淺論齒輪剛度的計(jì)算

摘要：本文主要介紹了幾種常用的齒輪剛度計(jì)算方法，并通過(guò)實(shí)例對(duì)齒輪剛度進(jìn)行了計(jì)算。

關(guān)鍵詞：齒輪；剛度；計(jì)算齒輪是機(jī)械中重要的零部件，它應(yīng)用廣泛，特別是在傳統(tǒng)的機(jī)械行業(yè)里面。齒輪傳動(dòng)由于具有傳動(dòng)平穩(wěn)，噪聲小，壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，在機(jī)械傳動(dòng)中也得到了廣泛的應(yīng)用。然而對(duì)齒輪進(jìn)行動(dòng)態(tài)性能分析時(shí)，齒輪的剛度的時(shí)變特性也是不容忽視的。因此需要對(duì)齒輪的剛度進(jìn)行分析計(jì)算。

齒輪剛度計(jì)算首先要計(jì)算輪齒變形，計(jì)算輪齒變形的方法一般有3種，分別是材料力學(xué)，數(shù)學(xué)彈性力學(xué)和有限元法。

在所有計(jì)算方法中，最早使用的是材料力學(xué)方法?；痉椒ㄊ窍葘⑤嘄X簡(jiǎn)化為彈性基礎(chǔ)上的變截面懸臂梁，即輪齒任意嚙合點(diǎn)處的方向力的作用下產(chǎn)生的法向彈性變形。這主要是由三部分組成：1）齒部的彎曲剪切變形，2）由齒根彈性引起的附加變形，3）嚙合點(diǎn)處的接觸變形。主要就非常簡(jiǎn)便而且利于計(jì)算，只是需要先對(duì)輪齒模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，不同的輪齒模型需要有不同的方式進(jìn)行計(jì)算。比較常見(jiàn)的方法有Weber-Banaschek法，石川法和數(shù)值方法等。

Weber-Banaschek方法的依據(jù)是輪齒在法向力Fn作用下，沿嚙合線方向發(fā)生了變形，這時(shí)法向力所做的功應(yīng)與變形能相等。石川法是把齒輪簡(jiǎn)化為梯形和矩形模型進(jìn)行計(jì)算。

數(shù)學(xué)彈性力學(xué)方法的基本思想就是把齒輪輪齒的受載變形問(wèn)題簡(jiǎn)化為一個(gè)半無(wú)限體的受載變形，利用保角映射函數(shù)把輪齒的曲線邊界C映射為直邊邊界場(chǎng)。這樣可以應(yīng)用彈性力學(xué)中平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)解答求解集中力作用下的半無(wú)限體的位移場(chǎng)，再由此確定受載輪齒的位移場(chǎng)。

康焱用有限元方法計(jì)算了漸開(kāi)線直齒內(nèi)齒輪的輪齒剛度，其最后得到的漸開(kāi)線直齒內(nèi)齒輪的載荷作用點(diǎn)的輪齒剛度的計(jì)算公式為[2-3]：

C=（E/A）（λx+1）B（x+1）C×10-9（3）

式中：

A=0.0011Z2-0.1381Z+12.8587

B=-0.0056Z+1.0483

C=-0.0002Z+0.0376

計(jì)算出輪齒任意嚙合點(diǎn)k處的法向彈性變形δk以后，單個(gè)輪齒的嚙合剛度即可求出kk=Fkδk，應(yīng)該說(shuō)明的是輪齒在不同的嚙合點(diǎn)嚙合時(shí)δk是不同的，因此輪齒的嚙合剛度也是嚙合點(diǎn)位置的函數(shù)。

一對(duì)輪齒i嚙合時(shí)，在嚙合力的作用下，主從動(dòng)輪齒都會(huì)發(fā)生彈性變形。若將單個(gè)輪齒視為一個(gè)彈簧，則相嚙合的一對(duì)輪齒可視為一對(duì)串聯(lián)的彈簧。設(shè)k1，k2分別為主、從動(dòng)齒輪在嚙合點(diǎn)處法線方向的嚙合剛度，則一對(duì)輪齒的綜合嚙合剛度kvi為

kvi=k1k2k1+k2，由于k1，k2是嚙合點(diǎn)位置的函數(shù)，因此齒對(duì)i的綜合嚙合剛度kvi也是齒對(duì)嚙合剛度的函數(shù)，具有時(shí)變性。圖1嚙合剛度K（X）曲線

A為嚙入點(diǎn)、B為嚙出點(diǎn)、C為節(jié)點(diǎn)，重合度為ε。

由于在一般情況下，直齒輪的重合度1≤ε≤2，因此在一對(duì)齒嚙合和兩對(duì)齒嚙合的交替，一對(duì)齒是一組串聯(lián)的彈簧，兩對(duì)齒就是兩組這樣串聯(lián)的彈簧并聯(lián)，則kv=kv1+kv2。

斜齒輪嚙合剛度計(jì)算與直齒輪嚙合剛度的計(jì)算不同，由于在斜齒輪傳動(dòng)中輪齒嚙合的接觸線是傾斜的，接觸線上的載荷分布是非均勻的，因此斜齒輪輪齒不能簡(jiǎn)化為二維平面問(wèn)題，必須作為三維問(wèn)題進(jìn)行分析，因而其彈性變形的計(jì)算就更為復(fù)雜。梅澤清彥得出求斜齒輪剛度計(jì)算公式[4]：

k=[（-0.166×bH+0.08]×（β0-5）+44.5]×exp[0.322×（β0-5）+（0.23×bH-23.26）×x3]（4）

有限元法是現(xiàn)在計(jì)算斜齒輪輪齒最有效的方法。它主要有3類(lèi)，一種是使用有限元法求在給定載荷作用下的輪齒變形，第二種是通過(guò)對(duì)大量計(jì)算結(jié)果的回歸分析得到變形計(jì)算公式，第三種是采用接觸問(wèn)題有限元法，考慮多對(duì)輪齒的同時(shí)嚙合及輪齒的接觸變形，進(jìn)行輪齒的嚙合接觸分析。

一般在進(jìn)行齒輪剛度計(jì)算時(shí)，可以采用簡(jiǎn)化的方法來(lái)進(jìn)行計(jì)算[5]。圖2輪齒剛度曲線

CQ=20.80-49.5/z1-38.8/z2+40（x1/z1+x2/z2）+60∑x/∑z（5）

CA=CE=13.83-31.5/z1-20.5/z2+40（x1/z1+x2/z2）+45∑x/∑z（6）

CD=CB=20.86-53.7/z1-44.7/z2+25（x1/z1+x2/z2）+45∑x/∑z（7）

式中：CACBCDCE分別代表圖中ABDE點(diǎn)的嚙合剛度，z1z2x1x2分別代表齒輪1，2的齒數(shù)和變位系數(shù)，∑x、∑z分別為兩齒輪變位系數(shù)之和與齒數(shù)之和。CAD代表平均雙對(duì)齒嚙合剛度，Cr代表整個(gè)嚙合過(guò)程的綜合嚙合剛度，其計(jì)算式如下。

CAD=CA+CD=CB+CE=0.5（CA+CD+CB+CE）（8）

Cr=CAD（εα-1）+0.5（CD+CQ）（2-εα）（9）

利用上述公式進(jìn)行計(jì)算得（變位系數(shù)均為0），通過(guò)上述公式，可以計(jì)算出齒輪對(duì)的嚙合剛度。（作者單位：鄭州華信學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院）

參考文獻(xiàn)

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