高中數(shù)學(xué)解題中的人生智慧解析

日本教育家米山國(guó)藏指出：“學(xué)生在中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)通常在出校門(mén)后不到一兩年就忘了，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期在他們的生活與工作中發(fā)揮著作用?！盵1]筆者不禁追問(wèn)：我們每天都在進(jìn)行的高中數(shù)學(xué)解題是怎樣在學(xué)生今后生活和工作中發(fā)揮作用的？數(shù)學(xué)解題形式演繹的背后又蘊(yùn)含著怎樣的理性之美、閃爍著哪些智慧之光？正如張奠宙、柴俊在《欣賞數(shù)學(xué)的真善美》中所說(shuō)的，“數(shù)學(xué)的真善美往往被淹沒(méi)在形式演繹的海洋里，需要大力挖掘、用心體察才能發(fā)現(xiàn)、感受、體驗(yàn)和欣賞”[2]。

一、欣賞高中數(shù)學(xué)解題思想方法的辯證之美——啟迪哲理人生

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：“通過(guò)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，努力向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法及辯證唯物主義觀點(diǎn)，使學(xué)生養(yǎng)成用運(yùn)動(dòng)、發(fā)展、變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)世界的思維習(xí)慣，并能用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)辯證地看問(wèn)題，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題的意識(shí)?！备咧袛?shù)學(xué)解題教學(xué)也是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的有效途徑。

1.轉(zhuǎn)化化歸——因勢(shì)利導(dǎo)、促進(jìn)矛盾對(duì)立面相互轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)解題中處處體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化化歸思想：化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化高次為低次、化多元為一元、化未知為已知……“轉(zhuǎn)化化歸”是數(shù)學(xué)解題中最具有代表性、普遍性的思想方法，是數(shù)學(xué)解題的靈魂。

例1：如何計(jì)算不規(guī)則土地的面積？

求解方案：計(jì)算不規(guī)則土地面積→計(jì)算不規(guī)則曲邊圖形的面積→計(jì)算曲邊梯形的面積→無(wú)限分割→累加求和→近似取極限，問(wèn)題得解。

在這一問(wèn)題的解決過(guò)程中，曲與直、一與多、分與合、動(dòng)與靜、精確與近似、有限與無(wú)限、質(zhì)變與量變、離散與連續(xù)、具體與抽象、特殊與一般……這一對(duì)對(duì)貌似非此即彼、水火不容的矛盾對(duì)立面借助“轉(zhuǎn)化化歸”這一思想方法和諧統(tǒng)一在一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中。事實(shí)上，數(shù)學(xué)題中的矛盾普遍存在，卻又對(duì)立統(tǒng)一：目標(biāo)與條件，已知與未知，常值與變量，確定與隨機(jī)，分析與綜合，歸納與演繹，猜想與證明……面對(duì)矛盾雙方，找準(zhǔn)化歸的“橋梁”，矛盾自然不攻自破，迎刃而解。

人類(lèi)社會(huì)又何嘗不是這樣？黑夜與白晝、真理與謬誤，正義與邪惡、丑惡與善良……面對(duì)普遍存在的矛盾，我們無(wú)需憂慮也不要驚慌，要勇于探求不同對(duì)立面的最佳契合點(diǎn)，因勢(shì)利導(dǎo)，促使事物向良性方向發(fā)展。我們有理由相信，在一個(gè)有組織、有秩序的社會(huì)里，各種矛盾對(duì)立面可以各得其所、和而不同，正如溫總理在哈佛大學(xué)的演講中所說(shuō)的，“和諧以共生共長(zhǎng)，不同則相輔相成”。

2.數(shù)形結(jié)合——辯證地分析問(wèn)題，學(xué)會(huì)靈活變通、雙管齊下

華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非?！痹诟咧袛?shù)學(xué)解題中，除了化歸思想以外，學(xué)生使用頻率較高的就是數(shù)形結(jié)合思想，這方面的題例不勝枚舉。尤其在解決函數(shù)問(wèn)題、向量問(wèn)題、復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)，如果只從代數(shù)角度摳定義、定理，套公式、模式，往往事倍功半，但若從數(shù)形結(jié)合角度入手，有意識(shí)地聯(lián)系圖像，“看圖說(shuō)話”，解法就很簡(jiǎn)單。類(lèi)似的，我們?cè)谏钪刑幚韱?wèn)題也要避免僵化、單一，遇事要嘗試變換角度，辯證看待一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，在解決困難時(shí)，才能靈活變通、雙管齊下。

3.分類(lèi)討論——遇事不能搞一刀切，而要區(qū)別對(duì)待、各個(gè)擊破

例2：（1）解不等式3ax2+(2a-3)x-2＞0；

（2）已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

求解這兩個(gè)問(wèn)題，共同點(diǎn)就在于含有參數(shù)，所以答案的形式也要依賴(lài)于給定參數(shù)的值，因此必須分類(lèi)討論，各個(gè)擊破。通常初學(xué)者面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，總是難以理解：數(shù)學(xué)不是應(yīng)當(dāng)答案確定的嗎？為什么還有多種情況？各種情況又是怎么分類(lèi)呢？其實(shí)關(guān)鍵就在于分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的確定要滿(mǎn)足“不重不漏”。通過(guò)這類(lèi)題目的訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)并不都是像初中學(xué)習(xí)的那樣只有一個(gè)確定的解。分類(lèi)討論能力強(qiáng)的人，就能明白：遇事不能搞一刀切，生搬硬套、一竿子打死都是要不得的。數(shù)學(xué)中不存在解決所有題目的“萬(wàn)能法寶”，所謂“萬(wàn)能公式”也只能解決一類(lèi)問(wèn)題而已，同樣，生活中也不存在解決所有難題的“金鑰匙”，只能像解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題一樣，學(xué)會(huì)隨機(jī)應(yīng)變、各個(gè)擊破。

