談?wù)勚袑W(xué)數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)

【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是整個(gè)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。如何優(yōu)化數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教師關(guān)注的焦點(diǎn)之一。本文圍繞數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，介紹了中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中常用的一些方法，以及理解、加深數(shù)學(xué)概念的一些常用舉措，以期使概念的教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)，解題技巧提高等諸多優(yōu)良的思維品質(zhì)的形成結(jié)合在一起。

【關(guān)鍵詞】概念 問題 概念教學(xué)

概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱指出：“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)知識的前提”。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念沒有正確理解，或者混淆不清，就會直接影響教學(xué)質(zhì)量。因此，教師應(yīng)當(dāng)重視并抓好概念教學(xué)，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

一、注重對概念的引入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

概念的引入是進(jìn)行概念教學(xué)的第一步，這一步走得如何，將影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。而高中數(shù)學(xué)教材展現(xiàn)給學(xué)生的往往是“由概念到定理，由定理到公式，再由公式到例題”的三部曲，這一過程在一定程度上掩蓋了數(shù)學(xué)概念及其思想方法的形成、發(fā)展過程。因此，教學(xué)中老師不應(yīng)只簡單地給出定義，而應(yīng)加強(qiáng)對概念的引入，使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成和發(fā)展過程，加深對新概念的印象，我們建議創(chuàng)設(shè)情境引入數(shù)學(xué)概念。

（一）創(chuàng)設(shè)故事情境引出數(shù)學(xué)概念

學(xué)生往往對歷史故事和歷史人物感興趣，這恰恰是增添數(shù)學(xué)教學(xué)活力的切入點(diǎn)。教學(xué)中，可以結(jié)合概念適當(dāng)引入一些數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如引出解析幾何時(shí)，可以介紹笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的故事，使學(xué)生在輕松的氣氛中接受這門新的數(shù)學(xué)分支。又如，在引入等比數(shù)列概念時(shí)，可以介紹古印度國際象棋發(fā)明的故事，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)情境引出數(shù)學(xué)概念

心理學(xué)家認(rèn)為，自己動手做實(shí)驗(yàn)，能夠在腦海中留下更深刻的印象。因此，在講解新概念時(shí)，可以改變教師講、學(xué)生聽的傳統(tǒng)做法，引導(dǎo)學(xué)生動手做實(shí)驗(yàn)，從實(shí)驗(yàn)中抽象出數(shù)學(xué)概念。如講橢圓定義前，可以讓學(xué)生準(zhǔn)備紙板、圖釘和繩子等工具，課堂中引導(dǎo)學(xué)生利用這些工具畫出不同的橢圓。學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)歸納出橢圓的定義。

引入數(shù)學(xué)概念的方法很多，除了上述我們列舉的一些方法之外，開門見山地引出概念，或由生活中的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)引出都是可以采納的。但一味地采取單一模式，容易引起學(xué)生厭倦，適當(dāng)?shù)刈儞Q一些引入概念的方法，可以產(chǎn)生良好的教學(xué)效果。

二、挖掘概念本質(zhì)特征，充分理解概念

數(shù)學(xué)概念大多是以簡潔抽象的形式出現(xiàn)的，因此在教學(xué)中應(yīng)注意挖掘概念的本質(zhì)特征，充分理解概念的本質(zhì)屬性。

（一）緊扣概念中關(guān)鍵性的字眼

概念通過詞語表達(dá)出來，具有嚴(yán)密的邏輯性，表達(dá)概念的每個(gè)詞都非常嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確、恰當(dāng)。教師必須把概念的關(guān)鍵詞解釋清楚，并引導(dǎo)學(xué)生完整地把握概念。

例如，“單值對應(yīng)”這個(gè)概念，要著重分析“有兩個(gè)集合A和B”，“兩個(gè)集合之間建立了對應(yīng)關(guān)系”以及“對應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)”這三層意思。在分析這個(gè)概念的特點(diǎn)時(shí)要講清“A 的任何一個(gè)”，“B中都有唯一的元素”的真實(shí)含義，從而理解“單值對應(yīng)”的特征。

