幾何直觀在處理復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化中的有效運(yùn)用

教師在理解幾何直觀時(shí)，要注意以下幾個(gè)問題：第一，幾何直觀指的是通過“幾何”的手段，達(dá)到“直觀”的目的，實(shí)現(xiàn)“描述和分析問題”的目標(biāo)。這里的“幾何”手段主要是指“利用圖形”，“直觀”的目的主要是將“復(fù)雜、抽象的問題變得簡(jiǎn)明、形象”。因此，幾何直觀對(duì)學(xué)生而言是一種有效的學(xué)習(xí)方法，對(duì)教師而言是一種有效的教學(xué)手段，它是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要作用。第二，幾何直觀所利用的“圖形”主要是指點(diǎn)、線、面、體以及由以上四要素組成的其他幾何圖形，在小學(xué)階段主要有正方形、長(zhǎng)方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓，以及線段、直線、射線等。幾何直觀所要描述和分析的問題，不僅可以是生活問題，而且可以是數(shù)學(xué)問題。第三，幾何直觀的意義和價(jià)值主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是有助于把復(fù)雜、抽象的問題變得簡(jiǎn)明、形象，二是有助于探索解決問題的思路并預(yù)測(cè)結(jié)果，三是有助于幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)。

一、合情推理，計(jì)算教學(xué)中幾何直觀的運(yùn)用

小學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容中，有相當(dāng)部分的內(nèi)容是計(jì)算問題，借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算等形象化、簡(jiǎn)單化，給學(xué)生以直觀感，讓學(xué)生以多種感官充分感知，讓學(xué)生對(duì)幾何直觀的“威力”多一些感性的體驗(yàn)。

【案例一】速算中的十位相同的兩位數(shù)乘法，如“15×17”，其口訣為：1. 首數(shù)相乘10×10；2. 尾數(shù)相加的和乘首數(shù)（5+7）×10；3. 尾數(shù)相乘5×7；4. 三個(gè)得數(shù)相加。許多學(xué)生只是在背口訣，或者跟列豎式對(duì)照，只知其一，不知其二。如果用求長(zhǎng)方形面積的方法輔助理解那么將會(huì)得到事半功倍的效果。

正方形a的面積：10×10=100；

長(zhǎng)方形b+c的面積：（5+7）×10=120；

長(zhǎng)方形d的面積：5×7=35；

所以，總的面積：100+120+35=255。

這種方法體現(xiàn)了在形成表象的基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)計(jì)算的本質(zhì)，體現(xiàn)了知識(shí)間是相通的，把計(jì)算和空間形式聯(lián)系起來，不但縮短了知識(shí)間的距離，而且還減少記憶容量。“在傳統(tǒng)領(lǐng)域之間界限的日趨消失是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特性之一，而幾何直觀在其間起著聯(lián)絡(luò)作用?！蹦承﹩栴}的信息之間，某個(gè)知識(shí)塊之間，代數(shù)與幾何之間，幾何直觀使復(fù)雜多樣的知識(shí)變得簡(jiǎn)單明了。

【案例二】比較下面兩個(gè)積的大?。篈=987654321×123456789，B=987654322×123456788。

大多數(shù)學(xué)生都是利用乘法分配律來解答的，過程很繁瑣：A=123456789×987654321=（123456788+1）×987654321=123456788×987654321+987654321；B=123456788×987654322=123456788×（987654321+1）=123456788×987654321+123456788，所以，A>B。

如果我們能夠從幾何的角度出發(fā)，大膽進(jìn)行合情推理，把這幾個(gè)數(shù)想成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，積就是面積，那么，當(dāng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一樣時(shí)，形狀越接近正方形，它的面積就越大。則有：因?yàn)?87654321+123456789=987654322+123456788，又987654321-123456789<987654322-123456788（前差比后差小2）所以，A>B。