二、欣賞高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程的意境之美——感悟智性人生

1.磨刀不誤砍柴工

例3：

（1）設(shè)f(θ)=，求f()；f(θ）最大值。

（2）求值：（1＋tan1°）（1＋tan2°）（1＋tan3°）…（1＋tan45°）＝ 。

面對(duì)型（1）的給值求值題，若直接代入求值，繁瑣且易錯(cuò)，即使算對(duì)了，到求最值時(shí)也會(huì)因?yàn)槟繕?biāo)太大，以失敗告終。通常參考答案的解法是“先化簡(jiǎn)，然后再求值”。面對(duì)型（2）的求值題，若直接死算，也是繁瑣且通常算不出答案的。此類(lèi)題的通法是“先嘗試找規(guī)律并證明，再利用結(jié)論解題”。此題，就必須先證明結(jié)論：若α+β=45°，則（tanα+1）（tanβ+1）=2，再代入原式得結(jié)果。

此兩例雖然所用知識(shí)不同，但解題策略異曲同工，都是“特殊→一般→特殊”。先準(zhǔn)備好解題的“利器”，再動(dòng)手計(jì)算，省時(shí)省力又高效，正所謂“磨刀不誤砍柴工”。

2.退一步海闊天空

例4：（1）求值：cos20°cos40°cos80°

（2）求函數(shù)值域：y=

解：（1）

原式＝＝

（2）原式＝=1+。即化為反比例型，再由圖像得解。

這兩個(gè)例子原表達(dá)式工整、簡(jiǎn)潔，可解題中，我們卻不得不打破這種“美”，從方便解題的全局考慮化簡(jiǎn)為繁，退還為原式本來(lái)的面目。以退為進(jìn)，反守為攻，出其不意。

3.只有強(qiáng)者才能通關(guān)

每次問(wèn)學(xué)生哪部分較難拿分，大部分學(xué)生會(huì)說(shuō)“圓錐曲線”，似乎這已成為他們心中永遠(yuǎn)的痛，事實(shí)上，這部分內(nèi)容命題趨勢(shì)是：“入口淺，重計(jì)算”，而學(xué)生實(shí)際得分率不高的主要原因是：一部分學(xué)生不自信，拿到圓錐曲線題，讀一遍，心里沒(méi)底就不假思索，胡亂答題，有人甚至干脆放棄。另有一部分學(xué)生，有思路沒(méi)底氣，更重要的是化簡(jiǎn)技能不到位，以至于越化越繁，走進(jìn)死胡同。只有一部分“強(qiáng)者”憑借自信、勇氣、毅力和扎實(shí)的基本功，最終披荊斬棘，順利通關(guān)。

三、欣賞高中數(shù)學(xué)解題概念與符號(hào)的寓意之美——品味數(shù)學(xué)人生

習(xí)題講評(píng)課中活用數(shù)學(xué)解題中的名詞，往往會(huì)收到意想不到的效果。

在判斷函數(shù)f（x）=x+單調(diào)性時(shí)，常常會(huì)有部分學(xué)生不指明單調(diào)區(qū)間。講評(píng)時(shí)我們一方面向?qū)W生強(qiáng)調(diào)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，一方面乘勢(shì)鼓勵(lì)部分后進(jìn)生：“以時(shí)間為橫軸，以成績(jī)?yōu)榭v軸，繪制的f（x）圖像有升有降是正常現(xiàn)象，老師希望你不要?dú)怵H，爭(zhēng)取在日后學(xué)習(xí)、生活中繪制出屬于你自己的單調(diào)遞增函數(shù)?！?/p>

“已知f（x）=x3-3ax-a，a≠0，x∈［-3，1］，若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍?！痹谇笞钪禃r(shí)，有學(xué)生不管三七二十一，拿過(guò)來(lái)就求導(dǎo)，分析出極值，不比較與端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系就直接當(dāng)最值來(lái)用。在錯(cuò)題講評(píng)時(shí)，一方面給學(xué)生強(qiáng)調(diào)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，一方面鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)要踏踏實(shí)實(shí)，不斷積累，數(shù)學(xué)薄弱的要爭(zhēng)取做某一層次的“極大值”，成績(jī)優(yōu)秀的不要滿(mǎn)足于班級(jí)的極大值，力爭(zhēng)成為真正的“最大值”。

人生困境如難題，問(wèn)題棘手不能“一步到位”，那就不妨像解題一樣：轉(zhuǎn)化“條件”，變換“目標(biāo)”，尋找“橋梁”，辯證分析，普遍聯(lián)系，靈活變通，問(wèn)題自然解決。人生如題，遇事三思，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)解題中的人生智慧，并使其學(xué)以致用，才無(wú)愧為真正的智慧數(shù)學(xué)教育！

參考文獻(xiàn)：

[1][日]米山國(guó)藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

[2]張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學(xué)的真善美[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（1-2）.

（皇甫立同，江蘇省淮陰中學(xué)，223002）