī)律的能力。

積的變化規(guī)律是小學(xué)階段第一次概括運算規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律。教師應(yīng)注意在歸納和應(yīng)用的過程中讓學(xué)生經(jīng)歷一個從直觀到抽象的過程，讓形成為數(shù)的支撐。讓學(xué)生經(jīng)歷因自發(fā)需要探究規(guī)律、運用規(guī)律的過程，讓探究需要成為規(guī)律歸納與應(yīng)用的動力，使學(xué)生能將規(guī)律靈活應(yīng)用于解決實際問題。

第一步，計算中渴求規(guī)律。呈現(xiàn)多個長方形，無序擺放，讓學(xué)生求出它們的面積（如圖8所示）。

給出的數(shù)據(jù)需要筆算，而又要連續(xù)進(jìn)行四次計算，學(xué)生自然會感到很麻煩。教師加以引導(dǎo)：“看誰動作快，一邊算，可以一邊觀察哦！發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的秘密，你就不會覺得計算麻煩了?！碑?dāng)有個別學(xué)生發(fā)現(xiàn)秘密后，強(qiáng)烈地刺激了剩下的學(xué)生。此時，應(yīng)允許同桌交流，擴(kuò)大規(guī)律的探究面。

第二步，結(jié)合幾何直觀描述規(guī)律。讓學(xué)生上來匯報他們的發(fā)現(xiàn)與思考。在學(xué)生回答時，教師緊扣“誰變了，誰不變，誰跟著變？”將式子中的數(shù)與圖中的數(shù)據(jù)對應(yīng)，從數(shù)的變化推論圖形面積的變化，又用圖形形狀和面積的變化來直觀地體現(xiàn)式子中數(shù)的變化。在學(xué)生描述發(fā)現(xiàn)的過程中，將圖8變成圖9，使學(xué)生認(rèn)識到一條邊的長度不變，另一條邊擴(kuò)大幾倍，面積也擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)。

借助形的支撐，學(xué)生很快歸納出一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴(kuò)大幾倍，積也擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)這一運算規(guī)律。

第三步，以形表數(shù)，靈活應(yīng)用。教師提出問題：“看到120×23，你想到了什么樣的圖形？”學(xué)生在數(shù)與形的轉(zhuǎn)換中完全掌握規(guī)律，隨后做變化題（例題2）。

對比544÷8×24與544×（24÷8），在計算上544×（24÷8）優(yōu)勢明顯，凸顯運用規(guī)律的便捷性。方法不同，僅僅是解決問題策略多樣化，并未能為運算規(guī)律的應(yīng)用提供助力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)運算概念教學(xué)中，如果能充分挖掘運算概念中幾何內(nèi)涵，優(yōu)化幾何直觀教學(xué)行為，打通數(shù)與形之間的通道，必將會使學(xué)生更深刻地理解運算概念，更全面地揭示概念的本質(zhì)，學(xué)習(xí)也必將更為直觀和更具數(shù)學(xué)味。

（作者單位：浙江省奉化市實驗小學(xué)浙江省奉化市教師進(jìn)修學(xué)校）