這種思維就體現(xiàn)出了整體性、跳躍性和創(chuàng)造性。在這里，幾何直觀顯示了強(qiáng)大的思維力量，通過類比和聯(lián)想，將數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了差異與統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)是抽象的、形式化的，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更多的是根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行精確的計(jì)算。而幾何直觀可以跳開計(jì)算，直接獲得答案。本質(zhì)上，幾何直觀塑造的是學(xué)生認(rèn)識(shí)外界的思維品質(zhì)和多元的認(rèn)知方式。在這個(gè)過程中，合情推理就顯得極為重要。

二、以形助數(shù)，解決問題中幾何直觀的運(yùn)用

借助“形”的直觀，能促進(jìn)學(xué)生形成從“數(shù)”和“形”的角度把“數(shù)和形”結(jié)合起來考慮問題的意識(shí)，有機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想。

【案例三】甲乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，按預(yù)定速度他們將在下午5時(shí)在途中相遇，如果他們每人每小時(shí)都比預(yù)定速度快1千米，則可在下午4時(shí)相遇，如果他們每人每小時(shí)都比預(yù)定速度慢1.5千米，則要在下午7時(shí)相遇，A、B兩地的距離是（）千米。

分析：這道行程問題數(shù)量關(guān)系隱蔽，用算術(shù)法解答不容易理解。我們分析：用長(zhǎng)方形圖幫助分析。

黑色（中）長(zhǎng)方形面積（C+D+B+F）表示按原速度行走的路程，紅色長(zhǎng)方形面積（C+D+E）表示以每小時(shí)加快2千米的速度行走的路程，藍(lán)色長(zhǎng)方形面積（A+B+C）表示以每小時(shí)少走3千米的速度行走的路程，由于黑色長(zhǎng)方形面積=紅色長(zhǎng)方形面積=藍(lán)色長(zhǎng)方形面積，則C+D+B+F=C+D+E=A+B+C，可得A+B=D+E=D+B+F，又得B+F=E，D+F=A。

解：設(shè)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的時(shí)間為x小時(shí)，依據(jù)原速度減3千米等于減速后的速度，則：

2（x-1）-3=3x÷2

解得x=10

所以路程是（3×10÷2）×（10+2）=180（千米）

通過圖形的直觀性質(zhì)將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化，相互滲透，不僅使解題過程簡(jiǎn)捷明了，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，可以形象生動(dòng)地展現(xiàn)問題的本質(zhì)，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。在有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。幾何直觀圖形的使用，不但可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解數(shù)學(xué)結(jié)論，而且有利于掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間觀念。

三、想象和頓悟，數(shù)學(xué)廣角中幾何直觀的運(yùn)用

【案例四】五（1）班舉行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有15道題。做對(duì)一題得10分，做錯(cuò)一題倒扣4分。小明15道題全做了，但只得了94分，他做對(duì)了幾題？

我們可以畫這樣一個(gè)面積圖：用A表示做對(duì)題所得總分，用B表示做錯(cuò)題所扣總分。

這樣，就可知道A-B=94，（A+C）-（B+C）=94。B+C=15×4=60，所以A+C=154，A+C所組成的長(zhǎng)方形寬是14，則長(zhǎng)為154÷14=11，即為做對(duì)題數(shù)。

利用直觀的圖形，學(xué)生能積極地思考圖中正方形的面積的變化和數(shù)量之間的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)式子表達(dá)它的規(guī)律。

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，幾何在數(shù)學(xué)研究中起著聯(lián)絡(luò)、理解，甚至提供方法的作用。數(shù)學(xué)中的許多問題，其靈感往往來自于幾何直觀。借助幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路，幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法；抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自己主動(dòng)思考的機(jī)會(huì)，揭示經(jīng)驗(yàn)的策略。創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學(xué)情境，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。

（作者單位：福建省福州教育學(xué)院附屬第四小學(xué)本專輯責(zé)任編輯：王彬）