從上面的例題可以看出，緊扣關(guān)鍵性字眼分析概念，既能使學(xué)生深刻理解概念，又可培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，使他們認(rèn)識到敘述概念必須確切精煉，從而增強(qiáng)他們運(yùn)用概念時(shí)科學(xué)分析的自覺性。

（二）剖析概念的確切含義

有些重要概念是屬于不定義的概念，很難用別的概念來定義，對于這樣的概念，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生剖析其確切含義。例如對“集合”這個(gè)基本概念的分析，除了注意從實(shí)例引入外，要著重講清集合的三個(gè)特征：①確定性，即對于任何一個(gè)對象，都能確定它是不是某一集合的元素；②互異性，即一個(gè)集合所含的元素，是指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體，因此，在同一集合里不能重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)元素；③無序性，即對于一個(gè)集合，通常不考慮它的元素之間的順序。

（三）抓住概念的本質(zhì)特征

在教材中，常常是用一般圖形和一般式子引出和表達(dá)概念，所以學(xué)生容易把一般圖形和一般式子所呈現(xiàn)的一些個(gè)別特征誤認(rèn)為是本質(zhì)特征。我們可以運(yùn)用變式，使學(xué)生從中理解概念的本質(zhì)屬性，避免被非本質(zhì)屬性迷惑，以克服定勢的消極作用。所謂變式，是指在直觀過程中，從不同角度、方式和方面變換事物非本質(zhì)特征的過程。將概念的正例加以變化，排除無關(guān)特征，突出本質(zhì)特征。在教學(xué)中通常使用圖形變式、語言變式、和符號變式等幾種方式。

（四）理清概念的區(qū)別與聯(lián)系

有些概念非常相近，有些概念之間有著密切的聯(lián)系，學(xué)生往往容易混淆。為認(rèn)識它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，揭示其本質(zhì)，我們應(yīng)注意運(yùn)用對比的方法。

例如，講授“因式分解”第一課，就緊扣教材，將多項(xiàng)式的因式分解與整式的質(zhì)因數(shù)分解進(jìn)行對比，有機(jī)地將教材內(nèi)容組織成下面幾個(gè)問題：①什么叫因數(shù)？6有哪些因數(shù)？什么叫因式？式子a2-b2有哪些因式？②什么叫質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）？合數(shù)？什么叫質(zhì)因式？舉例說明。③什么叫分解質(zhì)因數(shù)？什么叫因式分解？舉例說明。④我們現(xiàn)在是在什么數(shù)的集合內(nèi)進(jìn)行因式分解？讓學(xué)生看書思考逐一回答，然后老師進(jìn)行概括，使學(xué)生深刻理解“因式分解”的含義。

在學(xué)生理解了因式分解的含義之后，再進(jìn)一步將“因式分解”與“整式的乘法”進(jìn)行對比，認(rèn)識兩者的區(qū)別與聯(lián)系。例如對x2-4=（x+2）（x-2）與（x+2）（x-2）=x2-4等進(jìn)行對比。

三、利用多種方式強(qiáng)化對概念的理解

（一）建立概念體系，幫助學(xué)生理解概念

數(shù)學(xué)概念往往不是孤立的，許多概念之間有著緊密的聯(lián)系。理清概念之間的聯(lián)系既能促進(jìn)新概念的自然引入，又能揭示已學(xué)過的概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)。因此老師應(yīng)注意概念間的聯(lián)系，幫助學(xué)生理清脈絡(luò)，建立概念體系，促使學(xué)生做到舉一反三、觸類旁通。如由三角函數(shù)定義可導(dǎo)出同角三角函數(shù)的關(guān)系式，正、余弦函數(shù)圖像及其性質(zhì)等知識點(diǎn)。還可以以三角函數(shù)這一概念為背景，建立一個(gè)由與三角函數(shù)有關(guān)的概念、定義、公式構(gòu)成的知識網(wǎng)，開拓學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。

