例談多解問題的教學(xué)誤區(qū)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐中，選用多解的題目為許多老師所喜愛。這樣的問題自然有它的諸多優(yōu)點(diǎn)：解法上具有發(fā)散性，學(xué)生會(huì)從各自不同的角度思考出不同的解法；解法上具有梯度性，學(xué)生會(huì)從各自的思維水平上思考出一種或多種解法；解法上具有賞析性，便于相互交流，激發(fā)學(xué)生的熱忱。然而，由于對(duì)此類問題的認(rèn)知、理解不同，在實(shí)際教學(xué)中存在著不同的處理方式，其結(jié)果也迥然不同。

不久前，筆者聽到一節(jié)初二年級(jí)的數(shù)學(xué)課《反比例函數(shù)復(fù)習(xí)》。聽課過程中，執(zhí)教老師扎實(shí)的基本功、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)和精心的題目篩選給人留下了深刻的印象，然而在一道多解題目的講析上，筆者以為卻有一些商榷和思考之處：

【案例實(shí)錄】

題目：如圖1，已知直線y=x與雙曲線y=（k>0)在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4。

（1）求k的值；

（2）若雙曲線y=(k>0)上有一點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為8，求△AOB的面積.

本題是以兩種基本函數(shù)——反比例函數(shù)和正比例函數(shù)為基本素材，有機(jī)結(jié)合了平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)的特征，考查了點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)解析式、圖形面積的求法等諸多知識(shí)點(diǎn)，具有一定的綜合性和代表性，并且在分析解題過程中能夠較好地滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想方法。值得一提的是，該題的第（2）個(gè)小問題具有多種解決思路，可以讓學(xué)生從多個(gè)角度來思考解決，充分展現(xiàn)出學(xué)生的思維能力。這位老師是這樣展開教學(xué)的：

師：（待學(xué)生充分思考后）誰來說說自己的解題過程呢？

生1：（教師板書過程）當(dāng)x=4時(shí)，y=×4=2，所以點(diǎn)A（4，2），將點(diǎn)A代入y=中，解得k=8。所以反比例函數(shù)關(guān)系式是：y=。將y=8代入雙曲線中，解得x=1，所以點(diǎn)B（1，8）.

師：很好，那么△AOB的面積你是如何求的呢？

生1：過點(diǎn)B做HM∥x軸，交y軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)A做MN∥y軸，交x軸于點(diǎn)N，交HM于點(diǎn)M（如圖2），則得到矩形ONMH.

師：然后再用矩形ONMH的面積減去其它的三個(gè)三角形的面積就得到了△AOB的面積，是嗎？

生1：是的，結(jié)果等于15。

師：這種方法我們可以稱之為補(bǔ)矩形法。還有其它的求解△AOB的面積的方法嗎？

生2：先求得直線AB的解析式為y=-2x+10（如圖3），然后求出它與x軸的交點(diǎn)M坐標(biāo)（5，0）。

師：然后用△OMB的面積減去△OMA的面積，即得到△AOB的面積。這與剛才同學(xué)的解題思路是類似的。不過這里所補(bǔ)的是一個(gè)三角形，這種方法我們可以稱之為補(bǔ)三角形法。

“補(bǔ)三角形”、“補(bǔ)矩形”都是“補(bǔ)形法”表現(xiàn)形式，是解決此類求面積問題一種常用而且有效的方法。然而執(zhí)教老師卻越俎代庖，將其簡(jiǎn)單帶過，既沒有板書過程，也沒有給其他學(xué)生以充分的時(shí)間來理解和消化，感覺有些操之過急。

師：還有沒有其它方法求△AOB的面積呢？

（學(xué)生沒有反應(yīng)，教師組織學(xué)生進(jìn)行交流討論，并進(jìn)行點(diǎn)撥指導(dǎo)。）

生3：過點(diǎn)B作CD⊥x軸，交直線OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A做AH⊥BD（如圖4）。這樣將△AOB分割成△BCO和△BCA。

師：非常好！該同學(xué)所講的方法我們稱之為分割法。大家聽明白他的意思了嗎？

（學(xué)生反應(yīng)寥寥，教師對(duì)此又進(jìn)行了詳細(xì)的過程講解。）

“分割法”是求圖形面積是一種常用的方法。然而對(duì)于此問題來講，采用“分割法”的思路明顯比“補(bǔ)形法”提高了思考要求，它要求學(xué)生能夠看出分割后的兩個(gè)三角形的聯(lián)系，并能正確地找出、計(jì)算出底邊和高。在較短的思考時(shí)間里，對(duì)于一般的學(xué)生來講期望過高。

師：其實(shí)這道題還有一種解法。

（“??？還有??！”多數(shù)學(xué)生不禁驚訝起來，同時(shí)也有少數(shù)學(xué)生悄悄地抱怨：“要那么多的解法有什么用呢？！”）

師：我們可以求得線段OA=，AB=，OB=（如圖5），由此可判定△AOB為直角三角形，∠OAB=90°，則S△AOB=××=30。我們看，這是方法可以直接求出△AOB的面積，但它需要先確定△AOB的形狀，因此我們稱之為“定型法”。

