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    論微分中值羅爾定理及其應用

    2012-12-31 00:00:00張艷
    2012年13期

    摘要:羅爾定理在數(shù)學分析中也有著非常廣泛的應用. 本文通過羅爾定理在微分中值定理和數(shù)學分析中的作用和地位,來分析和研究羅爾定理的內容,幾何意義和應用. 通過對羅爾定理的推廣和應用,重點研究了用羅爾定理解決關于導函數(shù)零點存在性和證明微分中值公式的問題.

    關鍵詞:羅爾定理; 柯西中值; 代數(shù)方程式1. 羅爾定理

    羅爾是法國數(shù)學家。羅爾在數(shù)學上的成就主要是在代數(shù)方面,專長于丟番圖方程的研究。 羅爾于1691年在題為《任意次方程的一個解法的證明》的論文中指出了:在多項式方程 的兩個相鄰的實根之間,方程至少有一個根。在一百多年后,1846年尤斯托(Giusto Bellavitis)將這一定理推廣到可微函數(shù),尤斯托還把此定理命名為羅爾定理。

    羅爾定理如下:

    如果函數(shù)f(x)滿足:

    在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

    在開區(qū)間(a,b)內可導;

    在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),

    那么在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ

    羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理是微分學的基本定理,是聯(lián)系閉區(qū)間上實函數(shù)與其導函數(shù)的橋梁與紐帶,具有非常重要的理論價值和使用價值. 一般來說,拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明都由羅爾定理給出. 所以,有必要對羅爾定理進行深入的探討與研究.

    2. 羅爾定理的應用

    2.1 羅爾定理在導函數(shù)中的應用

    例1設函數(shù)f在[a,b]上二階可導,且f(a)=f(b)=0,f′(a)f′(b)>0,則存在ξ∈(a,b),使f″(ξ)=f(ξ).

    證明 不妨設

    f′(a)>0,f′(b)>0,

    則f(x)在x=a與x=b處單調遞增. 考慮到

    f(a)=f(b)=0,

    所以,x1,x2∈(a,b),使

    f(x1)>0,f(x2)>0,

    從而,c∈(a,b)使

    f(c)=0.

    g(x)=e-xf(x),

    g(a)=g(c)=g(b)=0.

    由羅爾定理知ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得

    g′(ξ1)=0=g′(ξ2),

    e-ξ1f′(ξ1)-f(ξ1)=0=e-ξ2f′(ξ2)-f(ξ2),

    亦即

    f′(ξ1)-f(ξ1)=0=f′(ξ2)-f(ξ2).

    再令

    φ(x)=exf′(x)-f(x),

    φ(ξ1)=0=φ(ξ2).

    再用羅爾定理,則ξ∈(ξ1,ξ2)(a,b),使得

    φ′(ξ)=0,

    eξf″(ξ)-f(ξ)=0,

    f″(ξ)=f(ξ).

    綜上,便得證.

    2.2 用羅爾定理證明中值公式

    要點:構造不同的輔助函數(shù),應用羅爾定理可以導出不同的中值公式.

    例2設f(x),g(x),h(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導. 試證: 必存在ξ∈(a,b),使得

    f(a)g(a)h(a)

    f(b)g(b)h(b)

    f′(ξ)g′(ξ)h′(ξ)=0.

    證明 作輔助函數(shù)

    F(x)=f(a)g(a)h(a)

    f(b)g(b)h(b)

    f(x)g(x)h(x) ,

    則F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導,且

    F(a)=F(b)=0.

    應用羅爾定理可知,ξ∈(a,b),使得

    F′(ξ)=0,

    由行列式性質得,

    F′(ξ)=0.

    即結論成立.

    注 (1) 令h(x)≡1,即可推出柯西中值定理.

    (2)令g(x)≡x,h(x)≡1,即可推出拉格朗日中值定理.

    證明如下:

    (1) 令h(x)=1,則

    F′(ξ)=f(a)g(a)1

    f(b)g(b)1

    f′(ξ)g′(ξ)0=0,

    f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ).

    此即得柯西中值定理.

    (2) 令g(x)=x,h(x)=1,則可知,

    F′(ξ)=f(a)a1

    f(b)b1

    f′(ξ)10,

    f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a.

    此即得拉格朗日中值定理.

    3.結論

    本文主要介紹羅爾定理、以及羅爾定理的推廣和在幾種不同情況下的應用。 并通過分析法、反證法、構造輔助函數(shù)法等方法對羅爾定理的正確性、導函數(shù)中零點的存在性、羅爾定理在不同區(qū)間(有限和無限)下的應用以及它在導函數(shù)中的應用等問題進行了驗證。本文根據這一定理的條件和結論,提出了一系列擴展思路、獨立思考、試探解決的問題,達到了培養(yǎng)能力,牢固掌握基本理論的目的。(作者單位:周口師范學院)

    參考文獻:

    [1]包禮文. 數(shù)學分析中的典型問題與方法[M]. 高等教育出版社,2008.

    [2]李玉璉,數(shù)學分析講義[M]. 高等教育出版社,2000.

    [3]孫清華,數(shù)學分析內容方法與技巧[M]. 華中科技大學出版社,2010.

    [4]王承國,數(shù)學分析學習指導[M]. 科學出版社,2010.

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