（二）在不同的發(fā)展階段，加深對概念的理解

某些數(shù)學(xué)概念的意義是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而變化和豐富的。為了使概念適用于更大的范圍就必須擴(kuò)大原有的概念，重新給它定義，這時(shí)雖然我們?nèi)圆捎迷瓉淼拿Q與符號，但其內(nèi)容更為豐富完整。例如，小數(shù)的概念既可以指小數(shù)點(diǎn)后各位不全為零的數(shù)，也可以把整數(shù)看成小數(shù)后多位全為零的小數(shù)，這時(shí)小數(shù)的概念與有理數(shù)的概念是同一概念。若再擴(kuò)大它的外延，把無限不循環(huán)小數(shù)看成小數(shù)的話，那么這時(shí)小數(shù)的概念則與實(shí)數(shù)的概念是同一概念。

（三）在解題中強(qiáng)化對概念的理解

數(shù)學(xué)的許多概念都是以定義形式出現(xiàn)的，明確定義是掌握概念的性質(zhì)、有關(guān)公式和熟練解題的首要條件。利用定義可以對具體的數(shù)學(xué)對象作出“是”或“不是”的判斷，同時(shí)，由于凡定義都是充要性命題，我們還可以利用定義作出逆判斷，例如利用兩個(gè)平面平行的定義可以作出“分別在兩個(gè)平行平面的直線不相交”的判斷。有些逆判斷還在課本中被作為概念的性質(zhì)定理肯定下來。學(xué)習(xí)概念時(shí)若能準(zhǔn)確地用概念的本質(zhì)特征去鑒別、判斷、認(rèn)識概念所涉及到的一些屬性，便可應(yīng)用這一概念的有關(guān)屬性對具體對象進(jìn)行新的認(rèn)識和處理。由此而產(chǎn)生的一系列的判定定理和性質(zhì)定理正是對概念認(rèn)識的發(fā)展和深化，而這些定理的真實(shí)性大都是直接利用定義作出判斷的，因此可以說不僅定理來自相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，而且證實(shí)這些定理的判斷方法也來自數(shù)學(xué)概念。所以將數(shù)學(xué)概念運(yùn)用于解題更能進(jìn)一步使我們加深對數(shù)學(xué)概念的印象。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)定理、公式的源泉，也是數(shù)學(xué)解題方法的源泉，而且解題方法也絕不僅止于判定方法這一種。由非負(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)平方的概念引申出“配方”的思想，由實(shí)數(shù)相等的概念派生出“換元”的思想，任何有生命力的數(shù)學(xué)方法的胚芽都孕育在數(shù)學(xué)概念之中。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一就是要引導(dǎo)學(xué)生在對數(shù)學(xué)概念的挖掘之中掌握必要的解題方法，從而推動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向縱深進(jìn)展。

例如，“復(fù)數(shù)相等”的概念是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念，將其用符號語言表達(dá)便是：

（ a，b，c，d∈R），由于它的淺顯明白，往往不易引起重視，然而只要稍微細(xì)心地考查一下，就會發(fā)現(xiàn)這個(gè)概念之中包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法——利用復(fù)數(shù)相等的條件可以“將復(fù)數(shù)范圍的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍的問題”，從而用所拿手的知識和方法來處理。

上述解法對于剛接觸到這一概念的學(xué)生來說是新奇而富于魅力的。復(fù)數(shù)對于學(xué)生來說，本來就是一個(gè)比較虛擬的概念，在解題時(shí)對照相應(yīng)的公式，也可加深對概念的印象。

方法寓于概念之中，這就要求我們放棄教學(xué)中“概念一帶而過，方法一個(gè)接一個(gè)”的做法，啟發(fā)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念，從中挖掘出最基本的具有普遍意義的思想方法。

總之，數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確地理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，是扭轉(zhuǎn)題海的關(guān)鍵，有事半功倍的效果。因此，教學(xué)中不能照本宣科，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，循序漸進(jìn)，逐漸加深擴(kuò)大，不斷改進(jìn)教學(xué)方法，提高概念教學(xué)的水平。

（作者單位：江蘇省響水中學(xué)）