師：現(xiàn)在我們?cè)倏辞蟆鰽OB面積的四種解法，我們發(fā)現(xiàn)他們都各具特色。補(bǔ)形的兩種解法，思路清晰、計(jì)算簡(jiǎn)單，今后解決此類問題時(shí)，這種解法應(yīng)當(dāng)作為首選。分割法變化較多，計(jì)算上容易出問題，而定型法雖然直接可求，但是具有局限性，而且要求事先能夠做好準(zhǔn)確判斷，因此比較來看后兩種方法應(yīng)該少用、慎用。

這種“定型法”的講授，事實(shí)上是完全在執(zhí)教老師的主觀意愿之下，強(qiáng)加給學(xué)生的，非學(xué)生之所想。另外，教師直接對(duì)這四種解題方法進(jìn)行比較評(píng)析，完全取代了學(xué)生的理解判斷，而且有些評(píng)析言之過重。

【案例評(píng)析】

從以上的案例教學(xué)過程可以看出，執(zhí)教老師所精心選擇的多解問題的效能并未得到有效的發(fā)揮，相反卻抑制了學(xué)生的思考、壓抑了課堂氣氛。這反映出在多解問題教學(xué)處理上存在著一定的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，在數(shù)學(xué)中應(yīng)盡量避開。

1.多解問題應(yīng)該服務(wù)于教學(xué)方向，不應(yīng)孤立存在。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要目的是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高分析水平和思維能力，而并非在于解答題目時(shí)技巧的訓(xùn)練。因此我們?cè)谶x用多解問題時(shí)，要明確問題的教學(xué)方向，分析解答思路時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的鞏固、數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用和數(shù)學(xué)思想的滲透等著重方面，適度地淡化技能技巧，一味追求解法的“多”、“巧”和“新”則是不足取的。在這個(gè)課例中，這道題目分析講授時(shí)間長(zhǎng)達(dá)近30分鐘，占了整堂課的近四分之三，事實(shí)上成為了課堂教學(xué)的重點(diǎn)。而應(yīng)該清楚認(rèn)識(shí)的是，本堂課的教學(xué)目的是反比例函數(shù)復(fù)習(xí)，這個(gè)題目耗時(shí)過長(zhǎng)，使得反比例函數(shù)其它很多相關(guān)知識(shí)沒有得到很好的復(fù)習(xí)，影響了整個(gè)課堂教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

2.多解問題應(yīng)該產(chǎn)生于學(xué)生思考，不應(yīng)強(qiáng)加包辦。數(shù)學(xué)題目的設(shè)計(jì)可以是千變?nèi)f化的，學(xué)生的思維也是豐富多彩的，而學(xué)生思維豐富性的養(yǎng)成與老師所給予的空間往往息息相關(guān)。教師應(yīng)該多一些激勵(lì)，讓學(xué)生用自己的思維方式去辨析思考，自發(fā)得出問題的答案；少一些評(píng)判和包辦，因?yàn)樗鼰o異于給學(xué)生的思維上了一道枷鎖，使得學(xué)生今后遇到此類問題就會(huì)不再進(jìn)行思考，而傾向于模式化的操作。事實(shí)上，對(duì)于學(xué)生個(gè)體而言，解題方法的優(yōu)劣是因人而異的，只要是學(xué)生自己思考出來并能正確解答的，對(duì)他而言就是最好的方法。盡管在別人看來，他的解法或許很繁瑣、可笑，但這種解法是自己得出的，是最適合自己的。

3.多解問題應(yīng)該側(cè)重于通解通法，不應(yīng)一概而論。多解問題的解法時(shí)常具有梯度，有的解法容易想到，有的解法很難想到，這事實(shí)上為不同層次的學(xué)生提供了思維的空間。但是，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)應(yīng)該面對(duì)的是全體學(xué)生，講授的時(shí)候應(yīng)該照顧不同層次學(xué)生的理解水平，因此方法的講授應(yīng)該有所側(cè)重，重點(diǎn)講授大多數(shù)學(xué)生容易理解的，而且具有普適性的解法，對(duì)于一些技巧性較高的解法，則可以略作點(diǎn)撥，供學(xué)有余力的學(xué)生再做進(jìn)一步的思考。案例中， “補(bǔ)形法”和“分割法”確實(shí)是解決此類問題的通用解法，尤其是“補(bǔ)形”的兩種方法，學(xué)生容易理解和接受，執(zhí)教老師應(yīng)該面向全體著重講授；“分割法”雖然是通法，但是真正理解接受，并能正確運(yùn)用的學(xué)生并不多，可以點(diǎn)撥引導(dǎo)后，讓學(xué)生課后思考。至于“定型法”，則可有可無，若有學(xué)生想到，可略作分析，供學(xué)生開拓眼界。由此看來，多解問題，解法雖多，但需要正確把握好側(cè)重點(diǎn)，而不能本末倒置。

（蘇興震、陸鈞，張家港市合興初級(jí)中學(xué)，215626）